数学教育论文17篇-杂志之家

数学教育论文

时间：2022-03-10 03:34:01 关键词：数学教育数学论文教育论文

摘要：在数学教育问题上，经常会出现这样的情况，矛盾和冲突的双方似乎都有一定的合理性。满足学生的兴趣和需要与数学教育的强迫性就是这种矛盾的双方。现代社会要求尊重每一个学生的权利，尊重学生的兴趣和需要。它是现代教育的一个原则。然而，扪心自问，对学生真正需要和感兴趣的事情，我们成人无论如何努力，恐怕永远都不能地满足他们。

数学教育论文:再谈运用数学方法研究数学教育问题

再谈运用数学方法研究数学教育问题

建立数学教育学是一项宏伟的事业．数学教育学研究方法的发展水平是数学教育学科发展水平的重要标志．仅仅“坐而论道”式的定性研究和纠缠于名词术语的思辨研究，已制约了数学教育学的发展．尽管这种状况正在改变，表现之一是在数学教育研究中运用数学方法的数量在增加，但是质量还不高，数量的发展趋势还不够迅猛．只有加大运用数学方法研究数学教育问题的深度和广度，才是构建数学教育学的绿色通道．本文给出两点建议．“文秘站”版权所有1．运用多元分析方法，加大研究深度多元分析是研究客观事物中多个变量间统计规律性的一门数学分支学科．随着计算机技术的发展，多元分析方法很快地辐射到各个领域，多元分析方法不仅在自然科学领域“功勋卓著”，而且在社会科学领域“战绩赫赫”，这表明多元分析方法确实是处理数据、揭示多变量之间关系的先进工具．因为影响数学教育的因素众多，他们之间关系错综复杂，但却水乳交融，息息相关，因此需要进行多元分析．合理运用多元分析应是数学教育发展水平的一项指标．然而由前文可知，目前的数学教育研究文章，特别是调查与实验的文章，一般都采用了简单的统计及分析，在研究水平上较以往迈进了一个台阶，但对多元统计的方法重视程度明显不够，影响了数学教育各因素之间关系的揭示，限制了数学教育研究的深入开展．研究数学教育各因素之间的关系分为三个层次．其一是研究各因素之间是否有关系，即判定各变量之间是否有联系，方法有：相关分析、偏相关分析、方差分析、协方差分析、判别分析、聚类分析等；其二是研究各因素之间有什么样的定量关系，即分析各变量之间有何种联系，方法有回归分析、马尔可夫预测等；其三是分析各因素之间为什么存在这种关系，以便解释现象，发现规律，即分析各因素之间相存关系的原因，方法有：主成分分析、因素分析等．在此需要说明的是，首先，与其花更多的时间去学习多元分析的算法原理，不如花一定的精力掌握相关的计算机软件（如SASD、SAS、SPSS、LISREL等），能对其熟练操作，借以开展有关研究工作；其次，因为运用多元分析开展研究，所得出的结论的科学性是建立在原始分数或观测数据的可信性和有效性基础之上．因此，要尽力提高测验的信度与效度，并且好同时运用其他数学方法，以提高数学教育科研的学术性．2．运用数学思想方法及高等数学知识，加大研究广度需要澄清的是，不能仅认为只是在调查与实验中才能运用数学方法，也不能认为数学方法仅限于概率统计的知识和方法．否则，运用数学方法研究数学教育问题的范围将是狭窄的．而在数学教育研究中，广泛运用数学思想方法及高等数学知识，将加大运用数学方法研究数学教育问题的广度．喻平先生认为夸美纽斯的《大教学论》深刻体现了公理化思想．他认为《大教学论》是从“适应自然”原理出发，由此演绎三条基本教学原则：便宜性原则、彻底性原则、简明性与迅速性原则．由每条教学原则又引出若干具体小原则．夸美纽斯采用了原理--大原则--具体小原则的公理化方法．上海师大燕国材先生的IN结合学习理论有三条核心思想：尊重学习者的主体地位，发挥学习者的主体作用，调动学习者的主体积极性（目的）；一般地说，人的智力水平是差不多的，但是非智力因素的水平差别很大（假设）；在其他基本相同的情况下，A＝f（IN）（公式）．基于这些原理，演绎出了10条命题，在10条命题的基础上又演绎出了3条学习原则．可见，燕国材先生的IN结合学习理论也深刻体现着公理化思想．相比较而言，尽管数学教育科研工作者运用数学思想有种种优势，尽管在我国出版了许多种数学教育理论著作，但是像夸美纽斯和燕国材先生明显采用数学思想构筑理论体系的还不多见．数学思想方法是广泛渗透于各个领域的．运用数学思想方法研究数学教育问题，为将数学方法应用于数学教育研究之中提供了广阔的空间．再如，华中师大唐碧峰和李来政先生建立了智商、知识量和数理逻辑经验的5组微分方程，通过求解与分析，得出了具有一定说服力的研究结论：在学生形式运演心理发展的初期，过多的知识不利学生的智商、能力的发展，最终也会影响知识的增长．因此，在这一时期，应加强学生的科学活动和实验教学．在学生形式运演的后期，知识教学不会影响学生智商的发展，而且对智商和技能的发展有促进作用，系统知识的教学应安排在这个时期进行．因为该研究中运用了数学方法，所以研究结论具有说服力，从而使研究结果对中学数学教学和教改具有指导意义．众所周知，物理学曾因跳出初等数学的桎梏，应用了高等数学，而引发了“物理学的革命”，尝试着将有关的近现代数学知识作为研究数学教育的工具，不但会加大运用数学方法研究数学教育问题的广度，同时也必将促进数学教育研究水平再上新台阶．特别是，让学生学会数学地思维，被认为是新时期数学教育的目的之一，然而目前数学教育界对数学思维的认识尚很肤浅，要想揭示数学思想的本质，关键要广泛、合理、科学地应用模糊数学等近现代数学知识．3．一些文献中的案例尽管在目前数学教育研究中，运用数学方法的典型案例尚不多见，但以下文献中提供了一些可供参考的案例．喻平先生著作的《试论数学方法在数学研究中的应用》［1］从多个方面例说了数学方法在教育评价、思维研究、数学能力研究、数学方法论研究、数学课程理论研究中的数学方法．囿于版面，喻平先生略去了数学方法的使用原理及详细应用过程．肖云茹先生编著的《概率统计计算方法》［2］给出了每种多元统计方法的数学原理及算法步骤．张敏强先生主编的《教育与心理统计学》［3］提供了一些多元分析的案例．佟庆伟、胡迎宾、孙倩编著的《教育科研中的量化方法》［4］则提供了一些利用教育统计软件进行多元分析的案例．张国杰、王光明、苏凡编著的《数学教育研究与写作导论》［5］提供了因素分析的案例．任子朝先生《会考后的高考考查数学能力的研究》［6］给出了主成分分析的案例．杜玉祥、魏立平等的著作《初中数学差生转化理论与方法（一）（二）》［7］提供了聚类分析的案例．唐碧峰和李来政先生的著作《理科教学与学生思维发展的量化研究》［8］给出了应用微分方程处理教育问题的实例．以上案例，有兴趣的读者可去查找．要说明的是，我们强调数学方法在数学教育中的作用，但决不意味着滥用数学方法．在数学教育研究活动中，运用具体数学方法，建立数学教育现象的数学模型，只不过是一种解决数学教育问题的辅助手段，它不是万能的．数学方法所具有的那些功能总是在正确的认识路线指导下，立足于教育实践基础上的，因此，研究结论要接受教育实践的检验．在数学教育研究中，需要广泛、充分运用数学方法，同时更要注意合理运用数学方法。

数学教育论文:对小学数学教育几个问题的思考

在国际上，数学教育始终都是备受关注的领域。在基础教育课程体系中，小学数学一直处于重要位置。随着新世纪的到来，数学科学本身有了大的发展，人们对小学数学教育的要求也发生了变化，小学数学教育面临巨大挑战，理论上与实践上日益暴露出很多复杂的矛盾冲突。

一、关于满足学生兴趣需要与小学数学教育的强迫性之间的矛盾冲突

在教育问题上，经常会出现这样的情况，矛盾和冲突的双方似乎都有一定的合理性。满足学生的兴趣和需要与小学数学教育的强迫性就是这种矛盾的双方。现代社会要求尊重每一个学生的权利，尊重学生的兴趣和需要。它是现代教育的一个原则。然而，扪心自问，对学生真正需要和感兴趣的事情，我们成人无论如何努力，恐怕永远都不能地满足他们。对一个具有强烈的社会责任感的教师而言，出于长远考虑，从社会和国家的要求出发，有时会强迫学生服从教师的意志，听从教师的安排，尤其是在基础教育阶段更是如此。在小学阶段，数学教育具有基础性和普及性，是一种为学生打基础的教育，是要求人人都要接受的普通教育。当学生对数学缺乏兴趣时，满足学生兴趣需要与小学数学教育的强迫性之间的矛盾就显得更为突出。

事实上，我们无法否认有一部分学生是极其喜爱数学的，哪怕有升学的压力和高分的诱惑，对这些孩子来说，热爱数学是首要的学习动力源泉。但同时，我们也得承认有相当一部分学生是不喜欢数学的，甚至还有极少一部分学生是厌恶数学，一听到数学就头疼的。对这些学生来说，得到父母的肯定和教师的赞扬以及满足升级、升学的要求等，则是学习数学的主要动力。遵循满足学生需要和兴趣的原则，对那些不喜欢数学的孩子，教师应该表示宽容和理解。但对孩子来说，一个能够容忍他在数学课上看漫画书、开小差的教师，就其一生来说，是他的幸还是不幸呢?若因教师的宽容和放任，儿童失去了更好的发展机会，等长大成人以后一事无成，他对这样的教师是心存感激，还是心怀怨言呢?但是，反过来，如果教师对孩子实施强迫性的教育，致使他们对数学产生了一种消极的不愉快的情绪，影响了他们学习的积极性，甚至怀疑他们自己的能力，对数学产生了畏惧心理，这又岂不是得不偿失?

因此，在小学数学教育上，如何既能满足学生的兴趣需要，又能达成小学数学教育的目标是一件极为困难的事情。在这一问题上，前苏联教育家阿莫纳什维利给我们提供了很好的成功案例和积极的思想观念。他说：“如果一个儿童学习有困难，而我们确实想帮助他，那么，最主要的事——我们应该从何人手，什么是我们应该始终不渝地信守的原则——就是使他能感到，他像所有其他儿童一样，也是有才能的，他也有自己的特殊的‘天赋’。”[1]在这里，阿莫纳什维利所谓的“应该始终不渝地信守的原则”其实就是人性的原则。这个人性的原则超越了简单地满足学生的兴趣需要或实施强迫性数学教育的理念，既不以升级为目的，也不是简单地满足学生当前的需要，而是以使学生获得自信和对学习的兴趣为目的。基于此，在处理学生兴趣需要与数学教育的强迫性矛盾时，我们的初步认识是既不能简单地服从学生的兴趣和需要，降低对他们的要求，也不能过分强迫学生，给学生施加升级和升学的压力，而是要淡化要求，降低强迫性，创造一个合乎人性的学习环境，帮助学生取得进步，增强学生的自信心。

二、关于大众数学教育与精英数学教育之间的矛盾冲突

20世纪80年代以来，国际数学教育界就存在着“大众数学教育”与“精英数学教育”的矛盾冲突。所谓“大众数学教育”是一种面向人人，希望使数学对大多数学生来说更有吸引力和力所能及的教育理念。在我国，主导的大众数学教育思想认为，“大众数学意义下的数学教育体系所追求的教育目标，就是让每个人都能够掌握有用的数学”。[2]其基本含义包括“人人学有用的数学”“人人掌握数学”“不同的人学习不同的数学”。[3]国家教育部2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》又将这一思想进一步阐发为：“人人学有价值的数学”“人人都能获得必需的数学”“不同的人在数学上得到不同的发展”。所谓“精英数学教育”，就是指以培养数学精英人才为目的的数学教育，比如为大学数学专业输送人才、培养以数学研究或应用为职业的人等。

长期以来，我国的数学教育是一种典型的精英教育。人们批评这种教育是为了个别学生的发展，牺牲大多数学生的发展利益。数学教育的内容不是学生掌握不了，就是学了也没用。这种教育的价值是为高一级的学校筛选有能力的人，体现的是“筛子”的功能。它不能使大多数人体验到学习数学的成功喜悦，获得学习的自信心。但是，现代社会的发展又需要精英，需要有专业知识和专业精神的人，全盘否定精英教育的价值也是不可取的。因此，大众数学教育强调“不同的人在数学上得到不同的发展”，就有解决大众数学教育和精英数学教育的矛盾冲突的意思，认为大众数学与精英教育并不对立。“恰恰相反，大众数学意义下的数学课程提供了更为广泛的现代数学分支的原始生长点，它为对数学有特殊才能和爱好的学生提供了更多的发展机会”。[4]在美国，大众数学教育和精英数学教育的矛盾具体化为“公平”和“”之间的矛盾。“许多专门的计划都在探索着如何促进公平和。其中好的计划是对具有不同需要水平的学生提供不同水平的期望。”“提高期望可保障对一切人公平和。”[5]这也就是所谓的“数学上普遍的高标准”，是一种要求人人能数学地思考的教育观念。

一些数学家对大众数学思想提出质疑，[6]包括这种保障对一切人公平和的数学教育的质疑。他们的问题有：1.“这是否还是数学”。有数学家怀疑大众数学由于过分强调问题的开放性和问题的“真实意义”，导致学生对数学的本质形成错误的认识，认为数学是无意义和毫无用处的，因而有人质问“大众数学是否就意味着没有数学”了呢?2.“(大众)数学：一或多?”数学界对大众数学有不同的理解。经典意义上的数学是希腊人开创的传统，强调演绎和推理；古埃及和古巴比伦的数学传统是“经验的方法”；我国的传统是“问题一算法”，强调实用、经验归纳等。因此，人们不禁要问“我们究竟需要什么样的大众数学”?3.“是否人人都需要数学?”“是否人人都需要高质量的数学?”在数学家Noddings看来，“数学上普遍的高标准”不是一个正确的口号，他说：“我将帮助那些对数学有着强烈兴趣的学生学习数学家观察世界的方式，但我并不要求所有的学生‘像数学家那样地思维’，他们应当按照自己的目标来学会如何应用数学”“除基本的算术以外，任何现行的课目都不能被认为是必要的”。

显然，大众数学教育和精英数学教育之间的矛盾并没有那么容易解决。稍有一点专业知识的人都明白，一个人如果没有精深的数学专业素养是不可能领略数学之美，透彻领会数学内蕴之深厚的。大众数学教育所倡导的数学教育思

想必须依托于数学学科的成熟发展。对个体来说，整体认识数学全貌及其全过程，具备到位的数感以及数的意识等，非得有专业训练不可。我国基础教育数学新课程改革要求课程内容的学习强调学生的数学活动、发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力等。还有当前人们试图通过数学教育来传达的种种关于数学价值的阐释，比如，“数学是一种文化”“数学是理解世界的工具”“数学是一种意识”“数学是一种思维方式”“数学是一种技术”等等，这一切对小学生来说是否是一种更高、更难达到的要求，是值得思考的。在数学教育问题上，有时要求越多，越不知如何去做，的结果就可能不尽如人意。有时抓住一点，扎扎实实，深入做下去，反而兼顾整体。这不失为解决数学的大众教育与精英教育之间矛盾的一种思路。

三、关于数学专家的建议与学校数学教育目标之间的差距

数学专家的期望能否直接进入学校教育领域，成为教育的目的呢?这一问题也值得讨论。

1989年，美国促进科学协会出版了《普及科学——美国2061计划》。计划内容涉及学习目标问题。但是“参与2061计划及时阶段的数学家在本报告中提出的一些思想，将在计划的第二阶段由另一些人转化成课程方案，这些人的职业工作使他们非常熟悉有关孩子们早期经历的各种解释”。[7]由此可以看到，美国2061计划的专家建议并不是直接进入教育领域，而是通过一系列的转化工作。任何一门学科都有极其丰富的文化价值和教育价值，但是否有价值就要进入学校教育领域呢?从目前学校的状况来说，这是不可能的。一门科学要想成为学校的一门学科，其内容要想进入学校课程领域，必然经过一个被选择和筛选的过程。这个筛选过程在古典课程论专家拉尔夫·泰勒那里被理解为两个环节：一是在选择教育目标时运用哲学。究其原因是由于达到教育目标需要有一定的时间，学校的目标应该是少量的，而不应该太多。如果试图达到众多目标，而实际完成的却极少，那么，这种教育计划是无效的。同时有些目标之间也存在一定的矛盾冲突，这样容易引起学生的困惑，因此为了选择少量非常重要而又互相一致的目标，必须对已经获得的大量庞杂的目标进行筛选。而“学校信奉的教育和社会的哲学可用作及时个筛子。人们可以根据学校的哲学陈述的或隐含的价值观，对最初列出的教育目标加以鉴别，确定那些具有高度价值的目标。”[8]二是在选择教育目标时运用学习心理学。“这道筛子是学习心理学说提示的选择教育目标的准则。教育目标即教育宗旨，是经过学习而得到的结果。除非这些教育宗旨是与学习的内部条件相一致的，否则它们作为教育目标是没有价值的。”[9]泰勒的这两个筛选教育目标的原则是针对一般的课程编制而言，是极为有价值的，对小学数学教育目标的确定也很有启发。除此之外，笔者以为，确立小学数学教育的目标还必须考虑以下几个方面。

首先，是促进学生发展的原则。在这点上，维果茨基的最近发展区理论给我们提供了很好的借鉴。维果茨基认为，“只有跑到发展前面的教学才是好的教学”。[10]小学数学教育目标应该设置在儿童的最近发展区内。低于儿童现实发展水平的目标要求是没有意义的，而高于儿童明天的发展水平，任学生付出多么大的努力都不能达到的目标同样是没有价值的。比如，培养学生的“数感”问题、学生对数学与日常生活之间的联系的体验问题等，都是有层次之分的。数学专业人士所拥有的数感，以及他们所感受的数学对生活的重大意义不是所有的人都能理解和接受的。就连“数学是思维的体操”这样一句很多人耳熟能详的名言，恐怕也不是小学阶段的孩子们能够理解的了的。至于数学文化、数学意识、数学思维、数学技术等种种数学观念，如何以合理的方式进入学校，以促进学生的较大发展，都是必须解决的问题。

其次，必须考虑师资条件。20世纪60年代，美国的“新数学”运动失败了。其中一个重要的原因就是没有充分考虑当时的师资条件。“新数学”之新是毫无疑问的，“新数学”的教育理念也是先进的、现代的，但它对教师的要求之高也是众所周知的。尽管它也为教师提供了相应的培训和辅助教学材料，但终因要花费大量的时间和金钱，而并没有多少学校和教师真正采用和实施。因此，要求教师必须具备数学家的素养才能胜任的数学教育，有可能也会重蹈“新数学”运动的覆辙。

再有，经济条件也是一个重要制约因素。比如，吴文俊院士1995年在《数学教育现代化问题》一文中说：“我今天讲的这个东西是我多少年一直想讲的。在好多年前，至少是1983年或者更早，我就想在中学里边推行，可就是不敢，因为中学里边是不能随便讲的，而且当时条件不具备，你要用计算机，可在中学里边根本不可能。”[11]一种教育目的的达成如果需要大笔经费的支撑，而这一大笔经费又根本是个画饼，是目前社会的经济发展水平不能提供的，这样的教育目标自然会因其不现实而不能达成。

四、关于小学数学教育目的的功利性与过程的非功利性之间的矛盾冲突

小学数学教育还须处理功利性目标与非功利性过程之间的矛盾冲突。教育是一种实践活动，就其追求来说，是现实的、功利的。人类任何科学领域的内容要进入学校领域都是以其是否有价值来衡量的。然而一旦进入学校教育领域，人们要求的理想的学习方式又是非功利的。比如，美国学者要求人人都来关心数学教育时，强调的都是数学教育的功利价值，像这样的陈述有“数学是打开机会大门的钥匙”“它以直接的和基本的方式为商业、财政、健康和国防作出贡献。它为学生打开职业的大门；它使国民能够作出有充分依据的决定；它为国家提供技术经济竞争的学问。”“对所有学生进行品质的数学教育是兴旺发达的经济所必需的”等等。[12]大多数数学专家则认为引导学生对数学本身感兴趣，比对数学的应用感兴趣更有价值。这是一种追求数学的内在学习价值的观念，是非常好的。但是，对不想从事与数学专业有密切关系的专业的人们来说，我们不能不理解他们的功利追求。我们不但不反对人们这样问：学数学对我有什么用?有时反而还要顺着这一问题思考：对不想做数学家，不想从事数学专业的人来说，学数学有什么用呢?比如，泰勒认为“向学科专家提出的问题应该是这样的‘这门学科对外行或一般公民有什么贡献?’学科专家倘若能够回答这样的问题，就能作出重大的贡献，因为他们可能具有这个专业领域大量的知识，而且其中许多人可能已有机会看到这门学科对他们自己以及对与他们一起工作的人有什么用处”。[13]美国2061计划及时阶段数学专家的小组报告的及时句话就是“本报告回答一个问题：‘当一个人到了18岁的时候，有哪些重要的数学思想是他应该知道并且明白的’”[14]而这

里所谓“重要的数学思想”，“并不是按照培养数学家或者即使是培养大学生的标准来设计的”。[15]

无论是泰勒还是参与2061计划的数学专家都尽量避免从个别“数学天才”的角度来回答上述问题，而强调数学的应用价值，使数学教育目的具有鲜明的功利追求。但在我们看来，数学教育的组织如果仅以满足大多数外行的要求为原则，则有可能会降低数学的科学性、使数学被大众歪曲应用，甚至对数学本身产生难以消除的误解。因为真正理想的数学教育过程是非功利性的，在这样的过程中，学生的学习是被数学本身的魅力和数学学习本身的乐趣所引发，学生的状态是积极主动的、自觉自愿的。只有非功利性的数学教育过程才能充分发挥学生的潜力，因为儿童都有一种与生俱来的以自我为中心的探索性动机，正如苏霍姆林斯基所说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”[16]因此，在处理这一问题上，保持谨慎的态度不失为一种明智的选择。我们体会，尊重数学家的建议，借鉴赞科夫的教学过程性原则，尽量挖掘数学本身的内在价值，将数学教育组织得丰富有趣，既能吸引学生，又能保障在学生力所能及的基础上，接受具有一定难度的挑战，可能有助于处理这一矛盾冲突。

数学教育论文:数学教学创新教育的研究

一、激发学生的求知欲,培养其创新精神

激发学生的求知欲比单纯教给学生数学知识更重要。实践证明,科学家的很多发明创造都是在好奇心和求知欲的趋势下产生的,比如牛顿就是看到苹果落到产生了好奇心而发现了“万有引力定律”;瓦特从水沸腾时掀动壶盖的现象发明了蒸汽机。好奇心是求知欲的前提,有了好奇心,才有探究结论的欲望。比如,在“多边形内角和”内容的时候,课前教师让每一个学生动手制作凸多边形,在课上让学生把每一个内角的度数都量出来,然后对学生说:“同学们,只要你告诉我你画的多边形是几条边以及这个多边形(n-1)个内角是多少度,老师就能马上能猜出剩下的一个内角是多少度,你们想考考老师吗?”因为教师提出的问题比较新颖,从而引发了学生的好奇心,激发了他们探究的积极性,活跃了课堂气氛,使学生们产生了浓厚的学习兴趣,提高了课堂教学效果。在数学课堂教学中,教师要精心设计问题,问题提的难度要适宜,要让学生“跳一跳,就能摘到桃子”,这样才能激发学生研究的欲望,开拓学生的思维,促使他们主动思考,通过自己的努力得到结论,进而发现问题,积极地去解决问题。

二、利用学生善于表现的心理,培养他们的创新精神

中学生有着强烈的表现欲和好胜心,如果他们在学习数学的时候,不断遭遇失败,那么其自信心就会受到严重打击。所以,要让学生有成功表现的机会,让他们获得成功,有成就感,增强学习的自信心。如在教学一元一次方程的时候,教师可以实施分层次教学,比如设计一些比较简单的题,选择两位成绩一般的学生到黑板演示,看谁做得又对又快;而对于成绩较好的学生,在课下可以鼓励他们找一些有难度的题去练习,并提出更高的要求。在教学活动中,教师要充分调动学生学习的积极性,发挥他们的特长和优势,给他们自我表现的时间和机会,让他们体验到成功的快乐,感受到学习数学的乐趣,以使他们的创新能力得到培养。

三、多激励学生,培养他们的创新精神

教师要注重学生自主学习能力和自主学习意识的培养,鼓励他们自主思考和探究,肯定他们的新思路、新方法以及主动追求新知识的做法,要求学生根据自己的实际情况制定学习目标,要让他们通过自己的努力实现目标。教师要引导学生追求新知识,掌握新方法、新技巧,主动克服学习中遇到的困难,多发现学生的优点,善于表扬和鼓励学生,比如“真好”“你真棒”“你的想法独特、到位”等,以进一步激发学生的创新能力。

四、通过自主、合作、探究的学习方式,培养他们的创新精神

让学生自主去发现和获取知识,是提高学习效果的好途径,因为只有学生经过亲身体验而获取的知识印象才会更加深刻。有效的学习过程并不是单靠记忆和被动接受来完成的,而是在教师的引导下通过认真观察、大胆实验和想象、分析和推理等步骤,由学生自己去探索数学学习的有效策略,以得到更多的情感体验和亲身感受。

五、运用信息技术创设问题情境,提高学生的创新能力

随着科技的不断发展,多媒体技术作为一种重要的教学手段进入到了课堂教学中,并受到了广大教师和学生的欢迎。多媒体以其生动的动画效果活跃了课堂气氛,创设了良好的教学情境,把文字、图片、数据等多种信息经过集成处理传递给学生,刺激了学生的多种感官,引发了学生的好奇心,激发了学生探究知识的欲望。同时,多媒体还可以将抽象的知识形象化、枯燥的问题趣味化,促使学生从多个角度去观察和分析问题,提高自己的能力。

六、鼓励学生大胆质疑,培养创新精神

基础知识对于数学和学习很重要,学生一定要在理解和掌握数学基础知识的基础上,进行创新和升华。创新的前提是学生能够发现问题和提出问题,质疑可以促进思维的发展,也是培养学生思维能力的重要渠道。在新课程改革背景下,成功的数学课堂是能够促使学生发现问题和提出问题的,而不只是让学生解决问题和回答教师提出的问题;不只要让学生验证真理,还要引导学生探究真理。而在实际教学中,问题基本上都是教师设计的,学生只有回答的权利,没有提出问题的能力和勇气。实际上,提出问题比回答问题更重要。李政道教授说得好:“‘学问’就是学习提问,切莫将‘学问’变成‘学答’。所以,在数学课堂教学中,教师要把课堂还给学生,把学生放置在学习主人的位置上,成为课堂的组织者、引导者、参与者、合作者,要给学生创设宽松、民主的学习氛围,使学生树立质疑精神,尊重学生的个性以及好奇心理,要让学生大胆质疑,积极探索,勇于向挑战。

七、总结

总而言之,创新能力的培养是一项长期而复杂的任务,在数学教学中注重创新能力的培养是素质教育的要求,也是时代的需要。教师要利用好课堂这块阵地,激发学生学习的兴趣,调动他们的主动性,引导学生大胆实践、勇于探索,提高学生的综合素质,使学生敢于创新,从而为社会培养更多的合格人才。让我们在数学课堂教学中,树立新的教学理念,探索更多更好的教学方法,把学生的创新潜能当作一个金矿去勘探、发现和开采吧。

数学教育论文:小学数学探究式教育释解

一让学生多表现,激发他们探究的积极性

小学生的年龄小,活泼可爱,表现欲望强,渴望得到老师的认可,教师可根据学生的这些特点,适时创设一些让他们表现才能的机会,并给予充分肯定。如可让学生上台演示、板演、当小老师等,都可激发他们探究知识的积极性。例如,在教学“14-8”这道题时,我故意做错,让学生发现我的错误,学生一见老师做错了,立刻指出并且有些骄傲,这时我再紧接着提问:“这道题该怎样算?你能想出多少种不同的算法?”于是,学生们都积极思考,纷纷想发挥自己的聪明才智。

二适时引导,提高探究效果

探究教学以突出学生的主体地位为主,强调学生的积极参与。但是小学生的认知水平普遍较低,因而教师不可让学生无目的地盲目探究,而是要适时地加以引导和帮助。具体来说,在探究教学中教师主要要注意以下几方面:精心设计探究计划、选择和组织恰当的教学材料、做好教学活动的组织安排、即时指导和信息反馈。此外还要注意针对学习内容的不同,选择合理的探究方法,较常见的探究方法有:观察——归纳、操作——发现、猜想——验证、类比——联想等。如猜想—验证法,即让学生根据已有的知识、经验和方法,对数学问题大胆猜想,寻找规律,合理论证。如学习“三角形内角和”一课时,学生已对内角和概念有了一定的了解,此时教师应提问:“你们猜一猜三角形的内角和是多少度?”学生会从特殊的三角形(等边三角形)猜测到内角和是180°呢,于是教师引导学生进一步思考:这个猜测是否正确呢?难道所有的三角形内角和都是180°?学生带着问题进行验证,既有趣又提升了学生的探知能力。

三充分挖掘探究资源

探究教学并不是一件容易的事,教学中,教师除了掌握必要的技巧外还要深入挖掘教材内容,让学生有探究的资源。教材中可探究的内容非常丰富,但并不是都适合我们,因而需要教师认真挖掘教材并结合实际,创造性地开发教材资源,组织学生探究,以培养他们的探究能力。如在教学“三角形任意两边的和大于第三边”时,可让学生从家中带来三组小木棒,其中一组是可组成三角形,另一组是两根木棒的长度和等于第三根的长度。一组是两根木棒的长度和小于第三根的长度,然后组织学生分别用这三组木棒摆三角形,并分别量出各组木棒每根的长度。教师把学生量得的三组木棒长度分列在黑板上,并就此提出:“请用一个等式或不等式表示三条线段能组成三角形的条件。”这时,学生一般会在能够组成三角形的那组数据里寻找关系式。有的会提出两线段的积大于第三条线段的关系式,有的会提出两根木棒长度的和与第三根比较,不管学生用哪种方式,教师都应板书到黑板上,然后引导学生一一筛选,只剩下所要得出的结论。这种精心设计的探究活动,能激发学生学习数学的积极性,增强学生探索问题、分析问题的能力。此外,除了挖掘教材内容,我们还可发掘生活资源开展探究,生活是学习数学的大课堂,学习数学的最终目的是把所学的知识运用到生活中。因此,教学中可通过解决生活中的数学问题,让学生从小领悟出数学源于生活,又回归于生活,具有很强的应用价值,从小明白学习数学的重要性。如学完“圆的周长”后,组织学生去测量树的周长、操场的周长、圆形水池的周长、圆形花坛的周长等,既有趣又让学生学会了动手、动脑,加深了对周长的认识。而且通过解决实际问题,可让学生将书本知识内化为自己的能力,将课堂知识拓展深化于学生的创新意识和实践能力,达到了新课程改革的真正目的。

四结束语

探究式教学是新课程改革的要求之一,如何在教学中落实这种理念还需进一步探索。但只要我们在教学中,以学生为主体,放手让学生自己去做,教师在适当时加以引导与帮助,并尽可能多地为学生创造探究机会,相信我们的小学数学课堂教学一定能逐步达到境界,促进学生自由、充分、和谐地发展。

数学教育论文:浅谈初中数学教学中的素质教育

浅谈初中数学教学中的素质教育

把素质教育贯彻于数学教学之中，使数学教学能为提高学生的整体素质服务是当前数学教学改革的中心议题，是摆在我们广大数学教师面前的一项极为迫切的任务。本文拟就中学教学中实施素质教育的问题谈几点粗浅的认识。

一、更新观念，树立数学教学的素质观

柳斌同志说：“转变教育思想和教育观念，转变人才观念、质量观念是实施素质教育的前提。”转变观念的关键在于努力构建学生的主体地位，促成学生主动、而且各个不同的发展，教育学生学会做人、学会求知、学会办事、学会健体、学会创造。中学数学教学的目的，就是要面向全体学生，不仅培养他们的数学素养，更要提高他们的综合素质，使之成为具有一定创造性的人。由于学生在知识、技能、能力方面的发展和志趣、特长不尽相同，学生之间存在着个体差异，教师要创设条件，因材施教，使每个学生都得到不同程度的发展和提高。其次，要充分发挥学生的主体作用，自觉地把素质教育融于教学中。在教学中教师要精心设计，创设情境，充分调动学生学习的积极性，让每个学生都参与教学的全过程，在教师的启发诱导下积极思考并提出问题、解决问题，使学生的智慧潜能等到开发，学生的素质在主体发挥的过程中得到提高。这就是数学教学的素质观。

二、初中数学教学中素质教育的内容和途径

各学科都有本学科特定的科学知识体系和特点。中学数学具有内容的抽象性、应用的广泛性、推理的严谨性和结论的明确性等特点。我们在实施中学数学素质教育时，应根据数学本身的特点，在传授数学基础知识、基本技能的同时，积极探讨数学知识与素质教育的结合点，促进学生素质的提高。据此，我认为，素质教育在初中数学教学中的内容至少应包括以下几个方面：

（一）思想素质的教育大纲指出：“结合教学内容对学生进行思想品德教育是数学教学的一项重要任务，它对促进学生发展具有重要意义”。数学教学中的思想教育主要有以下几点：

1．爱国主义教育。

（1）通过我国古今数学成就的介绍，培养学生的爱国主义思想。现行义务教育教材中，有多处涉及到我国古今数学成就的内容，我们要有意识地去挖掘，在讲授有关知识的同时，适当介绍数学史料，对学生进行爱国主义思想教育。

（2）通过教材中的有关内容编拟既联系实际又有思想性的数学题目，反映我国社会主义制度的优越性、改革开放政策的正确性和祖国建设的伟大成就等有关内容，使学生潜移默化地受到热爱社会主义制度、热爱社会主义祖国的思想教育；使学生了解我国的国情，激发他们为四化建设、为祖国的繁荣昌盛而献身的精神。

2．辩证唯物主义教育。辩证唯物主义教育主要是对辩证唯物主义的世界是物质的观点、对立统一的观点、运动变化的观点、量变到质变的观点、互相联系、互相制约的观点的教育。中学数学本身蕴含着丰富的对立统一、量变质变、运动变化、相互联系、相互制约等辩证唯物主义因素。在教学中，如果能注意挖掘这些因素，自觉地用唯物辩证法观点阐述教学内容，就能更深刻地让学生领悟数学知识的内在联系。这样，既有利于学生学好数学知识，提高辩证思维能力，又有利于培养学生的辩证唯物主义观点，为逐渐形成共产主义世界观打下基矗

3．良好的学习态度和学习习惯的教育。数学教育的目的不仅在于传授数学知识，更重要的是通过数学学习和实践，使学生逐步掌握良好的行为方式（正确的学习目的、浓厚的学习兴趣、顽强的学习毅力、实事求是的科学态度、独立思考勇于创新的精神等），并把这些良好的行为方式转化为他们的习惯，终身受用之。所以培养良好的学习态度和学习习惯也是数学教学工作的一项基本任务和重要目标。

（二）应用数学能力的培养

数学是一种语言，是认识世界必不可少的方法，运用数学的能力是未来公民应当具有的最基本的素质之一。九年义务教育数学教学大纲明确规定：“要使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练”，“形成用数学的意识”。笔者认为，在教学中我们应从以下几个方面着手，培养学生应用数学的能力：

1．重现知识形成的过程，培养学生用数学的意识。数学概念和数学规律大多是由实际问题抽象出来的，因而在进行数学概念和数学规律的教学中，我们不应当只是单纯地向学生讲授这些数学知识，而忽视对其原型的分析和抽象。我们应当从实际事例或学生已有知识出发，逐步引导学生对原型加以抽象、概括，弄清知识的抽象过程，了解它们的用途和适用范围，从而使学生形成对学数学、用数学所必须遵循的途径的认识。这不仅能加深学生对知识的理解和记忆，而且对激发学生学数学的兴趣、增强学生用数学的意识大有裨益。

2．加强建模训练，培养建立数学模型的能力。建立适当数学模型，是利用数学解决实际问题的前提。建立数学模型的能力是运用数学能力的关键一步。解应用题，特别是解综合性较强的应用题的过程，实际上就是建造一个数学模型的过程。在教学中，我们可根据教学内容选编一些应用问题对学生进行建模训练，也可结合学生熟悉的生活、生产、科技和当前商品经济中的一些实际问题（如利息、股票、利润、人口等问题），引导学生观察、分析、抽象、概括为数学模型，培养学生的建模能力。

3．创造条件，让学生运用数学解决实际问题。在教学中，可根据教学内容，组织学生参加社会实践活动，为学生创造运用数学的环境，引导学生亲手操作，如测量、市场调查和分析、企业成本和利润的核算等。把学数学和用数学结合起来，使学生在实践中体验用数学的快乐，学会用数学解决身边的实际问题，达到培养学生用数学的能力的目的。

（三）注重数学思想方法的教学

数学思想方法是数学思想和数学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决问题的手段和工具。数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才算真正掌握了数学。因而，数学思想方法也应是学生必须具备的基本素质之一。现行教材中蕴含了多种数学思想和方法，在教学时，我们应充分挖掘由数学基础知识所反映出来的数学思想和方法，设计数学思想方法的教学目标，结合教学内容适时渗透、反复强化、及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。

（四）思维能力的培养

思维品质的优良与否是国民素质的重要决定因素。为了促进学生思维能力的发展，我们必须高度关注学生在数学学习过程中的思维活动，必

须研究思维活动的发展规律，研究思维的有关类型和功能、结构、内在联系及其在数学教学中所起的作用。数学是思维的体操，从这个角度讲，数学本身就是一种锻炼思维的手段。我们应充分利用数学的这种功能，把思维能力的培养贯穿于教学的全过程。在教学中，我们尤其要注重培养学生良好的思维品质，使学生的思维既有明确的目的方向，又有自己的见解；既有广阔的思路，又能揭露问题的实质；既敢于创新，又能具体问题具体分析。（五）心理素质的教育数学

兴趣是好的老师。浓厚的学习兴趣可以使人的各感官、大脑处于最活跃的状态，能够地接收教学信息；浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促使学生自觉地集中注意力，全神贯注地投入学习活动。在教学中，我们可通过介绍我国在数学领域的成就，介绍数学在生活、生产和其它科学中的广泛应用，激发学生学好数学的动机。通过设计情境，提出问题，引导学生去探索、去发现，让学生从中体验成功的喜悦和发现的快乐；运用适当的教学方法和手段引起他们的求知欲和好奇心，从而培养他们浓厚的学习兴趣。

在教学中，还应当注意对学生意志品质的培养和训练。如注意力的培养、长期反复思考同一问题的意志品质的培养、独立思考精神的培养等。使学生形成不怕困难、坚忍不拔、刻苦钻研、顽强拼搏的品格。

实施素质教育，是一项迫切而又艰巨的任务，我们广大教育工作者要积极探索，努力实践，切实把素质教育落实到教学工作中去，为培养振兴中华的高素质人才作出自己的贡献

数学教育论文:数学教学中渗透辩证思维教育

小学数学教材中，蕴藏着大量的辩证唯物主义思想教育内容，教师应努力地挖掘它，加大对学生的唯物辩证法教育渗透力度，提高课堂教学中辩证思维教育含量。联系学生实际，结合教学内容，有计划、有目的、有步骤地把辩证思维方式传授给学生，让他们运用辩证的眼光去观察、分析、解决数学问题，为学生从小树立正确的世界观和形成用辩证的观点看问题的习惯奠定坚实的基础。一、引导实践，寓教于乐一直以来，课堂教学处处以教师为中心，学生处于被动地位，只是机械地等待着结论降临，这是与素质教育背道而驰的做法。在实际教学中，教师要转换观念，尊重学生，相信学生，让学生去摸、爬、滚、打，在实践中发现新知，让学生感到“我能行”。“实践能出真知”，让学生亲自来参与实践，摸一摸，摆一摆，拼一拼，移一移，看一看，想一想，形成丰富的感性材料，再经过大脑的加工，由表及里，由浅入深，去伪存真地辩证分析，发现其中的奥秘，总结出规律，教学效果事半功倍。如果教师不让学生动手实践，而是一味滔滔不绝地讲解分析，学生只能是“知其然而不知其所以然”。数学知识是抽象的，教学不得法，会挫伤学生的学习积极性，会扼杀学生的实践能力，会抑制学生的聪明才智。因此，要多给学生实践机会，把抽象的符号化的数学知识转化为可视、可摸的具体实物，让学生的各种感官充分感知，在愉悦的情景中获得知识。二、灵活转化，激活思路小学数学是一门系统性、逻辑性很强的学科，各数学知识点之间联系紧密，组成一个既对立又统一的完整的网络体系。教学时，教师要引导学生用联系的观点去分析一些数学的问题，并适时转化，思维就会被激活，思路就会得到拓展。如，我教完“比的应用”这一小节后，设计了下面一题：甲、乙两数相加，和是240，相除，商是0.6。甲、乙两数各是多少？这种“按比例分配”的变式题，开始大部分学生感到“无从下手”。我启发学生联想到除法与比、分数三者之间的联系，然后相互转化，经过从不同角度思考分析转化，得出诸多不同的解答方法。三、打破常规，激发兴趣小学生往往根据已有经验去思考问题，容易被许多司空见惯的虚假现象迷惑，产生思维定势。思维定势会帮助他们解决一些数学的问题，如学生学习百分数应用题时，可以应用学过的分数应用题的解法去类推，学生就轻而易举地掌握了百分数应用题的解答方法。但有时也会将他们引入误区而不能自拔。我们应该善于引导学生用辩证思考方法，透过现象，抓住本质，消除定势，让学生用发展的、的、变化的观点去思考问题。四、勇于探索，培养创新数学教学中要对学生渗透辩证思维教育，必须让学生坚持实事求是的科学态度，一切从实际出发，理论联系实际，善于思考，勇于探索，发现新知。学生掌握了辩证思维方式，就能不断地发现问题，地研究问题，提出解决问题的新策略。如：教学整数除以分数应用题：“一辆汽车2/5小时行驶18千米，照这样计算，1小时行驶多少千米？”当学生掌握了根据行程问题三种数量关系列出算式，再推导出计算方法后，我没有罢休，利用这道题，让学生发挥聪明才智，大胆探索，寻求新的解题策略。用语言激励他们：看谁还会用其他方法解答出来？学生们跃跃欲试，动手画示意图，根据图意寻找联系。经过一番探求，学生得出以下几种新颖解答方法：①18÷0.4②18÷2×5③18＋18÷2×3④18×5÷2⑤18＋18×3÷2⑥18×1÷2/5⑦设每小时行X千米，列方程2/5X＝18。学生的探索过程，实际上是在不断进行辩证思维的过程，边探索，边获取新知，逐步完善认知结构。加强对学生的辩证思维能力的培养，有利于唤起学生的创新意识。教师要充分创造条件使学生产生辩证思维欲望，并适时加以指导同时建立相应有效的激励机制，学生辩证思维能力就会得到很好发展。

数学教育论文:数学教育与学生整体素质的提高

从我国当前基础教育改革的重点出发，把数学教育的改革同学生整体素质的提高联系起来，使数学教育在提高学生素质上发挥更大的作用，是一个重要的研究课题。数学教学的任务不仅是数学知识的传授和能力的培养，也同样担负着提高学生整体素质的多项任务。

一、数学教育在提高学生整体素质上的重要作用

数学学科的基本特点，决定了通过数学教学可以从多方面、多角度培养学生，促进学生整体素质的提高。主要表现在以下一些方面：

1．数学是学生不可缺少的基础知识和基本技能。

随着科技的发展，社会的进步，对基础的理解也在不断地变化，数学的基础知识和基本技能的范围和内容也在发生着变化。在由“应试教育”向素质教育转轨的教育改革中，如何使数学教育的内容更适合未来人才素质的要求，是一个应当引起人们重视的、迫切需要解决的问题。

2．数学是训练学生思维、提高学生智力水平的重要学科。

数学高度的抽象性和严谨的逻辑性，决定了数学这门学科在训练学生思维、培养学生能力方面有着特殊的作用。以往的小学数学教学在这方面积累了丰富的经验，为适应教育改革的需要，还应该进一步研究数学教学中学生能力培养的问题，制定出具体的、可操作的教学方法和评价方法。

3．数学对于培养学生良好的非智力因素有着特殊的意义。

现在社会信息的快速增长、科技的高速发展，竞争的日益加剧，要求培养出的学生不仅有扎实的文化基础，而且还有敏锐的思考力、强烈的求知欲、广泛的适应力和顽强的意志力。这些良好的心理品质要通过多种渠道对学生进行教育，而数学无疑是培养学生这些心理品质的好的学科之一。在数学的学习过程中，通过对数学的基础知识的理解和掌握，学生可以学会许多重要的思考方法。通过精心设计不同层次、不同类型的数学问题，学生在解题的过程中，锻炼了意志品质和精益求精的态度。特别是那些需要学生经过周密思考，反复研究才能解决的问题，更有助于培养学生的意志品格和克服困难的精神。

二、以提高学生素质为目标进行数学教育改革

数学教育的改革要超越数学学科本身的限制，以提高民族素质为目标，从整体上思考数学教育内容、方法等一系列改革。

1．完善课程内容。

建国以来，我们的小学数学教学内容经过几次较大的修改，可以说从总体上基本符合社会的要求，但是从未来社会发展的需要，从提高学生整体素质的高标准出发，数学教材的结构、要求和具体的内容还应该作进一步的改革和完善。从总的说应该在两个方面下功夫：一是加强和改进联系学生生活实际的内容；一是体现或渗透现代化的内容。

数学教育的大众化、生活化，这是当今数学教育改革的一大趋势。我们希望培养和造就更多数学家，但是基础教育中数学教育的根本目的不是培养未来的数学家，而是使未来的每一个公民接受必需的、有用的、能够学会的数学。数学本身是抽象的，但数学的原型是具体的，是来源于生活实际的。抽象的数学知识可以用具体的事物、具体的情境表示出来，由具体到抽象、由学生生活实际中的事物出发，就会使大多数学生感到数学不是那样神秘、那么遥远。

教学内容中体现大众的数学、生活的数学，就要对数学的教材结构进行调整。要进一步精简繁难的内容，适当地引入具体的内容，贴近生活的内容。比如，随着科学技术的发展，计算工具越来越多，越来越普及，在生活实际中需要计算的时候，人们更多地是用到估算和简单的计算，而比较复杂的计算可以借助于计算器和计算机等计算工具来完成。因此，在小学数学教学中有关计算的内容应该作进一步的调整。学生要掌握计算的基本原理和方法，遇到一个具体问题要知道用什么方法去解。同时要比较熟练地掌握基本的口算和笔算。在这个基础上，学生要学习一些估算和近似计算的方法。教学内容和教学结构进行适当地调整，就能保障学生学会这些解决具体的数学问题的操作策略。

在数学教材内容中加强与学生生活实际相关的内容，更能够提高学生的学习兴趣，培养学生对数学的情感和求知欲。学生看到所学的内容与发生在自己周围的事情直接相关，就会使他们感到自己每天都可以接触到数学问题，数学并不神秘，从而增强学好数学的自信心。

数学教育的现代化问题，早在50年代末60年代初开始的“数学教育现代化运动”中，就非常尖锐地提出并在实践中付诸实施。当时所提出的观点和方法，至今对数学教育的改革还起着重要作用。传统的小学数学教学内容，主要是17世纪以前就已经形成了的数学体系。这些内容中许多仍是现在的学习与生活所必须的，但随着科学和数学的发展，仅掌握传统的数学知识和方法是远远不能适应现代社会需要的。对教育内容的现代化，应该理解为两个方面的含意。一是引入现代数学的内容；一是用现代数学的一些观点和方法去认识和理解传统内容中的某些问题。实践表明，只能少量地增加前者的内容，过早或过多地直接引入现代数学的内容，效果并不好。而教改实践表明，结合有关内容体现或渗透一些现代数学的思想和方法，不但在实践中可以办得到，而且还有利于学生对相应知识的理解和掌握。用现代数学的一些观点和方法表示有关的内容，使学生在理解这些知识内容的同时，对所反映出来的数学思想和方法也有了一定的认识。这为学生用现代的数学方法思考问题，特别是将来进一步学习打下了基础。

2．更新数学方法

未来社会的发展要求学生具有探索精神、适应能力、创造能力、操作能力和分析问题解决问题的能力。数学教学方法的改革应该在培养学生适应未来社会的能力上下功夫。学生在校的学习时间是有限的，他们走向社会以后，需要学习新的知识，掌握新的方法，适应新的环境。这一切都需要学生在掌握必要的基础知识的同时，具备独立地学习新知识、探索新问题的能力。从这个意义上来说，更新小学数学教学方法的着眼点，应该放在培养学生的独立思考能力、实际操作能力和解决实际问题的能力上。在实际教学中要提倡活动式、启发式、问题解决式的教学方法。

活动式教学方法就是在教学中给学生提供具体活动的材料和活动的情境，让学生有机会参与对数学知识的探索、发现和认识的过程。运用这种方法，学生的学习过程不是被动地获取知识，不是简单地接受现成的数学概念和方法，而是主动地去认识数学的概念和原理。学生在活动中能够亲自体验到知识的发生和发展过程，能够通过自己的活动和师生之间、同学之间的交流，积极主动地探索和思考。从而培养学生的参与意识、探索精神、独立思考能力和动手操作能力。运用活动式教学法需要解决两个问题，一是为学生准备与教学内容和学生特点相适应的活动材料；二是为学生创设活动的情境。

数学教育论文:义务教育阶段数学活动课程设计

——兼及数学选修课程的思考

国家教委制定的《九年义务教育全日制小学、初级中学课程计划（试行）》（以下简称《课程计划》），已将活动课正式纳入课程内容，把义务教育阶段的课程（国家安排）设置为学科类和活动类两部分，使得课堂内外、校园内外的教育和教学活动有机地结合起来，更加有利于学生的自由发展。这一开放式的素质教育课程模式，充分体现了现代教育的社会教育特征，是发展基础教育、贯彻教育方针的重要举措。

随着义务教育的普及，初中毕业应成为每个公民人生旅途的中转站，社会需要的分流点。数学教育不仅要给初中毕业生以“双基”和能力的素质，还应使之获得相应的特长（这特长是技能的提高、是专长的基础），以切实帮助学生顺利地步入新的人生旅程。这是义务教育及《课程计划》的精神实质。既有素质又有特长的人，在下一世纪必定具备更强的生存能力，更能适应社会发展的需要。

课程即课业（教学内容）的进程，是为达到教育目标而规划出的学生与教学内容、教学资源及教学过程之间的相互关系。我们期望课程的学科和活动两个系统合理设置，产生多种价值。笔者认为按“人人掌握有用的数学”的要求优化学科课程以培养素质，开设活动课程以发展特长，并进行有关学科和活动的考核，应该是一种可取的思路。我们应该树立、科学的课程观，让学科和活动这两个轮子一起旋转，切实发挥它们的整体功能，并设置选修课程以促进学生健康成长，使义务教育阶段的数学教育走上一条“愉快”教育与“成功 ”教育结合的道路。

义务教育阶段尽管存在小学后的分流情况，但从教育战略、课程策略及培养目标来说，义务教育阶段有着鲜明的整体性，小学和初中不应该各自为政。本文拟出义务教育阶段数学活动课程设计，并兼及数学选修课程的思考，以求抛砖引玉，促进《课程计划》的顺利实施。

一、关于数学的活动课程（特长性、应用性、趣味性）

（一）活动认识

我们应该确认：活动课程是以学生发展、知识体系及社会需要等因素为依据，在教师指导下，通过学生的主动活动，以获得直接经验和实践特长为主的课程。通常称谓的课外活动，是弹性极大的一种辅助性学科课程形式或思想品德教育活动。这里，“课外”指的是国家安排的正式课程之外，“活动”泛指各地安排的各种教育性非正式课，故课外活动与活动课程不可同语。活动课程的开设意义不在于它与杜威当年搞的“活动课程” 究竟有何异同，而在于它对学校教育教学工作的独特功能及其有效、顺利地实施。

“活动在实施发展教育中与学科相辅相成”，它们是同一促进学生发展过程的两个不同方面。学科课程以培养素质、打好基础为主旨，编排上侧重知识本身的逻辑顺序，其教学中间或进行的实验、参观、演示、练习等直观性活动，是理性间接经验习得过程中必要的感性认识；活动课程则以增长才干、发展特长为主旨，它强调学生认知发展的心理顺序，注重学生的亲身实践，以直接的体验、探究及发现为认识途径。

《课程计划》设置的活动有：晨（夕）会、班团队活动、体育锻炼、科技文体活动、社会实践活动和校传统活动等。按其“活动设置的基本要求”可知，科技文体活动属于技能性活动，其它活动为常规性活动。科技文体活动的目的是“使学生增强兴趣，拓宽知识，增长才干，发展特长”。这里，“发展特长”既是出发点又是归宿，我们应该确立将《课程计划》中的技能性活动上升为特长性活动的实施思路。由于数学的“三性”特点（尤其是广泛的应用性），以及现代社会对基本数学（不同于基础数学）的普及需要，笔者认为应设立专门的数学活动课，以发展学生的普及性数学特长。这种特长对小学、初中毕业生来说，是已获得知识的应用，是已具有技能的提高，是进一步发展专长的基础，能使他们顺利地适应社会需要和社会发展（义务教育数学教学大纲明确了数学的应用问题，并安排了与解直角三角形和统计有关的实习作业，但远没有上升到特长课的位置）。

（二）设置思路

国内已开展了不少数学活动试验，如数学竞赛、电脑学习、速算训练等等，还有综合的应用性问题的有关数学活动也在各地有所开展，它们不同程度地增强了学生的数学应用意识。如北京市1993年举办了首届“方正杯”中学生数学知识应用竞赛，并于1994年暑期编出了以数学应用为内容的初中课外活动教材。而应用性问题十分复杂，若把它作为一个以社会为基础的综合课题来研究实施，要求每个学生接受的应用性训练，则有可能把数学教育改革引入一个新的误区，将学生推入一个新的苦海，80年代的应用题考试给当时带来的结果就是例证。因为这实在是

企业（用人单位）、社会及数学教育工作者对学生要求得太过分了，也不符合义务教育及“大众数学”的精神。

现代社会确是人人需要数学，义务教育阶段正是实现“大众数学”目标的及时阶段。如何设置、开展这一阶段的数学活动才是合理、可行的呢？笔者建议在突出特长性，注重应用性，贯穿趣味性的原则下，将义务教育阶段的数学教学内容与社会发展需要及学生个性发展结合起来，设置较为完整、、独立的特长性数学活动，供学生选择参加（每个学生选学其中两门活动课），以使学生成为各具特色的“标准件”，让人人都有个性健康发展的天地。数学活动的课程门类和内容编排在整体上还要符合以下四点：

1.具有系统的应用体系。即与一定的特长目标相关联，有助于学生增长才干并习得一技之长，进而使学生顺利走向社会生活或进一步学习发展，切不可为了活动而活动。

2.紧扣学科教学大纲。学科教学大纲的内容编排本身蕴涵了学生认知发展的心理顺序，我们可以依照数学学科教学大纲的知识单元（适当调整或拓宽），配以相关素材设计，安排数学活动，以充分利用学科课程的知识技能及其业已获得的成熟性，降低活动课师资培训的难度。可以明确，活动特长与学科内容的相关性越强，它们的整体功能会越大。

3.合乎有效学习的基本原理。要有利于激发学生的学习兴趣，体现认识规律（显现认识的三个层次：是什么、为什么、怎么用）；展示探究过程（理性地再现知识生成过程，通过循序渐进的思维阶梯使知识、情感、意志相互结合，帮助学生形成自学能力）；实施活动方法（使经验、思维、方法融为一体，让学生获取终身受益的精神文化力量和实践能力）；内化教学功能（要易于反馈、迁移，实现知之好之乐之的转变，便于学生自学）。

4.体现“五育”整合的功能。特长性数学活动遵循“外因通过内因而起作用”的哲学基本理论，其教学应该使学科教育培养的认识能力得以升华，不断发展学生的创造性实践能力，这是具有深层意义的智育；学生的主动活动，应是实现由道德认识向道德行为习惯转化的实践活动，也是学生理解规则、体验美感、领略自由的实践过程，成为德育和美育的现实途径；活动课无疑要有助于学生身心的和谐发展，它本身就是体力、意志力的锻炼与运用，有利于人脑两半球机能的平衡协调发展，从而促进学生智慧潜力的开发；活动实践中每一个物化的劳动成果，都将有力地完善着学生的个性和人格。

数学教育论文:数学史的教育价值和具体应用

随着数学、科学技术和社会的发展,人们对数学有了越来越深刻的认识,对数学和数学教育、数学史与数学教育的关系有了越来越深刻的认识,对数学教育取向的数学史研究及其教育价值的发挥也越来越重视。本文就数学教育取向的数学史的学科性质,它与数学教育的密切联系,怎样通过数学史学习加强数学教育、发挥数学史的教育价值,以及融数学史与数学教学中存在的困难和问题做初步探讨。

1、数学史的学科性质

数学史是研究数学发展历史的学科,是数学的一个分支,也是科学史下属的一个重要分支。数学史与数学研究的各个分支、社会史、文化史的各个方面都有着密切的联系。数学史研究数学原理、概念、思想和方法等的起源与发展,及其与社会、政治、经济和一般文化、教育的联系,它不仅追溯数学原理、概念、思想和方法的演变、发展过程,而且还探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容及其发展的历史分期,而且涉及历史学、哲学、文化学、教育学、宗教学等社会科学与人文科学内容。因此,数学史是一门综合性、交叉性学科。

本文所指的数学史,不是那种为历史而研究历史的纯数学史,而是为教育而研究历史的数学史,也就是数学教育取向的数学史,其关注点侧重于以对数学发展作出贡献的着名历史人物的可歌可泣的、丰满鲜活的数学创造事迹为载体,追溯数学原理、概念、思想和方法的演变、发展过程,探索影响这种过程的各种因素,以及历史上数学发展对人类文明所带来的影响。

2、数学史的教育价值

数学是历史最悠久的人类知识领域之一。从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明,从量地测天到抽象严密的公理化体系,在五千余年的数学历史长河中,重大数学思想的诞生与发展确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。与自然科学相比,数学更是积累性科学,其概念和方法更具有延续性。数学已经广泛地影响着人类的生活和思想,是形成现代文化的主要方面。因而,数学史是从一个侧面反映的人类文化史,又是人类文明史的最重要的组成部分。许多历史学家也通过数学这面镜子,了解古代其他主要文化的特征与价值取向。

数学科学作为一种文化,不仅是整个人类文化的重要组成部分,而且始终是推进人类文明的重要力量。对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说,数学史是必读的篇章。可以说不了解数学史就不可能了解整个数学科学。数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位,是由数学作为一种文化的特点决定的。数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身,还是了解整个人类文明的发展都具有重要意义。

数学史在数学教育中的重要作用早在19世纪就已经被一些西方数学家所认识。法国着名数学家亨利·庞加莱(J.H.Poincare,1854~1912)指出:“如果我们想要预见数学的未来,适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”[1]数学史家卡约里(Cajori,1859~1930)说:“数学史的重要性表现在数学为人类文明所作出的贡献。

人类进步与科学思想的发展密切相关,数学与物理的研究乃是智力进步的记录。”[1]

19世纪末以后,欧美众多着名数学家、数学史家和数学教育家都提倡在数学教学中直接或间接地利用数学史,数学史的教育价值受到数学家们的大力提倡。[2]

在1904年德国海德堡召开的第三届国际数学家大会上,美国着名数学史家、数学教育家史密斯(D.E.Smite,1860~1944)与其他国家的几个数学家、数学史家和数学教育家在提出的一项决议中指出:“数学史在今天已成为一门具有无可否认的重要性的学科,无论从数学的角度还是从教学的角度来看,其作用变得更为明显,因此,在公众教育中给与其恰当的位置乃是不可或缺的事。”该项决议希望在大学里开设精密科学史课,包括数学与天文学史、物理与化学史、自然科学史、医学史四部分。该项决议还建议在中学课程中介绍精密科学的历史。[3]

到了20世纪70年代,数学史对数学教育的重要意义已成为西方数学教育家们的共识,数学史与数学教育之间关系的理论研究也引起广泛关注并提到了国际数学教育的议程中。1972年,在第二届国际数学教育大会上,成立了数学史与数学教学关系国际研究小组(简称HPM,1976年开始隶属于国际数学教育委员会),这标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。[3]

在我国,数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。近年来,论述数学史教育价值的文章不断增多,在数学教学中融入数学史的呼声越来越强烈,特别是《普通高中数学课程标准(实验)》的颁行把数学史融入数学教学的行动从幕后推到了前台。2005年5月在西安召开了我国及时届数学史与数学教育会议,这表明,数学史与数学教育这一领域已经得到我国数学史与数学教育界的普遍关注。

总之,数学教育取向的数学史的教育价值早已被人们所认识,关于数学史与数学教育的关系的研究正在不断深入,融数学史于数学教学已经从理念逐步变为行动,也成为通过数学教育对学生进行德、智、美育的切入点。通过数学教育取向的数学史的学习,进一步认识数学史与数学教育的内在密切联系,在数学教育教学过程中发挥数学史的教育价值,优化学习者的知识结构,提高人才培养质量。

概括而言,数学教育取向的数学史的教育价值主要在于以下几个方面:

2.1 给数学教学积累丰富的教育性资料

数学具有严谨的逻辑性、高度的抽象性、应用的广泛性、深刻的文化性、知识的延续性、独特的优美性等特点。作为数学教师,只有通过数学史积累丰富的教育性资料,才能获取相关知识点(如,数学概念、公式、定理和方法等)的教学启示,为丰富和活跃数学教育教学活动打好基础。

数学史对于数学教师而言不仅是教学中必需的知识,而且也是形成数学思想和方法以及培养专业精神和科学探索精神的源泉。

荷兰着名数学史家迪克斯特休(E.JanDijk-sterhuis,1892~1965)强调数学史在师范教育中的重要作用时指出:“中学数学教师的主要任务是向下一代传授数学知识,并且,如果可能的话,激起他们对于人类千百年以来在该领域中所取得成就的热爱与崇敬。对于这些师范生来说,关于这门学科历史演进的知识乃是一种财富,这种财富不仅是宝贵的,而且是不可或缺的,它---自然还需要掌握现代数学知识---将使他们能够令人满意地完成自己的职责。他们经常需要去关心过去数学发展的各个阶段,他们必须把这些阶段讲得清晰一些,对孩子有吸引力一些。孩子们必须通过这种方式得到思维的训练。”

2.2 为数学课程和教学设计提供丰富的史料

近几年来,在国内外数学教育改革中,强调数学的文化价值,使数学史知识得到广泛的关注。

数学史已成为数学课程和数学教学设计的丰富史料,已成为数学教学内容的有机组成部分。

《义务教育数学课程标准(2011年版)》指出“数学文化作为教材的组成部分,应该渗透在整套教材中。为此,教材可以适时地介绍有关背景知识,包括数学在自然与社会中的应用,以及数学发展史的有关资料,帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用,激发学习数学的兴趣,感受数学家治学的严谨,欣赏数学的优美。”《普通高中数学课程标准(实验)》把“数学史选讲”作为选修课加以开设,并在理念部分指出:“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势,数学对推动社会发展的作用,数学的社会需求,社会发展对数学发展的推动作用,数学科学的思想体系,数学的美学价值,数学家的创新精神。数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用,逐步形成正确的数学观。”在选修课系列3-1“数学史选讲”中列出了可供选择的11个专题,并提出了具体要求:“通过生动、丰富的事例,了解数学发展过程中若干重要事件、重要人物与重要成果,初步了解数学产生与发展的过程,体会数学对人类文明发展的作用,提高学习数学的兴趣,加深对数学的理解,感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”“完成一个学结报告。对数学发展的历史轨迹、自己感兴趣的历史事件与人物,写出自己的研究报告。”“本专题由若干个选题组成,内容应反映数学发展的不同时代的特点,要讲史实,更重要的是通过史实介绍数学的思想方法,选题的个数以不少于6个为宜。”这将会大力推动数学史和数学教学的融合,进一步发挥数学史的教育价值。[4][5]

2.3 深化对数学原理、概念、思想和方法的理解

数学有产生发展的特定历史过程。只有懂得数学发展史,才能深刻理解数学。在数学教学中融入数学史内容,让数学教学鲜活起来,有助于学生对数学概念、方法和原理的理解与认识的深化,帮助学生理解数学及其价值,形成正确的数学观。数学家研究数学的时候带着激情在思考,一旦研究有了确切结果,呈现在我们面前的则是冰冷的美丽学术形式。因此,我们要通过数学史的学习,了解当时的数学家为什么和如何研究数学。一个数学原理、一个具体的数学概念,一个有效的数学思想方法究竟是怎样产生的?一个数学符号是怎样演变形成的?为什么古希腊人要用公理化方法展开数学,从而形成演绎几何体系?

他们所处的时代背景如何?中国古代数学的特点和古希腊数学的特征有何不同?等等。弄清这些问题,对学生理解数学很有好处。在这方面,值得研读的数学名着之一是美国着名数学史家M·克莱因(KlineMorris,1908~1992)1972年出版的着作《古今数学思想》(1979年有中译本)等。

丹麦数学家、数学史家邹腾(H.G.Zeuthen,1839~1920)早在1876年的一篇数学史论文中就强调数学专业的学生学习数学史的必要性,他指出:“学生不仅获得了一种历史感,而且,通过从新的角度看数学学科,他们将对数学产生更加敏锐的理解力和鉴赏力。”[3]对于一个数学教师而言,如果没有数学史方面的知识积累和修养,很难把数学课上好。

2.4 激发学习兴趣和爱国热情

融数学史于数学教学,使学生了解数学与人类文明发展的密切关系,可以激发学生的学习兴趣,活跃课堂气氛,提高教学效果。数学史可以使学生了解数学的发展,了解中国古代数学的辉煌成就,了解中国近代数学落后的原因和中国现代数学研究发展的现状,充分介绍中国现代数学家的贡献,以激发学生的爱国热情,培养胸怀宽广的奉献精神,振兴民族科学。华罗庚(1910~1985)、陈景润(1933~1996)、陈省身(1911~2004)等着名数学家的光辉事迹,中学物理教师陆家羲(1935~1983)在数学研究上取得的成就和献身精神等等,不仅是进行数学专业教育的典型材料,而且是进行思想教育、启发人格成长的良好材料。实现数学教育的德育功能,数学教育取向的数学史学习是不可缺少的内容。数学是全人类的共同财富。在科学发现上,各个国家和各个民族应该彼此借鉴,互相学习,共同提高。要把外国的一切文化,包括数学成就都充分尊重,吸收过来。“洋为中用”,为祖国建设服务,实际上就是爱国主义教育。

人类的数学文明最早起源于巴比仑,其次是埃及。巴比仑的泥板、埃及的纸草书上的数学记载都在公元前1000年以上。即便是后来的古希腊的数学文明也远早于中国。中国古代数学虽然出现得比地中海文明要迟许多,但是具有自己的特点,同样为人类作出了重要贡献。我国着名数学家吴文俊院士曾经十分深刻地指出,中国古代数学的传统是“算法数学”.中国算学虽然缺乏古希腊式的公理化演绎体系,却十分地用算法的形式表达出来。20世纪70年代,吴文俊从研究中国古算受到启发,并结合现代计算机技术进行思考,发展出了世界经验丰富的“数学定理机器证明”方法(世称“吴方法”)。这样的古为今用,才是真正的爱国主义,才能真正激发起民族自豪感。

2.5 强化应用和创新意识

提高学生对数学的宏观认识,数学教师的任务不仅要把书本上的内容讲清楚,还要对数学发展的来龙去脉有清楚的介绍。一个的教师,不仅要授人以业,还要授人以法,进而授人以道。

教师要掌握这些“法”和“道”,必须宏观地理清数学发展的脉络,深入理解数学的本质。

对于进行数学创新来说,数学史研究更具有指引作用。数学史中记载了许多数学家发明发现的生动过程,向学生介绍这些过程,有助于学生理解掌握创造的方法、技巧,从而增强其创造力。如公元263年,刘徽对我国数学古籍《九章算术》的注释中提出了计算圆周长的“割圆”思想。“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”,这些对极限思想的朴素生动的描写,对后人是一种创新激励。大量的数学史料,对于培养学生坚韧不拔的探索精神,形成良好的认知结构和知识结构都具有重大意义。

2.6 提高人文修养

许多数学家都是文理兼修的饱学之士,他们都具有辩证的认知结构和文理贯通的知识结构。因而,历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。在高等学校里,通过数学史学习,可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时,获得人文科学方面的修养,文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌,获得数理方面的修养。通过数学史学习可以对学生进行人文教育,进行美育熏陶。在中小学数学教育中恰当地融入数学教育取向的数学史,对学生进行人文教育和美育熏陶,是数学课程改革中值得重视的一个重要课题。

3、在数学教学中融入数学史应注意的问题

如何在基础教育数学教学中渗透数学教育取向的数学史,是一个国际数学教育界共同关心的问题。1998年,国际数学教育委员会在法国马赛组织了一次“数学史与数学教育”的专题研讨会。

这次会议的主题是数学文化,要求数学教学充分反映数学的文化底蕴,从课程内容,概念形成,证明方法,习题配置等各个方面,多方位地使数学史融入、丰富和促进数学教学。

数学文化观念下的数学史教学,要把握各民族文化发展的历史进程,看到世界各国的科学技术是如何各自发展,又如何彼此融合,互相促进。

数学是人类追求真理的文化结晶。我们要从数学史中汲取对我们今天有用的文化内涵。

3.1 融数学史于数学教学应重视科学性、实用性、趣味性和广泛性

(1)科学性是指教师向学生传授的数学史知识必须是正确的。应该尊重历史,尊重事实,既不可随意编造,也不能无端拔高,更不可进行艺术加工,不可把数学史当作故事,随意虚构。

(2)实用性是指所讲的数学史对学生的数学学习及将来工作有直接帮助作用。例如,初等数学中的数的起源与记法、发现无理数的过程、圆周率、勾股定理、笛卡尔对直角坐标系的贡献等等;高等数学中的微积分的概念、函数的概念、非欧几何的创立,不仅史料丰富,而且内容精彩,非常适合于课堂教学,对学生理解所学的知识有很大的帮助。但受课时的限制,所选内容要精当,要有所侧重。

(3)趣味性是指课堂教学要有趣味,学习内容可以激发学生的学习兴趣。数学史上惊心动魄、引人人胜的例子不胜枚举,教师应恰当选材,使课堂教学娓娓动听。讲授时要合理地运用语言,全身心地投入表达,语调与情节配合,知识性与趣味性共生,应避免照本宣科或哗众取宠,要寓教于乐,注重实际效果。

(4)广泛性是指选取的数学史知识要涉及面广。数学是几千年来全人类孜孜以求、不断探索、历尽千辛万苦共同取得的理性财富。在整个数学科学发展长河中,数学是在人类社会变革推动之下,各国数学家相互交流学习,共同探索的结果。因此,在进行数学教育取向的数学史教学时注意选择不同时期、不同国度的史料。这样才能地、真正地、地展示数学史的全貌。

3.2 融数学史于数学教育关键在教师

(1)教师应有广博的数学史知识以及政治、经济、哲学、文化、历史、地理等多方面的知识,教师应加强数学史知识的学习和多学科知识的充实,丰富自己的阅历。这样讲课才能得心应手,将课讲活讲透。不能将数学史知识生搬硬套地应用到数学教育中。

(2)数学史知识是穿插在授课内容中的,不能喧宾夺主,应以完成授课计划为主。在授课过程中自然引出,不应过分渲染,忽视了正常的教学内容。正确把握好数学史和课堂教学内容的主次。

(3)除课堂教学外,应为学生提供适当的参考文献,引导学生阅读课外读物,例如,各种专题论述、人物介绍、学科进展等,使学生开阔眼界,启发和引导学生进行正确阅读,继而进行自学,使学生终身受益。

(4)数学史中教书育人的作用是其他数学课无法取代的。这要求教师应有积极主动的态度,为人师表,在理想、道德、情操方面为学生树立榜样,提高学生的数学素质和思想素质,要把爱国主义和国际意识统一起来。

3.3 努力改变“高评价,低应用”的现象

如何将数学史融入数学教学,是近几年来国际上数学史与数学教学关系国际研究小组(HPM)关注的中心话题,一些国际知名的HPM研究者相继对数学史融入数学教学的层次、过程、形式和途径进行了深入探讨。但是,由于数学教育的复杂性及其现实条件,真正具有普遍推广价值的研究结果比较少。在我国,尽管有很多学者大声呼吁“应该讲点数学史”,而探讨如何去做的实质性试验研究明显偏少。于是,世界各地在融数学史于数学教学方面不同程度地都存在“高评价,低应用”的相悖现象。这个问题在我国进行基础教育数学新课程改革的今天显得更加突出。

究其原因,从数学教师的角度来看,主要有“四无”,即手头无资料,胸中无知识,课程中无设计,课堂上无时间;从考试的“指挥棒”作用上来看,主要有“三不”,即考试不要求,平时不检查,学生不愿意花时间;从教学资源方面来看,主要有“二少”,即研究投入少,教学案例少。因而导致教学资源(包括显性的和隐性的)不足,进而影响学生综合素质的提高。因此,我们要增强教学资源开发意识,加强试验研究,努力改变“高评价,低应用”的相悖现象。国家数学课程标准的颁行,考试制度的改革,将会对融数学史于数学教学、发挥数学史的教育价值有一个实质性的推进。

数学教育论文:[小学数学]对小学数学教育几个问题的思考

在国际上，数学教育始终都是备受关注的领域。在基础教育课程体系中，小学数学一直处于重要位置。随着新世纪的到来，数学科学本身有了大的发展，人们对小学数学教育的要求也发生了变化，小学数学教育面临巨大挑战，理论上与实践上日益暴露出很多复杂的矛盾冲突。

一、关于满足学生兴趣需要与小学数学教育的强迫性之间的矛盾冲突

在教育问题上，经常会出现这样的情况，矛盾和冲突的双方似乎都有一定的合理性。满足学生的兴趣和需要与小学数学教育的强迫性就是这种矛盾的双方。现代社会要求尊重每一个学生的权利，尊重学生的兴趣和需要。它是现代教育的一个原则。然而，扪心自问，对学生真正需要和感兴趣的事情，我们成人无论如何努力，恐怕永远都不能地满足他们。对一个具有强烈的社会责任感的教师而言，出于长远考虑，从社会和国家的要求出发，有时会强迫学生服从教师的意志，听从教师的安排，尤其是在基础教育阶段更是如此。在小学阶段，数学教育具有基础性和普及性，是一种为学生打基础的教育，是要求人人都要接受的普通教育。当学生对数学缺乏兴趣时，满足学生兴趣需要与小学数学教育的强迫性之间的矛盾就显得更为突出。

事实上，我们无法否认有一部分学生是极其喜爱数学的，哪怕有升学的压力和高分的诱惑，对这些孩子来说，热爱数学是首要的学习动力源泉。但同时，我们也得承认有相当一部分学生是不喜欢数学的，甚至还有极少一部分学生是厌恶数学，一听到数学就头疼的。对这些学生来说，得到父母的肯定和教师的赞扬以及满足升级、升学的要求等，则是学习数学的主要动力。遵循满足学生需要和兴趣的原则，对那些不喜欢数学的孩子，教师应该表示宽容和理解。但对孩子来说，一个能够容忍他在数学课上看漫画书、开小差的教师，就其一生来说，是他的幸还是不幸呢?若因教师的宽容和放任，儿童失去了更好的发展机会，等长大成人以后一事无成，他对这样的教师是心存感激，还是心怀怨言呢?但是，反过来，如果教师对孩子实施强迫性的教育，致使他们对数学产生了一种消极的不愉快的情绪，影响了他们学习的积极性，甚至怀疑他们自己的能力，对数学产生了畏惧心理，这又岂不是得不偿失?

因此，在小学数学教育上，如何既能满足学生的兴趣需要，又能达成小学数学教育的目标是一件极为困难的事情。在这一问题上，前苏联教育家阿莫纳什维利给我们提供了很好的成功案例和积极的思想观念。他说：“如果一个儿童学习有困难，而我们确实想帮助他，那么，最主要的事——我们应该从何人手，什么是我们应该始终不渝地信守的原则——就是使他能感到，他像所有其他儿童一样，也是有才能的，他也有自己的特殊的‘天赋’。”[1]在这里，阿莫纳什维利所谓的“应该始终不渝地信守的原则”其实就是人性的原则。这个人性的原则超越了简单地满足学生的兴趣需要或实施强迫性数学教育的理念，既不以升级为目的，也不是简单地满足学生当前的需要，而是以使学生获得自信和对学习的兴趣为目的。基于此，在处理学生兴趣需要与数学教育的强迫性矛盾时，我们的初步认识是既不能简单地服从学生的兴趣和需要，降低对他们的要求，也不能过分强迫学生，给学生施加升级和升学的压力，而是要淡化要求，降低强迫性，创造一个合乎人性的学习环境，帮助学生取得进步，增强学生的自信心。

二、关于大众数学教育与精英数学教育之间的矛盾冲突

20世纪80年代以来，国际数学教育界就存在着“大众数学教育”与“精英数学教育”的矛盾冲突。所谓“大众数学教育”是一种面向人人，希望使数学对大多数学生来说更有吸引力和力所能及的教育理念。在我国，主导的大众数学教育思想认为，“大众数学意义下的数学教育体系所追求的教育目标，就是让每个人都能够掌握有用的数学”。[2]其基本含义包括“人人学有用的数学”“人人掌握数学”“不同的人学习不同的数学”。[3]国家教育部2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》又将这一思想进一步阐发为：“人人学有价值的数学”“人人都能获得必需的数学”“不同的人在数学上得到不同的发展”。所谓“精英数学教育”，就是指以培养数学精英人才为目的的数学教育，比如为大学数学专业输送人才、培养以数学研究或应用为职业的人等。

长期以来，我国的数学教育是一种典型的精英教育。人们批评这种教育是为了个别学生的发展，牺牲大多数学生的发展利益。数学教育的内容不是学生掌握不了，就是学了也没用。这种教育的价值是为高一级的学校筛选有能力的人，体现的是“筛子”的功能。它不能使大多数人体验到学习数学的成功喜悦，获得学习的自信心。但是，现代社会的发展又需要精英，需要有专业知识和专业精神的人，全盘否定精英教育的价值也是不可取的。因此，大众数学教育强调“不同的人在数学上得到不同的发展”，就有解决大众数学教育和精英数学教育的矛盾冲突的意思，认为大众数学与精英教育并不对立。“恰恰相反，大众数学意义下的数学课程提供了更为广泛的现代数学分支的原始生长点，它为对数学有特殊才能和爱好的学生提供了更多的发展机会”。[4]在美国，大众数学教育和精英数学教育的矛盾具体化为“公平”和“”之间的矛盾。“许多专门的计划都在探索着如何促进公平和。其中好的计划是对具有不同需要水平的学生提供不同水平的期望。”“提高期望可保障对一切人公平和。”[5]这也就是所谓的“数学上普遍的高标准”，是一种要求人人能数学地思考的教育观念。

一些数学家对大众数学思想提出质疑，[6]包括这种保障对一切人公平和的数学教育的质疑。他们的问题有：1.“这是否还是数学”。有数学家怀疑大众数学由于过分强调问题的开放性和问题的“真实意义”，导致学生对数学的本质形成错误的认识，认为数学是无意义和毫无用处的，因而有人质问“大众数学是否就意味着没有数学”了呢?2.“(大众)数学：一或多?”数学界对大众数学有不同的理解。经典意义上的数学是希腊人开创的传统，强调演绎和推理；古埃及和古巴比伦的数学传统是“经验的方法”；我国的传统是“问题一算法”，强调实用、经验归纳等。因此，人们不禁要问“我们究竟需要什么样的大众数学”?3.“是否人人都需要数学?”“是否人人都需要高质量的数学?”在数学家Noddings看来，“数学上普遍的高标准”不是一个正确的口号，他说：“我将帮助那些对数学有着强烈兴趣的学生学习数学家观察世界的方式，但我并不要求所有的学生‘像数学家那样地思维’，他们应当按照自己的目标来学会如何应用数学”“除基本的算术以外，任何现行的课目都不能被认为是必要的”。

显然，大众数学教育和精英数学教育之间的矛盾并没有那么容易解决。稍有一点专业知识的人都明白，一个人如果没有精深的数学专业素养是不可能领略数学之美，透彻领会数学内蕴之深厚的。大众数学教育所倡导的数学教育思想必须依托于数学学科的成熟发展。对个体来说，整体认识数学全貌及其全过程，具备到位的数感以及数的意识等，非得有专业训练不可。我国基础教育数学新课程改革要求课程内容的学习强调学生的数学活动、发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力等。还有当前人们试图通过数学教育来传达的种种关于数学价值的阐释，比如，“数学是一种文化”“数学是理解世界的工具”“数学是一种意识”“数学是一种思维方式”“数学是一种技术”等等，这一切对小学生来说是否是一种更高、更难达到的要求，是值得思考的。在数学教育问题上，有时要求越多，越不知如何去做，的结果就可能不尽如人意。有时抓住一点，扎扎实实，深入做下去，反而兼顾整体。

三、关于数学专家的建议与学校数学教育目标之间的差距

数学专家的期望能否直接进入学校教育领域，成为教育的目的呢?这一问题也值得讨论。

1989年，美国促进科学协会出版了《普及科学——美国2061计划》。计划内容涉及学习目标问题。但是“参与2061计划及时阶段的数学家在本报告中提出的一些思想，将在计划的第二阶段由另一些人转化成课程方案，这些人的职业工作使他们非常熟悉有关孩子们早期经历的各种解释”。[7]由此可以看到，美国2061计划的专家建议并不是直接进入教育领域，而是通过一系列的转化工作。任何一门学科都有极其丰富的文化价值和教育价值，但是否有价值就要进入学校教育领域呢?从目前学校的状况来说，这是不可能的。一门科学要想成为学校的一门学科，其内容要想进入学校课程领域，必然经过一个被选择和筛选的过程。这个筛选过程在古典课程论专家拉尔夫·泰勒那里被理解为两个环节：一是在选择教育目标时运用哲学。究其原因是由于达到教育目标需要有一定的时间，学校的目标应该是少量的，而不应该太多。如果试图达到众多目标，而实际完成的却极少，那么，这种教育计划是无效的。同时有些目标之间也存在一定的矛盾冲突，这样容易引起学生的困惑，因此为了选择少量非常重要而又互相一致的目标，必须对已经获得的大量庞杂的目标进行筛选。而“学校信奉的教育和社会的哲学可用作及时个筛子。人们可以根据学校的哲学陈述的或隐含的价值观，对最初列出的教育目标加以鉴别，确定那些具有高度价值的目标。”[8]二是在选择教育目标时运用学习心理学。“这道筛子是学习心理学说提示的选择教育目标的准则。教育目标即教育宗旨，是经过学习而得到的结果。除非这些教育宗旨是与学习的内部条件相一致的，否则它们作为教育目标是没有价值的。”[9]泰勒的这两个筛选教育目标的原则是针对一般的课程编制而言，是极为有价值的，对小学数学教育目标的确定也很有启发。除此之外，笔者以为，确立小学数学教育的目标还必须考虑以下几个方面。

首先，是促进学生发展的原则。在这点上，维果茨基的最近发展区理论给我们提供了很好的借鉴。维果茨基认为，“只有跑到发展前面的教学才是好的教学”。[10]小学数学教育目标应该设置在儿童的最近发展区内。低于儿童现实发展水平的目标要求是没有意义的，而高于儿童明天的发展水平，任学生付出多么大的努力都不能达到的目标同样是没有价值的。比如，培养学生的“数感”问题、学生对数学与日常生活之间的联系的体验问题等，都是有层次之分的。数学专业人士所拥有的数感，以及他们所感受的数学对生活的重大意义不是所有的人都能理解和接受的。就连“数学是思维的体操”这样一句很多人耳熟能详的名言，恐怕也不是小学阶段的孩子们能够理解的了的。至于数学文化、数学意识、数学思维、数学技术等种种数学观念，如何以合理的方式进入学校，以促进学生的较大发展，都是必须解决的问题。

其次，必须考虑师资条件。20世纪60年代，美国的“新数学”运动失败了。其中一个重要的原因就是没有充分考虑当时的师资条件。“新数学”之新是毫无疑问的，“新数学”的教育理念也是先进的、现代的，但它对教师的要求之高也是众所周知的。尽管它也为教师提供了相应的培训和辅助教学材料，但终因要花费大量的时间和金钱，而并没有多少学校和教师真正采用和实施。因此，要求教师必须具备数学家的素养才能胜任的数学教育，有可能也会重蹈“新数学”运动的覆辙。

再有，经济条件也是一个重要制约因素。比如，吴文俊院士1995年在《数学教育现代化问题》一文中说：“我今天讲的这个东西是我多少年一直想讲的。在好多年前，至少是1983年或者更早，我就想在中学里边推行，可就是不敢，因为中学里边是不能随便讲的，而且当时条件不具备，你要用计算机，可在中学里边根本不可能。”[11]一种教育目的的达成如果需要大笔经费的支撑，而这一大笔经费又根本是个画饼，是目前社会的经济发展水平不能提供的，这样的教育目标自然会因其不现实而不能达成。

四、关于小学数学教育目的的功利性与过程的非功利性之间的矛盾冲突

小学数学教育还须处理功利性目标与非功利性过程之间的矛盾冲突。教育是一种实践活动，就其追求来说，是现实的、功利的。人类任何科学领域的内容要进入学校领域都是以其是否有价值来衡量的。然而一旦进入学校教育领域，人们要求的理想的学习方式又是非功利的。比如，美国学者要求人人都来关心数学教育时，强调的都是数学教育的功利价值，像这样的陈述有“数学是打开机会大门的钥匙”“它以直接的和基本的方式为商业、财政、健康和国防作出贡献。它为学生打开职业的大门；它使国民能够作出有充分依据的决定；它为国家提供技术经济竞争的学问。”“对所有学生进行品质的数学教育是兴旺发达的经济所必需的”等等。[12]大多数数学专家则认为引导学生对数学本身感兴趣，比对数学的应用感兴趣更有价值。这是一种追求数学的内在学习价值的观念，是非常好的。但是，对不想从事与数学专业有密切关系的专业的人们来说，我们不能不理解他们的功利追求。我们不但不反对人们这样问：学数学对我有什么用?有时反而还要顺着这一问题思考：对不想做数学家，不想从事数学专业的人来说，学数学有什么用呢?比如，泰勒认为“向学科专家提出的问题应该是这样的‘这门学科对外行或一般公民有什么贡献?’学科专家倘若能够回答这样的问题，就能作出重大的贡献，因为他们可能具有这个专业领域大量的知识，而且其中许多人可能已有机会看到这门学科对他们自己以及对与他们一起工作的人有什么用处”。[13]美国2061计划及时阶段数学专家的小组报告的及时句话就是“本报告回答一个问题：‘当一个人到了18岁的时候，有哪些重要的数学思想是他应该知道并且明白的’”[14]而这里所谓“重要的数学思想”，“并不是按照培养数学家或者即使是培养大学生的标准来设计的”。[15]

无论是泰勒还是参与2061计划的数学专家都尽量避免从个别“数学天才”的角度来回答上述问题，而强调数学的应用价值，使数学教育目的具有鲜明的功利追求。但在我们看来，数学教育的组织如果仅以满足大多数外行的要求为原则，则有可能会降低数学的科学性、使数学被大众歪曲应用，甚至对数学本身产生难以消除的误解。因为真正理想的数学教育过程是非功利性的，在这样的过程中，学生的学习是被数学本身的魅力和数学学习本身的乐趣所引发，学生的状态是积极主动的、自觉自愿的。只有非功利性的数学教育过程才能充分发挥学生的潜力，因为儿童都有一种与生俱来的以自我为中心的探索性动机，正如苏霍姆林斯基所说：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要则特别强烈。”[16]因此，在处理这一问题上，保持谨慎的态度不失为一种明智的选择。我们体会，尊重数学家的建议，借鉴赞科夫的教学过程性原则，尽量挖掘数学本身的内在价值，将数学教育组织得丰富有趣，既能吸引学生，又能保障在学生力所能及的基础上，接受具有一定难度的挑战，可能有助于处理这一矛盾冲突。

数学教育论文:数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”

数学基础教育中的“双基”提法,在教育部2011年12月28日颁布的《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称为《课标》)中被发展为“四基”的提法,即从“数学的基础知识、基本技能”发展为“数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”.那么,“双基”提法为什么要发展为“四基”的提法?其背景是什么?“四基”提法的内涵和外延是什么?“四基”对于基础教育的人才培养意义何在?现谈谈对北的一些浅见.

一、“双基”为什么要发展为“四基”

“双基”发展的“四基”,在《课标》中的表述为:“通过义务教育阶段的数学学习,学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验.”[1]

早在教育部2001年6月7日颁发的《基础教育课程改革纲要(试行)》(以下简称为《纲要》)中,就规定了基础教育阶段所有课程应该努力达到的三维目标,即“知识与技能”、“过程与方法”、“情感态度与价值观”这样3个维度的目标.因此,义务教育数学课程的课程目标首先应该符合上述三维目标;同时,还要结合数学学科的特点把它们具体化.这种“具体化”,未必仅仅用“四基”就能够完整、地表达.但限于文章讨论的范围和篇幅,下面只围绕“四基”论述.

新中国的数学基础教育,历来重视“双基”,即要求学生基础知识扎实,基本技能熟练,这是正确的,其历史贡献也是应该肯定的,所以《课标》中的“四基”继续保留和强调了“双基”.但是,对于“双基”的内容,即对于什么是学生应该掌握的“基础知识”和“基本技能”,在“知识爆炸”的时代,在现代信息技术突飞猛进的时代,在获取知识、技能的渠道大大增加的时代,应该与时俱进.

过去提到数学的“双基”时,通常是指:数学的基本概念、基本公式、基本运算、基本性质、基本法则、基本程式、基本定理、基本作图、基本推理、基本语言、基本方法、基本操作、基本技巧,等等.

但是许多年来,“双基”概念一直在发展中深化.至2000年,中华人民共和国教育部制定的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲(试验修订版)》中的表述,数学“基础知识是指:数学中的概念、法则、性质、公式、公理、定理以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.基本技能是指:能够按照一定的程序与步骤进行运算、作图或画图、进行简单的推理”[2].并且,“双基”在此已经是与思维能力、运算能力、空间观念等相互联系表述的.

在“知识爆炸”的时代,对于过去数学“双基”的某些内容,如繁杂的计算、细枝末节的证明技巧等,需要有所删减;而对于估算、算法、数感、符号意识、收集和处理数据、概率初步、统计初步、数学建模初步等,又要有所增加.这就是数学“双基”内容的与时俱进.

那么,为什么有了“双基”还不够,现在还要增加两条,成为“四基”?这可以有下面3个理由.及时,因为“双基”仅仅涉及上述三维目标中的一个目标——“知识与技能”.新增加的两条则还涉及三维目标的另外两个目标——“过程与方法”和“情感态度与价值观”.第二,因为某些教师有时片面地理解“双基”,往往在实施中“以本为本”,见物不见人,而教育必须以人为本,新增加的“数学思想”和“活动经验”就直接与人相关,也符合“素质教育”的理念.第三,因为仅有“双基”还难以培养创新性人才,“双基”只是培养创新性人才的一个基础,但创新性人才不能仅靠熟练掌握已有的知识和技能来培养,获得数学思想和活动经验等也十分重要,这就是新增加的两条.

二、关于数学的“基本思想”

使学生获得数学的基本思想,确实应该作为数学课程的一个重要目标.数学课程固然应该教会学生许多必要的结论,但绝不仅仅以教会这些定理、公式和计算程序、解题方法为目标,更重要的是让学生在学习这些结论的过程中获得数学思想.数学思想是数学科学发生、发展的根本,也是数学课程教学的精髓.

但是,《课标》在这里并没有展开阐述“数学的基本思想”有哪些内涵和外延,这就给研究留下了讨论的空间.而且由于它过去并没有被充分地讨论过,所以可能仁者见仁,智者见智,不同的学者可能会有不一样的说法.这里也谈谈自己不成熟的观点,与同行交流.

数学思想的内涵和外延都很丰富,通俗地说,例如有从数学角度看问题的出发点,把客观事物简化和量化的思想,周到、严密、系统地思考问题,以及建立数学模型的思想,合理地运筹帷幄,等等.一个人进入社会后,如果不是在与数学相关的领域工作,他学过的数学定理和公式可能大多都用不到,而在学习数学知识的过程中获得的这些数学思想却一定会使他终生受益;虽然有些人对此是有意识的,有些人是无意识的.《课标》在这里的措词为数学的“基本思想”,而不是数学的“基本思想方法”,这是明智的、恰当的,因为“思想方法”可能更多地让人联想到具体的“方法”,如换元法、代入法、配方法,层次就降低了,且冲淡了“思想”这个关键词.并且,其实双基中已经含有数学的这些具体方法.

数学的基本思想,主要有数学抽象的思想、数学推理的思想、数学模型的思想、数学审美的思想.人类通过数学抽象,从客观世界中得到数学的概念和法则,建立了数学学科及其众多的分支;通过数学推理,进一步得到大量结论,数学科学得以丰富和发展;通过数学模型,把数学应用到客观世界中,产生了巨大的社会效益,又反过来促进了数学科学的发展;通过数学审美,看到数学“透过现象看本质”、“和谐统一众多事物”中美的成分,感受到数学“以简驭繁”、“天衣无缝”给我们带来的愉悦,并且从“美的角度发现和创造新的数学.

当然,由上述数学的“基本思想”演变、派生、发展出来的数学思想还有很多.例如由“数学抽象的思想”派生出来的有:分类的思想,集合的思想,“变中有不变”的思想,符号表示的思想,对应的思想,有限与无限的思想,等等.例如由“数学推理的思想”派生出来的有:归纳的思想,演绎的思想,公理化思想,数形结合的思想,转换化归的思想,联想类比的思想,普遍联系的思想,逐步逼近的思想,代换的思想,特殊与一般的思想,等等.例如由“数学建模的思想”派生出来的可以有:简化的思想,量化的思想,函数的思想,方程的思想,优化的思想,随机的思想,统计的思想,等等.例如由“数学审美的思想”派生出来的可以有:简洁的思想,对称的思想,统一的思想,和谐的思想,以简驭繁的思想,“透过现象看本质”的思想,等等.

举例说,“分类的思想”和“集合的思想”可以是这样由“数学抽象的思想”派生出来的:人们对客观世界进行观察时,常常从研究需要的某个角度分析联想,排除那些次要的、非本质的因素,保留那些主要的、本质的因素,一种有效的做法就是对事物按照其某种本质进行分类,分类的结果就产生了“集合”.把它们上升到思想的层面上,就形成了“分类的思想”和“集合的思想”.

在用数学思想解决具体问题时,对某一类问题反复推敲,会逐渐形成某一类程序化的操作,就构成了“数学方法”.数学方法也是具有层次的.处于较高层次的,例如有:逻辑推理的方法文秘站:,合情推理的方法,变量替换的方法,等价变形的方法,分情况讨论的方法,等等.低一层次的数学方法,还有很多.例如有:分析法,综合法,穷举法,反证法,抽样法,构造法,待定系数法,数学归纳法,递推法,消元法,降幂法,换元法,坐标法,配方法,列表法,图像法,等等.

数学方法不同于数学思想.“数学思想”往往是观念的、的、普遍的、深刻的、一般的、内在的、概括的;而“数学方法”往往是操作的、局部的、特殊的、表象的、具体的、程序的、技巧的.数学思想常常通过数学方法去体现;数学方法又常常反映了某种数学思想.数学思想是数学教学的核心和精髓,教师在讲授数学方法时应该努力反映和体现数学思想,让学生体会和领悟数学思想,提高学生的数学素养.

三、关于数学的“基本活动经验”

使学生获得数学的基本活动经验,也确实应该作为数学课程的一个重要目标.数学教学,本质上是师生共同进行数学活动的教学,所以学生获得相关的活动经验当然应该是数学课程的一个目标.特别是,其中有些精神“只能意会,难以言传”,必须要学生自己在亲身经历的过程中获得经验;有些内容虽能言传,但是如果没有学生在数学活动中亲身体会,理解也难以深刻.但是,《课标》并没有展开阐述“数学的基本活动经验”有哪些内涵和外延,这也给研究者留下了讨论的空间.在这里也谈谈自己不成熟的观点,与同行交流.

什么是数学活动经验?“活动经验”与“活动”密不可分,所说的“活动”,当然要有“动”,手动、口动和脑动.它们既包括学生在课堂上学习数学时的探究性学习活动,也包括与数学课程相联系的学生实践活动;既包括生活、生产中实际进行的数学活动,也包括数学课程教学中特意设计的活动.“活动”是一个过程,因此也体现出,不但学习结果是课程目标,而且学习过程也是课程目标.

其次,“活动经验”还与“经验”密不可分,当然就与“人”密不可分.学生本人要把在活动中的经历、体会总结上升为“经验”.这既可以是活动当时的经验,也可以是延时反思的经验;既可以是学生自己摸索出的经验,也可以是受别人启发得出的经验;既可以是从一次活动中得到的经验,也可以是从多次活动中互相比较得到的经验.特别关键的是,这些“经验”必须转化和建构为属于学生本人的东西,才可以认为学生获得了“活动经验”.应该注意的是,所说的“活动”都必须有明确的数学内涵和数学目的,体现数学的本质,才能称得上是“数学活动”,它们是数学教学的有机组成部分.教师的课堂讲授、学生的课堂学习,是最主要的“数学活动”,这种讲授和学习,应该是渐进式的、启发式的、探究式的、互动式的.此外,还有其他形式的“数学活动”,例如学生的自主学习,调查研究,独立思考,合作交流,小组讨论,探讨分析、参观实践,以及作业练习和操作计算工具,等等.

还应该强调的是,学生在进行“数学活动”的过程中,除了能够获得逻辑推理的经验,还能够获得合情推理的经验.例如,根据条件“预测结果”的经验和根据结果“探究成因”的经验.这两种经验对于培养创新人才也是非常重要的.

数学活动的教育意义在于,学生主体通过亲身经历数学活动过程,能够获得具有个性特征的感性认识、情感体验,以及数学意识、数学能力和数学素养.

让学生获得“数学活动经验”,还能够培养学生在活动中从数学的角度思考问题,直观地、合情地获得一些结果,这些是数学创造的根本,是得到新结果的主要途径.数学活动经验并不仅仅是实践的经验,也不仅仅是解题的经验,更加重要的是思维的经验,是在数学活动中思考的经验.因为,创新依赖的是思考,是数学活动中创造性的思维.而思维方法是依靠长期活动经验积累获得的,思维品质是依靠有效的、多方面的数学活动改善的,并不是仅仅依靠接受教师的传授获得的.爱因斯坦说:“独立思考是创新的基础.”获得数学活动经验,最重要的是积累“发现问题、提出问题”的经验,以及“分析问题、解决问题”的经验,总之,是“从头”想问题、思考问题、做问题全过程的经验.

学生形成智慧,不可能仅依靠掌握丰富的知识,一定还需要经历实践及在实践中取得经验.数学思想也不仅在探索推演中形成,还需要在数学活动经验积累的基础上形成.

数学的基本活动经验可以按不同的标准分成若干类型.比如,有的学者把它分为如下4种:直接的活动经验,间接的活动经验,设计的活动经验和思考的活动经验.直接的活动经验是与学生日常生活直接联系的数学活动中所获得的经验;间接的活动经验是学生在教师创设的情景、构建的模型中所获得的数学经验;设计的活动经验是学生从教师特意设计的数学活动中所获得的经验;思考的活动经验是通过分析、归纳等思考获得的数学经验[3].学生只有积极参与数学课程的教学过程,经过独立思考,经过探索实践,经过合作交流,才有可能积累数学活动经验.

《课标》中还专门设计了“综合与实践”的课程内容,强调以问题为载体,让学生在综合运用知识、技能解决问题的实践中获得数学活动经验.在学生获得数学的基本活动经验的过程中,就必然有情感态度与价值观的提升.这样,“四基”就体现了《纲要》中“三维目标”的要求.

四、“四基”是一个有机的整体

“四基”虽然是由4个部分构成的,但“四基”不应仅仅看作是4个事物简单的叠加或混合,而应是一个有机的整体,是互相联系、互相促进的.

基础知识和基本技能是数学教学的主要载体,需要花费较多的课堂时间;数学思想则是数学教学的精髓,是统领课堂教学的制高点;数学活动是不可或缺的教学形式与过程.“四基”既然比原来增加了两条,教师在课堂教学的安排上就应该有意识地给数学思想的教学预留适当的时间;但是数学思想的教学不能空洞地进行,一定要以数学知识为载体进行,并且应该注意将数学知识与数学思想融为一体,因势利导,水到渠成,画龙点睛;教师在讲解数学思想时,应该避免“两层皮”,避免生硬牵强,避免长篇大论.在课堂数学活动的时间安排上,大量的应该是教师启发式传授和学生在教师指导下独立思考、自主探究的时间;其他形式的数学活动也应安排适当的时间.

此外,“四基”既然比原来增加了两条,那么,在教学评价上也应该给数学思想和数学活动以适当的位置和空间.《课标》在“四基”的表述前用了“获得适应社会生活和进一步发展所必需的”这样一个限制性定语,这一方面避免了在“四基”的名义下不适当地扩大教学内容,一方面也强调了学生获得数学“四基”的现实意义和长远意义.其现实意义是——学生适应社会生活所必需;其长远意义是——学生进一步发展所必需.

如果数学课程能够使学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,那么培养发展的创新性人才就具备了很好的条件

数学教育论文:以研究性学习推进小学数学教育的创新

以研究性学习推进小学数学教育的创新

我国已经进入了建设小康社会、加快推进社会主义现代化的新的发展阶段，正在向现代化建设第三步战略目标迈进。要完成这一历史任务，必须不断推进教育创新。然而，传统的“传授-------接受”的旧观念至今影响着一部分教师，旧的教学观念还是影响着现代的教学；以学生考分高低评价教师的优劣，也使得有些教师急功近利；更主要的是“以学生发展为本”的教育理念还没被广大教师真正内化并变成自觉的教学行为。纵观小学数学课堂：学生的学习方式是单一的、被动的，往往缺少自主的研究、探索；学生学习的合作、独立获取知识的机会很少；教师缺少对学生学习的情感、态度以及个体差异的关注，忽视学生创新精神和实践能力的培养；学生在学习活动中应该表现出来的高度的主动性、自主性和创造性受到压抑。事实上，学生的数学学习不应只是简单的概念、公式、法则的掌握和熟练的过程，而应该更具有发现性、探索性和思考性。教师要鼓励学生用自己的方法去发现问题、探索问题和思考问题。因为学生用自己的方法去发现、探索、思考的问题才会成为学生的真正的问题，期间他们所得到的知识才能真正为学生所掌握。我想推进小学数学教育的创新，首先应大力提倡研究性学习,具体可以从以下几个方面阐明:一、研究性学习的理论基础：1、研究性学习符合小学生的心理特点。小学生往往对周围的事物充满好奇，特别好问，他们具有创造和研究的潜能。研究性学习本身可以满足学生的这种心理需要，能激发学生学习的兴趣、动机以及求知欲。2、研究性学习过程是积极的有意义的学习过程。因为真正有意义的学习，不是被动接受现成的书本知识，而是学生以积极的心态，在自己已有知识经验的基础上对新问题进行积极探索、主动建构的过程。3、研究性学习符合学生的认知特点，尊重学生学习的认知规律。因为学生对客观现实的认识来自于对外界尝试、研究、索性的活动，而学生用自己的学习方式研究新知，对他们来说是好的方法；教师再进行“因势利导”，这样更符合学生的认知特点和规律。3、研究性学习有利于培养学生的创新意识和实践能力。研究性学习提倡学生自由研究、自由创造，为学生提供更多的活动机会以及表现与发展的机会，鼓励学生自由奔放和新异的想象，使学生的创造潜能得到发挥。4、研究性学习能促进学生主体性的发展。因为学生只有在努力研究新知、解决问题的过程中，其学习的自主性、主动性、创造性才能得到充分发挥，主体性才能得到充分发展，个性得到的解放。6、研究性的学习能够培养学生处理信息的能力：（1）发现问题，提出问题，解决问题的能力，学生可以自由的设想，尝试，解答，检验，得出结论，交流思想。（2）发展学生独立研究与合作的精神，学会通过同伴之间的积极的相互影响来提高学习的效率，培养学生合作意识和人际交往能力。（3）让学生通过亲身参与研究、实践活动，去获得积极的情感体验，逐步形成一种在日常学习与生活中乐于寻疑、质疑、解疑的心理倾向。（4）充分发挥学生数学学习的自主性、主动性和创造性,促进学生主体性的发展。

二、实施研究性学习笔者认为要做到以下三点：（1）要创设一个问题的情境。“发明千千万，起点在一问”，发现问题往往比解决问题更重要。问题是好的老师，学生研究学习的积极性、主动性，往往来自于充满疑问和问题的情境。创设问题情境，就是在教材内容和学生求知心理之间制造一种“不协调”，把学生引入一种与问题有关的情境的过程。通过问题情境的创设，使学生明确研究目标，给思维定向；同时产生强烈的研究欲望，给思维以动力。设计问题情境，力求体现“五性”：1、障碍性：引起冲突，产生不平衡，提出智力挑战。2、趣味性：富有趣味，引发学生积极思维。3、开放性：解题思路灵活多样，答案不一定。4、差异性：适合各层次学生，由浅入深作出回答。5、实践性：以个人或小组的探究实践活动，寻求方法。同时，教师应注意对于问题情境中所隐含的“问题”，不要作简单的答复，应该让学生在学习实践活动中自己去发现、提问。学生自己发现问题更贴近其思维实际，更能引起学生主动的研究。（2）既要注重学生的独立研究，又要注重学生的合作学习。独立研究：每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式自由地、开放地去研究，去发现，去再找出有关的数学知识，期间的过程往往是独立的。因为学生学习知识的过程，是主动建构知识的过程，而不是被动接受外界的刺激；学生是以原有的知识经验为基础，对新的知识信息进行加工、理解，由此建构起新知识的网络层面。教师无法代替学生自己的思考，更代替不了几十个有差异的学生的思维。通过学生动手“研究数学”，使他们亲身体验获得知识的快乐。独立研究的目的，不仅在于获得数学知识，更在于让学生在研究的过程中学习科学研究的方法，从而增强学生的自主意识，培养学生的研究精神和创造能力。教学中教师要鼓励学生独立研究，努力做到：1、要给学生自由探究的时间和空间，不要将教学过程变成机械重复教案的过程；2、要鼓励学生大胆猜想。质疑问难。发表不同意见，不要急于得到圆满的答案；3、要给学生以思考性的指导，特别是当学生的见解出现错误或偏离时，要引导学生自己发现问题。自我矫正，将机会留给学生，不要代替学生自己的思考。总之，凡是学生能发现的知识，教师决不代替；凡是学生能独立解决的问题，教师决不暗示.合作交流：所谓合作交流，是指在学生个体独立研究的基础上，让学生在小组内或班级集体范围内，充分展示自己的思维方法及过程，相互讨论分析，揭示知识规律和解决问题的方法、途径。在合作交流中学会相互帮助，实现学习互补，增强合作意识，提高交往能力。为了提高合作交流的有效性，教师要重视合作技能的培养：1、听的技能：要培养学生专心倾听别人发言的习惯，要能听出别人发言的重点，对别人的发言作出判断，有自己的见解。2、说的技能：要培养学生敢说的勇气，说话时要声音响亮、条理清楚、语句完整，语言简练且能突出重点。3、交往的技能：尊重别人，不随意打断别人的发言，善于采纳别人的意见，给别人有插话的机会，修改、补充自己原先的想法，体会他人的情感，控制自己的情绪。4、策略的技能：学会根据任务性质来决定应该采用的策略，促使合作更加有效。例如：先独立思考再合作讨论，达到开阔每个人思路的目的，或先明确分工再合作，使每个成员都可以发挥自己的所长，既学得快又学得好；等等。同时，教师要注意合作内容的选择，如：发现知识性规律的合作；辨析概念性问题的合作；优化解决问题策略的合作。三、研究性学习的环节：问题情境----独立探究----合作交流----实践运用----评价体验，五个环节可构成研究性学习的一个活动系统，每个环节中学生的活动是开放性的，而环节与环节是紧密相连的，为学生系统地提供自己研究、探索、充分展现、愉快合作、自我体验的时间和空间，也有利于教师指导作用的发挥。

四、研究性学习在实际运用中应注意的问题：小学数学大纲提出“探索和解决简单的实际问题”，重点强调学生解决问题是一个探索的过程，而不是一个简单地用现成的模式解决问题的过程。让学生在研究、探索中了解实际问题中的各种关系，进而将实际问题用数学关系表示出来，这对学生数学的应用意识的培养和数学思维水平的提高具有重要意义。教师设计练习，不仅要有利于帮助学生巩固、掌握知识，更要有利于学生数学的应用意识及实践能力的培养。那种题目条件确定、结构良好、答案的，只需重复所学知识即可解决问题的“标准式”的练习，往往造成学生思维定势，妨碍学生思维发展，对培养学生创新精神和实践能力显然不利。为此，教师在设计练习时还必须重视设计结构不全、条件不明、必须发挥创造性、结合有关经验才能解决的问题，特别要重视开放性练习的设计。设计开放性练习，可以从以下角度着手：(1)解题策略的开放。让学生多角度地进行思考，用不同的方法解决问题，在此基础上进行解题策略的比较，逐步树立策略优化的思想。(2)题目条件的开放。让学生能从实际出发，对所要解决问题的条件作分析、周密思考，根据不同条件对问题作出不同的解释，提高分析及解决实际问题的能力。(3)所求问题的开放。让学生由已知条件出发，去思考所能解决的各种问题，进行发散思维训练，培养思维的创造性。(4)题目答案的开放。让学生面对条件、问题相同的题目，进行不同角度的思考、分析，获得不同的答案，对学生进行求异思维的训练，学会辩证地看问题，培养学生的创新精神。评价体验，其主要目的在于促进学生主体性的发展。学生主体发展的主要因素有：主动发展的动力和和主动发展的能力。评价体验的主要任务在于增强学生主动发展的动力，提高主动发展的能力。为此，教师在课堂教学中要重视：一是对学生进行独立研究、合作发现、实践运用等学习活动中表现出的自主性、主动性、独创性等主体精神和品质进行评价，使学生获得主动研究获取知识的情感体验，增强学生学习的信心和动力。二是要引导学生对研究学习的活动过程进行反思，重点是提炼解决问题、获取新知的数学思想方法和有效策略，使学生对数学思想方法和学习策略有所体悟，并自觉地将思维指向数学思想方法和学习策略上，以提高主动获取新知、解决问题的能力。五、小学段研究型教学的目标定位：1、总体上实现对学生进行“主人、主体、主角”的三主人格培养。2、激发小学生对科学技术问题的好奇心和探索欲望，使学生初步具有爱科学、学科学、用科学的热情和追求。3、初步培养独立探究和合作学习的精神，了解从事独立学习必须具备的精神、气质和品格，知道什么是合作精神，什么是实事求是的态度和价值观。4、让学生获得亲身参与知识和积极情感体验，初步形成一种在日常学习与生活中喜爱质疑、乐于探究、努力求知的心理倾向。5、初步学会用一些最基本的工具和仪器，初步应用所知识解决一些最基本的生活问题和解释一些自然现象。6、初步了解科学思维方法，培养科学思维的能力，初步养成动脑筋、提问题、想问题、找资料、找答案的习惯，初步培养创新精神和创新意识。

数学教育论文:情感教育在数学教学中的价值运用

谁都知道,“教书育人”是教师的基本职责。如何在课堂教学中利用所教学科的空间进行“育人”,这是为师者不可回避,并且值得深思的问题。不同学科在课堂教学中的“育人”要求和“育人”时机各有千秋,在数学教学中如何进行“育人”,具体地说,如何让情感教育在数学教学中充分发挥催化作用。笔者认为以下几点应引起重视。

1.倡导师生双向情感交流,营造和谐的教学气氛

人是有感情的,感情表露就成为情绪,而它带有一定的盲目性,有时甚至可以左右一个人的行为.心理学家得珀认为:情绪绝大多数时间里处于温和的激活状态中,因而起着动机的作用,它们在无意识的情况下控制着我们的行为,并指导着行为的方向.又如孟昭兰先生也曾指出:情绪可以影响和调节认知过程,它能促进或阻碍工作记忆、推理操作和问题解决.我们会经常感到,在情绪良好的状态下工作时,思路开阔、思维敏捷、解决问题迅速.反之,则思路受阻、操作迟缓、更无创造性可言.突然出现的强烈情绪甚至可以中断正在进行的思维加工;持久而炽热的情绪则能激发无限的能量去完成活动.我们更多的应该象关注“气象”一样注意自己的情绪。

由此可见,倘若教师只考虑到学生学习是一种理智行为,只是注意其科学性并把问题讲清楚了,没有通过顺畅的感情交流,不把握学生的接受情绪,就会导致知识的传授过程滞阻.宛如向板结成一块的花盆中灌水,虽然上面满溢,可是实际渗透润滑不多,从前面的例子看,甲可能过多地调用了高三的教学手段和评价标准,以致教学效果降低;而乙的做法恰好相反,他利用年龄特点和学生融洽相处,通过双向交流捕获学生的各种信息,随时调整节奏,在顺畅的交流线上传授知识,提高了教学效益。

2.倡导师生双向情感交流,以教师为主导

教育理论明确指出,师生交往和影响是双向的.但由于师长的特殊位置,使他(她)处在主导的地位上,教师必须考虑到学生年龄、年级、性别的不同,群体和个体的差异,主动采用相应的感情交流途径与方法.上面的调查中发现,乙有一点很明确,自己初为人师,多有欠缺,必须千方百计调动学生这方面的积极性,故其始终注意到学生的情绪,力图通过感情交流达到师生之间的共鸣,提高教学效益.例如,学校开运动会,乙忙里忙外,为学生供水,借钉鞋,出主意,俨然是他们群体中的一员,使学生无不感到“老师是我们的”.这种堂外感情交流为堂内感情交流铺设了通道,似有放长线的样子。

3.倡导师生双向情感交流,以学生为主体

主体意识的发展使高中生的求知欲望和多方面能力以及良好个性品质迅速发展.发展自我的需要,对形成一个人积极向上的心理、促使个性健康的发展都有重要意义.这种发展自我的需要给数学教学中培养学生能力提供了契机。

3.1引导学生评价数学学习效果,提高自我评价能力

在数学教学中,教师应引导学生对自己的学习效果作自我评价.例如,试卷与作业的批改,可采取教师批改、学生各自改、学生互相批改等多样化方式相结合.教师注意引导学生将自我评价与别人评价多作比较,逐步学会客观评价,从而提高自我评价能力。

3.2引导学生反思数学解题过程,激发学生创新动机

西南师大陈重穆教授指出:“问题解决了,作为学习事情还未做完,还要看一看、想一想,有什么经验教训?是否可以做得更好、更美?这里使用的解题方法能否解决其它问题?这似乎是多余的一看、一想,却常常是创新的生长点.”所以,反思对于激发学生的创新思维有十分重要的意义。

3.3引导学生在数学课堂多发言,提供表现自我机会

由于高中学生心里充满表现自我的冲动,于是常常以各种方式在各个领域表现自己,处处争强好胜.因此,我们在数学教学中应根据这一特点,让学生自我发言,为他们提供表现自我的机会,以提高学生的口头表达、分析问题、探索问题等能力.发言的内容是多方面的.在教学新课的难点处、关键处;让学生互相讨论,讨论能明确是非、纠正错误、发现真理、掌握知识;在解题教学中,抓住学生的闪光点,进行肯定与鼓励.即使是错误思考,也应该表扬其上课积极思考精神,错误就很可能是成功的先兆,错误之中往往隐含着某些新方法.爱因斯坦曾说过:“提出一个问题,比解决一个问题更重要.”提问的过程是发展创新思维的过程。

4.倡导师生双向情感交流,消除心理障碍

我们觉得应正确理解“师道尊严”的内涵,现代教学中的师生关系决不是旧时代的师徒关系,教师要清除盲目的唯我独尊的心理,提倡发挥教师的主导作用,主动积极地进行双向感情交流.无论是人格尊严角度还是教学工作本身需要,都要求我们这样去做。

“勿以善小而勿为”.有的教师认为真本领应当表现在教书上,于是只重教材的研究,讲课的探讨,解题的指导,而漠视师生的感情交流,似乎这种注重感情交流的做法是学前班的老师的事情,忽视了中学生同样有这种需求,只是交流方式、档次的不同而已.我们提倡具体地了解学生,有针对性地进行师生双向交流,以求达到效果。

不同行业有其不同特点,工作中各有其乐趣,也有其烦恼.我们认为老师当以敬业为先,要通过自身的修养化解怨尤行业、怨尤学生的心态,方可能满腔热情地和学生沟通,共创教学的辉煌。

师生间的感情交流从总的方面来说是陶冶心情的教育手段之一,低限度地讲,至少也是知识传授渠道的良好润滑剂,积极地利用,不断地改进完善,必有利于教学效益的提高。

数学教育论文:90年代美国中小学数学教育的改革

一 60—80年代美国中小学数学教育改革概述

美国中小学数学教育的改革远在50年代末60年代初就已经开始。当时由于苏联卫星上天，美国的科学技术相对落后，出于竞争和培养尖端人才的需要，在全国中小学广泛开展了新数学教育运动。一方面把大学一、二年级的数学内容下放到中学，另一方面在中小学增加一些近代和现代的数学内容。由于过分重视理论知识而忽视联系实际，注意培养尖子的需要而忽视面向全体学生的需要，强调培养学生能力而忽视数学基础知识的教学和基本技能的训练，结果少数学生数学成绩有所提高，而大多数学生成绩下降，受到家长和社会各界的批评。70年代在美国掀起一场“回到基础”的运动，从教科书中删去新数学内容，重新强调数学基础知识的教学和基本技能的训练。但是这种倒退，同样不能适应美国现代科学技术发展要求提高中小学生数学水平的需要。

1980年美国全国数学教师协会在充分调查研究的基础上提出了对80年代中小学数学的建议（文件标题为《行动计划》），针对当时社会的需要和中小学数学教育改革中存在的问题提出八条建议：1.解问题是80年代学校数学的重点；2.数学的基本技能应包括比计算能力更多的内容；3.数学教学要在各年级充分利用计算器和计算机；4.既讲效果又讲效率的严格标准应当应用于数学教学；5.要采用比传统的测验更为广泛的措施来评价数学教学和学生学习的成绩；6.要求所有学生学习更多的数学并且设计一种具有大范围选修的灵活课程以适应学生的不同需要；7.要求数学教师具有较高的专业水平；8.把公众对数学教学的支援提高到与理解数学对个人和社会的重要性相称的水平。每条建议都做了具体的阐述。

在这之后，一些州根据上述建议重新编订了数学教学大纲，把数学课程延长1—2年，有些州和教科书出版公司改编了中小学数学教科书。以纽约州为例，1981年开始起草幼儿园——八年级数学教学大纲，以后陆续起草七——十一年级数学教学大纲，经过试验并加以修改后在全州实行。这套教学大纲有以下几个特点：

1.适当增加教学内容：例如小学增加关系、找规律，指数和科学计数法，相似与合同，简单的概率、排列、组合，不等式，解多步的问题等；七、八年级减少重复的算术内容后，增加实数运算，解一元一次方程和不等式，直角三角函数（tan，sin，cos），排列，两个或多个事件的概率，计算机初步知识及应用等；九——十一年级增加简易逻辑（包括简单句和复合句的真值、重言式、推理的定律、证明），复数，关系和函数（包括反函数、指数函数、对数函数），域的性质，三角方程和解三角形，变换几何，曲线方程，排列和组合，伯努利试验，二项式定理，统计（包括四分位数、标准差、常态分配曲线）等。

2.安排一些选学内容：如七、八年级安排计算机编程序，不等式的图象，多边形的外角，凸多面体和规则多面体等；九——十一年级安排群的初步概念等。

3.采用综合课程，即使是九——十一年级，也不分代数、几何等科，以加强知识间的联系。

4.在教法上强调让学生探究、发现、讨论，在掌握计算技能的基础上发展学生的逻辑思维和创造思维，以及应用数学解问题的能力。

对于准备升大学的学生，要达到大学委员会所提的目标。

加利福尼亚州于1985年也公布了幼儿园——十二年级数学框架，在内容上与纽约州的有不少相同之处，但是也有其特色，如各阶段都重视逻辑的教学，九——十二年级的课程比较灵活，有综合数学，有分科数学，以适应不同学生就业和升学的需要。

二 90年代美国中小学数学课程的改革

80年代美国中小学数学教育虽然进行一些改革，但是学生的成绩没有明显的提高。据1988年美国教育部长的一份报告，在1982—1986年间，13岁学生的数学水平没有任何提高。17岁青年中只有51％的人能够令人满意地运算和论证较复杂的题目。据1989年一篇文章报道，及时年系统学习代数（一般在九年级），有40％的学生不及格。据美国全国数学教师协会的报告，只有少数学生能学完高中数学课程，其中大多数是白人男生。这与美国的现代社会极不适应。另外，据国际教育评价协会的资料也表明，美国中小学学生的数学成绩仍然处于落后地位。在20个国家和地区中，七年级数学测试结果，美国居第14名；十二年级数学测试结果，美国居第12名。这些情况引起了美国社会各界的关注，连美国总统布什拟订的2000年教育六大目标中也提出

要求，美国学生在科学及数学方面的成绩要超过世界上任何一国的学生。

为了适应美国社会发展的需要，扭转中小学数学质量低下的局面，全美数学教师协会于1989年拟订了中小学数学课程和评价标准。这是美国有史以来及时次制订统一的标准和要求。长期以来，美国中小学的教育计划、课程等都是由各州分别制订的。这次制订统一的标准，有以下几个目的：1.为了保障质量；2.指出数学教育所期望达到的目标；3.促进改革。但是这套课程标准同中国过去所说的课程标准不同。它只着重说明中小学数学教育的目标，确定学习的主要课题以及学习课题之间的关系，为中小学数学课程的发展提供一个框架，而不是一套指令。有关课程内容的具体安排留给各地根据具体情况来拟订，并且强调允许和鼓励各地发挥自己的积极性和创造性。

（一）拟订课程标准的指导思想

拟订中小学数学课程标准的基本指导思想是，美国已从工业社会进入信息社会，在这个社会中，低价的计算器、计算机和其他技术正在改变着自然科学、生命科学、社会科学、商业、工业以及政府的性质。缓慢的机械的交流手段已被电子的交流手段所代替。经济变革的步伐正在加速。相应地社会需要也有了很大变化：1.需要有数学知识的劳动者，这就是说，新的生产方式需要有技术能力的劳动力，需要能应用数学思想解决普通的和复杂的问题的能力。2.需要能终身学习，在今后25年中，一个劳动者至少要改变4—5次工作，这就要求人们能适应变化的情况，从而要求中小学数学必须是动态的形式，其中心是能应用数学来解问题。3.需要所有的学生都有学习数学的机会，但目前学习较多数学的大都是白人男性，数学已成为社会求职的过滤器，从而使很多妇女和大多数的少数民族只能做科学技术中较低的工作。4.需要能处理信息的选民，现代社会的一些问题如环境保护、核能、国防、医疗、太空探索以及税收等都需要公民具有技术知识，并且能阅读和解释复杂的有时甚至是矛盾的信息。总之，今天的技术社会希望学校能确保所有的学生都有机会成为有数学知识的人，能扩展他们的学习，成为善于了解问题并能处理信息的公民。

（二）中小学数学教育的目标

这套课程标准为中小学学生拟订了以下5个目标：1.了解数学在现代社会发展中的作用，并能探索数学和所服务的学科之间的关系；2.相信自己有学好数学的能力；3.成为具有解数学问题能力的人；4.学会运用数学语言交流他们的思想；5.学会数学上的推理。总之，要使学生成为具有数学知识和进行探索、猜想以及逻辑推理的能力，并有效地应用数学方法解问题的人。

（三）中小学数学课程的分阶段标准

由于这套课程标准只为中小学数学课程的发展提供一个框架，因此不详细列出各年级教学课题的范围和顺序，而是把幼儿园——十二年级划分为3个阶段，按阶段拟订课程标准。

1.幼儿园——四年级课程标准。

这阶段共有13条标准。前3条分别论述作为解问题的数学，作为交流的数学，作为推理的数学在本阶段的要求，第4条论述本阶段数学知识间的联系。在这4条中提出的教学要求主要有：

（1）使学生解各种结构的问题和日常生活问题，学习和应用解问题的策略。

（2）使学生了解数学语言和符号与日常生活的联系，把表示、谈、读、写、听数学作为学习和使用数学的重要组成部分。

（3）使学生能够作出有关数学的逻辑结论，证明自己的答案和解答方法。

（4）使学生认识概念与算法的联系，不同的数学课题间的关系。

第5—13条分别论述本阶段教学的课题的要求。这个阶段教学内容的更新主要有以下几点：

（1）加强整数的概念和分数、小数意义的教学。

（2）加强运算意义的教学；重视口算和估算，并能实际应用；减少复杂的笔算；适当使用计算器。

（3）重视有关计量单位的概念和几何图形的性质，发展空间观念，重视实际测量。

（4）增加数据的收集和整理，阅读、分析和解释数据，概率的初步探讨。

（5）增加对规律的认识，用变量表示关系。

这阶段对教学方法的改革提出的主要要求：

（1）强调数学教学的方向应放在理解概念上，这比放在获得多少技能上更为重要。

（2）要让学生积极地做数学，其中包括操作、探索、提问、证明、表示、求解、构建、讨论、应用、调查、记述、预测等。

（3）强调发展学生的思维和推理能力。

（4）适当使用计算器和计算机，以帮助儿童探究数学概念和规律，并且便于学生把注意集中在解问题的方法上。但是它们不应代替基本的口算和合理的笔算。教师要培养学生用多种方法计算，并注意计算结果是否合理。

2.五——八年级课程标准。

这阶段共有13条标准。前4条的标题与及时阶段的前4条标题相同，但教学要求则在及时阶段的基础上有所提高。主要有：

（1）研究和应用各种解问题的（着重多步的和非常规的）策略，概括新问题的解法和策略。

（2）发展对数学概念的一般理解，包括定义的作用，应用读、听和视图等技能来解释和评价数学概念，讨论数学概念并进行猜想和有说服力的论证。

（3）认识和应用演绎推理和归纳推理、空间推理以及借助比例和图象进行推理，评价自己的思维。

（4）理解数学是一个综合的整体，用图象的、数字的、代数的和口头的数学模型或表示来探索问题并记述结果，应用一个数学概念进一步理解其他数学概念。

第5—13条分别论述本阶段教学课题的要求。这个阶段教学内容的更新主要有以下几点：

（1）强调发展运算的概念，探索整数、分数、有理数运算之间的关系；减少单纯记忆法则和算法；在解问题和检验结果的合理性时使用估算。

（2）增加识别和应用函数关系，发展和使用图表、图象和规律来表示关系，分析函数关系以解释一个量的变化引起另一个量的变化。

（3）增加用多种方法解线性方程，以及非正式的探究不等式和非线性方程。

（4）重视对几何图形的性质和关系的理解，探索几何图形的变换。

（5）强调用统计方法来表述、分析、评价某一论点并作为决策的手段。

（6）强调通过某些含有概率的情境创造实验模型和理论模型，在此基础上作出预测，并在实际中应用。

（7）增加估量和加强应用计量解问题。

这阶段对教学方法的改革提出的主要要求：

（1）让学生个人和分组进行探索、猜想、分析和应用数学。

（2）教学时要注意综合性、整体性，而不是孤立地教学所列的每个课题。

（3）数学课程要便于接受，使所有的学生都获得数学知识和生活所必需的工具。

（4）适当使用计算器、计算机和录音机，以便使学生集中注意解题的方法和其他重要内容。

（5）要把学习的评定作为教学的一个组成部分。

3.九——十二年级课程标准。

这阶段共有14条标准。前4条的标题与前两个阶段的前4条相同，但教学要求又在前两个阶段的基础上加以提高。主要有：

（1）综合应用数学解题的策略来

解数学内部和外部的问题，把数学模型的方法应用于现实世界的问题情境。

（2）形成数学定义，并通过探究对所发现的进行概括的表示，能记述在解问题时怎样达到正确答案或所遇到的困难，联系他们读过的或听过的数学能提出明确的和引伸的问题。

（3）进行猜想和检验猜想，遵循逻辑的论证，判断论证的有效性。

（4）认识同一概念的等价表示，运用和评价数学课题间的联系，运用和评价数学与其他学科的联系。

第5—14 条分别论述本阶段教学的课题的要求。这个阶段教学内容的更新主要有以下几点：

（1）代数增加数系的结构，矩阵及其应用；强调用计算机理解概念，用以计算机为基础的方法解方程和不等式；用图表、符号和图象表示关系，并且在它们之间能够转化。

（2）几何增加变换几何、三维几何，重视代数与几何的关系；削弱作为完整公理体系的几何，但是演绎论证还应加强。

（3）加强直角三角形的比、三角函数与圆函数之间的联系，用图象解三角方程；削弱用笔算解三角方程，复杂恒等式的验证。

（4）统计增加集中趋势、变异性及相关、抽样。

（5）概率增加随机变量、离散概率分配、常态曲线及其性质。

（6）增加离散数学，其中包括有限图、速推关系、算法分析等。

（7）增加非正式探讨微积分初步概念，主要包括图象的极大点和极小点，通过无限数列和极限以及曲线下的面积了解极限过程，导数。

标准中十分强调这个阶段的中心内容是由记忆孤立的事实和计算方法转到概念理解、数学的多种表示、数学的联系，数学模型和解数学问题，并把统计、概率和离散数学上升到较为中心的位置。

上述内容为所有学生必须在十一年级学完的，准备升大学的学生，十二年级还要进一步学习离散数学和微积分基础，对其他课题也提出更高的要求。但是同时也说明，对所有学生必学的课题和准备升学的学生增加学习的课题，都允许在深度上有适当的弹性。

为了加强数学课题间的联系，这个阶段也采用综合课程，不分科。

这个阶段对教学方法的改革提出的主要要求：

（1）采用多种教学方式，如小组学习、个人探索、同伴教学、全班讨论、设计作业等，让学生积极独立构建和应用数学思想，为毕业后工作或升学做好准备。

（2）建立并应用数学课题间的联系。

（3）使用计算器和计算机来教和做数学，鼓励学生使用现代技术进行探究、猜想和验证自己所发现的东西。

（4）把学习的评定作为教学的一个重要组成部分，并且应与教学的重点方面如使用现代技术密切配合。

（四）中小学数学课程标准的实施情况

由于这套课程标准不是政府的指令，只是美国全国数学教师协会拟订的指导性文件，而且才公布两年多，很少看到报道实施情况的材料，也还没有看到哪个州已经拟订好新的数学教学大纲。但是已有极少数出版公司编写出新的数学教科书。有少数已经发行，有的将于1992年秋发行。据美国全国数学教师协会主席谈，目前已有30％的学校实行新课程标准，但是有些教授认为目前不可能达到这个比率。

关于这套课程标准的评价，有人不大赞同搞统一的标准，也有人认为标准中的设想很好，但是很难实行。现在全美数学教师协会正在加强对这套标准的宣传，每年召开几个地区性会议，通过会议一方面广泛宣讲课程标准的精神，另一方面交流实行新标准的经验。

三 90年代美国中小学数学教育的改革实验和研究

近年来，在美国为了提高中小学数学教学质量，进行很多改革实验和研究。下面就了解到的做一简单介绍。

（一）提高少数民族和贫苦学生的数学水平的实验研究

这项实验是美国大学委员会搞的，称为“公平2000年设计”，简称“公平2000年”。目的在于提高黑人、西班牙裔、美国土著以及女学生和贫困学生的数学水平，争取在20世纪末消除他们在大学升学率和在大学学习成功率方面与非少数民族的差距。1990年秋在6个地区的八、九年级进行了试点。首先，抓教师和指导顾问的培训，使他们确信采取适当支援方式，每个学生都能学好数学。其次，由教师和指导顾问联合给学生树立学好数学的信心和升大学的勇气。第三，要求所有学生学习必修的代数、几何课程。第四，研究改进教学方法，如加强分组教学等。关于实验的初步效果还没有看到报道。

（二）运用现代技术提高学生数学水平和教师专业水平的研究

这方面的研究较多。例如，利用播音教学数学，即把设计好的课堂教学过程通过收音机或录音机播放出来，其中包括讲解、提问、练习等。教师在课堂上的工作主要是配合播音教学辅导学生。据说在条件较差的国家和地区试验效果较好。目前在美国广泛地开发各年级数学教学软件，供教师作为课内外辅助教学的材料。有的研究单位把幼儿园——十二年级数学的全部内容和教学过程制作在一个小的密集激光盘上，相当15000面左右的容量，供教师、学区、州的督学、教师培训者以及大学教师参考使用。

数学教育论文:数学教育目标的制定如何体现素质教育思想

教学目标要在素质教育思想的指导下，根据《九年制义务教育全日制小学数学教学大纲》（以下简称《大纲》）的要求，结合教学内容和学生特点制定。笔者认为在制定教学目标时，教师要处理好“两个关系”，注意体现“四性”。

一、处理好三类目标之间的关系以及显性目标与隐性目标之间的关系

根据素质教育的思想，教学目标可以分为三大类，即教养目标、发展目标与教育目标。教师在结合数学自身的特点和小学生心理发展的具体要求，处理好小学数学素质教育课堂教学三类目标的关系时，应遵循“将智能发展目标放在首位，以基本知识、基本技能等教养目标为主线，同时渗透德育教育、情感教育等非智力因素教育目标”的原则。前苏联教育家斯托利亚尔曾经指出：“在列举数学教学目标时，我们把学生的发展（思维的、智力活动的）放在首位。”“一定的发展只能是特别设计的有目的的教学的结果，所以我们把用‘数学思维’这个名称统一起来的思维活动结构的发展作为数学教学的特殊的首要目的。”素质教育要求我们将学生培养成为“会认识、会做事、会做人”的合格公民。这无疑也要求我们将发展目标放诸首位。小学数学教材是根据数学知识自身的发展规律，同时结合小学生的年龄特点与认知水平来编排的。这些知识是小学生将来作为劳动者所必须掌握的。因此，小学数学教学目标应以教养目标为主线，使学生在掌握知识、形成技能的同时，智能得到充分的发展，并使学生在认识、理解、运用数学知识的过程中受到思想品德教育，感受数学的美，体验到成功的乐趣，同时使得探索精神、合作精神、良好的学习习惯等各种非智力因素得到培养，以形成健康的个性。

教学目标有显性与隐性之分。显性目标是指《大纲》明确提出来了的教学要求。一般地说，教养性目标是显性的。隐性目标是指那些需要教师在教学设计时认真思考才能确定的教学目标。一般来讲，智能发展目标和思想品德教育、情感培养等非智力因素方面的教育目标是隐性的。处理好这两种目标之间的关系，一是教师要认真钻研《大纲》，领会《大纲》精神，制订好显性目标；二是教师要在认真分析教学内容及学生特点的基础上，结合教学过程的设计，将隐性目标显性化，形成具体的教学目标。这样，教师施教的三类素质教学目标就会清晰地浮现在自己的脑海中，明确指挥自己的教学行为，从而达到素质教育的目的。

有位教师是这样组织《奇妙的幻方》（活动课）的教学的——

（1）老师讲解洛书神话，并给出彩图（图1）。

（2）学生就图1进行观察、发现，揭示出图2。

（3）学生观察图2，说出自己所发现的秘密，老师有选择地板书：

①这个图中有9个方格，每个小格中有一个数字，这些数字分别是1、2、3、4、5、6、7、8、9；

附图{图}

②每行、每列、对角线上三个数字之和都是15；

③5在正中央；

④每行、每列、对角线上，5两端的两个数之和都是10，……

（4）老师揭示课题，给出幻方、中心数等名称，并加以说明。

（5）老师拿走九宫格中的数，学生拿出学具尝试编幻方。老师巡视指导，并让5个学生将自己的结果写在黑板上。

（6）学生评价结果，说说自己的编排方法。师生共同总结编排规律：先定中心数再配对定位。

（7）学生练习：①用2、3、4、5、6、7、8、9、10编幻方； ②编一幻方和是27的幻方。

从这一教学过程中，我们不难看出，教师明确了三类目标，并很好地处理了它们三者之间的关系。学生在认识幻方的特征，探求幻方的编排方法的过程中，观察能力、发散思维能力、表达能力、探索精神等都得到了较好的培养；教师对洛书神话的讲解以及教学过程中的一些表扬、激励性语言还较好地激发了学生学习的动机和兴趣；学生在不断地发展、积极探索的过程中，体验到了成功的喜悦，并感受到了洛书、幻方的奇妙美。

二、体现性、针对性、过程性和明确性

柳斌同志指出，素质教育有三个要义：一是面向全体学生；二是使每个学生的德、智、体、美发展；三是让学生主动发展。根据第二要义，教学目标应包括知识技能目标、智能发展目标和非智力因素目标；再考虑到小学数学教学内容的逻辑连续性和整体性，小学数学教学目标还应有学期（年）目标、单元目标和课时目标。因此，性就是指小学数学教学目标的制定要从学生的发展和时间的积累两个维度去构建。（教学目标的二维平面结构如图3所示。）

附图{图}

同时，教学目标的制定要考虑到学生的个别差异，增强针对性，使每一个学生都得到较大限度的发展。一般来说，基本知识、基本技能目标具有强制性，要求每一个学生都必须达到，而智能发展目标和非智力因素目标落实到学生身上是有差异的。教师在制定教学目标时要充分分析每一个学生的现有水平和潜在水平，在其最近发展区内确立教学目标。

过程性则是指教学目标的制定要注意结合教学过程将教学目标具体化。教学目标是“教学中师生预期达到的学习结果和标准”，是“路标”，它表现为具体的、特殊的、部分的价值。而教学目的是《大纲》规定的教学要求，具有方向性，表现为终极的、普遍的、整体的价值。教学目的只有转化为具体的“路标”才能有效实施，否则很有可能变成空洞的口号。“路”是什么？“路”就是过程！一方面，教学目标决定着教学活动的开展；另一方面，作为“路标”的教学目标的制定也要结合教学过程，尤其是隐性目标的显性化更是如此。以上两方面的关系应该是：教学目的——教学过程初步安排——教学目标——较完善的教学过程。

明确性一是指教师对于教学目标的含义要明确。教师只有明确了教学目标的真正含义，才能围绕教学目标组织教学活动，保障教学目标的达成。二是指教学目标的表述要外显，尽量使用操作性强、意思明确的语句，水平词的使用要，便于测控。

以上是笔者对如何制定好小学数学素质教育课堂教学目标的几点认识。下面是有关“平均数问题”的教学目标设计，供读者对照参考。

（1）使学生理解平均数概念，能说明平均数就是把几个大小不同的数通过“移多补少”方式变成大小相同的数后所得到的数；初步掌握求平均数的方法，理解求平均数就是“把几个大小不同的数合并成一个数再平分”的过程；能根据加法和

除法的意义推出求平均数的公式；能根据有关数据直接运用公式求平均数；部分学生还能运用公式解思考题。（2）通过让学生自己解决“怎样将4个杯子里的水变得一样高”的问题，培养学生的分析能力、类比推理能力和勇于解决问题的探索精神。

（3）通过让学生说明平均数概念，总结求平均数的过程和公式，培养学生抽象概括的能力。

（4 ）在让学生直接利用公式解决平均数问题和逆用公式解决思考题的过程中，培养学生的综合能力与逆向思维能力。

（5）通过学生小组活动、比赛，培养学生的协作精神和竞争意识。

数学教育论文:小学数学教育研究的新发展——第六届国际数学教育会议讨论简介

第六届国际数学教育会议于1988年7月27日至8月3日在匈牙利首都布达佩斯举行。会上除了安排一个组专门讨论小学数学教育中的问题以外，有些专题组的讨论，以及小字报、专题报告会等也涉及到小学数学教育方面的问题。根据所了解的材料，对会议中所反映的小学数学教育研究的新发展，概要地介绍如下。

一强调学习过程

一些代表认为，对应于教的过程，有必要提出学的过程。数学教育中重要的一点是如何弥合教与学之间的裂缝，如何使教数学与学数学尽可能互相伴随着。提出这个问题的原因，主要是从促进学生在数学方面的进步，或者说逐渐的数学化来考虑的。认为数学化的进程的组成部分有：做模型、公式化、符号表示等。要通过教数概念、数的运算方法等来研究和分析教数学的特点，同时也不断地进行逐渐的数学化过程。有一位代表以教乘法的初步认

识为例，说明引导学生由具体逐步抽象的过程。还有一位代表用除法（如）作例，说明从具体的实际问题出发，引导学生先想出非正规的分的方法，求出得数以后，逐步研究出一般的除的方法，在这之后再类推到被除数是较大数的除法。但是也有的代表认为，也不宜把这个过程拉得很长，还要研究如何用较少的时间使学生学会一般的除的方法。

二新技术对小学数学教育的影响

与会代表大都认为新技术对于中小学数学教育具有很大的促进作用。使用新技术，特别是微型电子计算机，有助于理解数学概念；有助于掌握一些基本技能，特别是解决实际问题和几何作图的技能；有助于提高学生学习数学的兴趣，使学生从过繁的机械运算中解放出来；还有助于改进数学教育的评价方法。

与会者着重讨论了新技术对小学数学课程内容的影响。有人认为，随着新技术的出现和使用，现行的教学内容将有很多被删掉，而加入一些新内容，并强调要使学生学会一些数学方法，如收集、翻译数据，有条理地排列，概括，归纳和演绎，做模型，类推，化简等。但也有人提出质疑：在数学知识和技能都很差的基础上，能学好数学方法吗？有人认为，口算、笔算、估算、工具算等各种计算方法，只要在生活中和进一步学习中有用处，仍然应该学会，但要重理解、思考和评价，根据不同情况来选用。不少学者认为，计算器虽然有很大用处，但笔算仍是重要的，因此倾向于小学高年级再学习使用计算器。而且不能只把计算器作为一种计算工具，还要用它作为教具帮助理解数学概念，发展学生思维。因此使用计算器会引起内容和方法两方面的改革。

有的学者谈到新技术对教师的任务及其教学方法的影响问题。认为使用计算机以后，增加了学生独立学习的成份，教师的作用会起一定的变化。教师的任务不是传输知识，而是组织学生积极活动，引导学生去探索和发现知识，让儿童自己构建知识，培养合理的思维。由于新内容、新技术和新教法都影响着数学教育的目标，因此改进数学教育的关键因素就是继续提高教师的专业水平。

会议也提出了使用新技术对教科书的影响问题。有人认为，由于计算机能为理解数学概念、训练技能以及解问题提供材料，因此将会改变数学教科书的结构。苏联一位学者强调，现代的数学教科书应该有助于发展学生的创造性潜能。

会议上有的代表介绍了在家庭作业及课外辅导方面引入新技术的情况。例如，有人调查英国一些学校的学生家庭中拥有微型计算机的已超过60％，很多学生利用微机编程序来完成一些家庭作业。美国一家电视厂，把小学数学的主要内容制成录相带，配合学校的数学教学，每天在电视台播放半小时，不仅学生收看，而且家长和教师也收看，取得很好的效果。也有的国家有人把小学高年级的内容，如质数和合数，整除性的检验，多边形和多面体等，编成电视剧系列。其目的是通过数学概念的学习与愉快的体验的联系，来激发学生对数学的学习兴趣。

三错误在学习数学过程中的作用

近年来，数学教育工作者对错误在数学学习过程中的重要作用越来越重视。1987年数学学习国际组织在加拿大开会时曾进行过专门讨论。这次会议上小学组就此问题也进行了研究。大都认为，学生在学习中出现错误和误解，有助于教师确定学生在学习方面存在的问题的类型。教师只有弄清这一点，才能很好地做出自己的教学计划，去帮助学生消除错误。错误和误解都是基于不适当的理解。但是教师通过与学生讨论错误，使他们看到错误之所在以及错误的原因，可以有效地消除错误，而且能使学生加强对数学的一般理解。还有人提出，不应把错误仅仅看作是教师用以诊断学生学习中的困难和寻找消灭错误的策略的工具，还应把它看作是激发学生探索数学知识的动机和手段。要使学生认识到出现错误并不是坏事，它为进一步进行教学活动（包括解问题、提问题、批判的思考等）提供了机会。要着重引导学生分析讨论为什么是错误，而不只是如何把它改正过来。如果善于把错误作为质询和探究的出发点，就会使学生得到更大的益处。

四关于解问题的教学的研究

近些年来，解问题的教学一直是各国数学教育工作者着重研究的一个问题。这次会议着重研究以下两个问题：1.如何帮助学生理解问题的情境；2.如何教学生学会使用解题的一般策略。

有的代表指出，传统的教学解问题的方法，往往是由教师给出一个范例，让学生模仿。教师不仅没有给学生准备真实的问题情境，也没有教给学生一般的解题策略。这样既不能提高学生解问题的能力，也不能提高他们解问题的积极性。

为了帮助学生很好地理解问题的情境，有的代表提出，要引导学生弄清题里有关的事实数据，确定解题的目标以及这些事实数据之间的关系。会上有的代表介绍了他们对影响解题策略的因素所进行的研究。有人认为，问题的易难与其具体、抽象的程度以及有无事实或有无假设有密切关系。一般地说，具体的比抽象的要容易些，有事实的比假设的要容易些。还有人研究认为，一个数学问题，既有数学结构，又有逻辑—语言结构，这两者都影响着学生的解题策略。此外，学生的解题策略还受着学生生活经验的影响。

关于如何教学生学会解数学问题的一般策略，有人认为，学生解题时包含着复杂的心智活动

，如联系、分析、分类、想象、选择、作计划、预测、推论、心算、检验、评价等。要根据学生解题时心智活动的特点给以指导。有的代表强调，通过自我提问，提高学生的认知理解水平，培养学生自己监督、调节他们认知活动的能力（即所谓超认知能力），是提高学生解题能力的重要途径。一位代表在小学四年级进行试验，开始由教师示范，联系数学问题的情境和具体任务，自问自答。如：“首先我需要做什么？——我必须弄清这道题要我做什么。实际上发生了什么事？那么我知道什么可能对解题有帮助？我以前是否见过这样的问题？题里的条件是太多了还是太少了？我能把它找出来吗？我能想出一个类似的或者比较简单的情境吗？合理的答案可能是什么？……”学生熟悉这种自问自答的方法以后，开始练习自己设问，自己回答并加以评价。一年以后，大多数学生能自己构建解题思路，显示出这种方法对提高学生解题能力以及改变学生对数学的态度具有很大的影响。

五关于一般教学方法的研究

会议对于一般教学方法没有进行专门讨论，但是谈到其他问题时，涉及到一些教学的原则问题，值得注意。例如，谈到教师的培训问题时，提出知识不要由教师来传输，而要由儿童来构建；强调教师要能促进学生提问以及对数学的应用的探究。有的代表在谈到如何评价教师的教学方法时，着重在课堂上是否做到：学生的学多于教师的教，个别教学与集体教学平衡，学生的相互作用，发展学生的合理思维技能与一般的解题技术。

有些代表介绍了对新教学方法的试验研究。例如，有的代表采用探究法进行教学，鼓励学生自己发现数学原理。在探究问题时，学生要收集数据，进行推断。如练习普通分数化小数时，让学生探究什么样的分数可以化成有限小数。他认为，认识的好奇心是引起动机的重要因素。动机越强，学习的坚定性越大。他还认为，学具在探索问题时起着重要的作用，可以促使学生自己去发现数学原理。特别是对差生，可以产生较大的效果。有的代表试验用所谓“有引导和对话的自学法”。指出这种教学方法实际上是讲解、做中学、发现和程序教学这四种方法与古希腊的对话（讨论）法的结合。强调让学生自己去学习经过特殊设计的教科书，通过细致计划好的对话使学生对所学的新课题得到充分的理解。这些活动都是在教师的监督和引导下进行。经过试验，学生获得的知识和解题能力都比用传统的讲解法好。但是也指出最困难的问题是编写和印刷教科书。还有的代表强调采用使学生独立工作的方法。认为保障学生有独立工作的条件很重要。教师的指导和鼓励学生学习应有一定的比例，尽力给学生以充分的时间去思考、实验和讨论。但是对学生的独立作业的安排要有专门的准备。

六对高能学生的数学教育

这次会议很重视高能学生的数学教育问题。有些代表指出，传统的数学教学只注意中等水平的学生。这是自然的，因为这些学生构成了大多数。但是另一方面，人们也已认识到，高能学生对于发展一个国家的技术和文化所具有的重大作用。每个国家都尽可能使高能学生学得多一些、深一些、快一些，以便为他们的未来的活动做更好的准备。但是，各国采取的措施不尽相同。有些代表在会上介绍了本国的经验。例如，匈牙利在一些学校中设有特殊班，招收数学成绩好的学生，每周上数学课近10小时。有的学校创办“数学下午”，为一些高能学生扩展一些新知识。保加利亚除设有加强数学学习的特殊学校（从一年级开始）外，在普通中小学还分成三个水平：1.必修的普通数学，一般每周4～5课时，教以系统的数学知识和技能，以解决日常生活和实践中的问题；2.自由选修数学，从六年级起开设，每周2课时，目的在使能力较高并对数学有兴趣的学生获得较高的理论水平，并了解现代数学及其应用；3.选修数学，从四年级起开设每周2课时，目的是在必修的普通数学的基础上扩展数学知识，或者从数学专门领域获得一些数学知识和能力，以发展学生的个人创造性。在美国和澳大利亚的一些学校中，建立数学俱乐部，或开设暑期学校。在联邦德国则设“MATHEMA”课外学习项目，以提高高能学生的数学水平。

数学教育论文:数学教育酝酿改革把数学的美丽还给学生

数学很好玩。数学很漂亮。在数学家眼中，数学就像一位恋人…… 在数学家大会上，一位位数学大师用洋溢着激情的字眼描绘数学。虽然从呀呀学语之时就学着数：一、二、三、四……但数学真的那么美吗？对于大多数中国学生来说，他们感受不到数学的魅力。现在，中小学里爱好数学、成绩好、又学得比较轻松的学生不太多。多数学生对学习数学缺乏兴趣，花的力气不少，但成绩并不好，数学成了学习的负担。著名数学家、中科院数学与系统科学院院长杨乐认为，这其中有教材内容过多过繁的原因；有教师水平不齐整，教得不够活的原因；更有现行考试模式的影响，因为数学是主科，总归要考，考试指挥棒的牵制力是很大的。“我们的数学教育必须改革！”北京师范大学数学系一位教授参与制定了新的中小学数学课程标准，他对现在的数学教学很有些不满：“数学并不枯燥，是我们把它教枯燥了。不能再让孩子学得那么痛苦，要把数学的美丽还给他们。” 这几年，我国参加国际数学奥林匹克竞赛，获得的金牌总数常常高居榜首，成为当之无愧的数学“奥赛”及时大国。有人认为，中国的数学“新苗”正在成长，意味着中国的数学研究前景大有希望。但也有人担心，为竞赛而刻意进行的强化训练，实际上和让孩子喜爱并且研究数学背道而驰。“现在这类事情在中小学搞，无非是让学生做些复杂的、偏一些的题，这些解题技巧多半又是“填鸭”式地“灌”给学生，学生没有消化思考的时间，又忽略了兴趣，很难把它真正变成自己的东西，反倒弄成了负担。”数学家杨乐对此表示担忧。不光多数中小学生不爱学数学，不少大学生对数学也没兴趣，甚至连理工科大学生也往往忽略数学学习。只是以后需要用到大量的数学知识时，这些学生才恍然大悟，原来数学如此重要。前来参加数学大会的著名数学家、菲尔茨奖获得者丘成桐，在哈佛大学曾碰到一件令他十分惊讶的事情。有24小时，几个从清华大学来这里念工程学的学生找到丘成桐，求教几何方面的问题，问如何把图像运动表示出来。丘成桐感到很奇怪，这不是微分几何方面的古典问题吗，原本是在读本科时就应该掌握的数学知识。他说：“希望即使是学工程的学生也要多花点时间在纯数学上，打破门户之见。” 对于丘成桐的这番话，一位电力系统专业出身的工程师颇有感触。他最近在编写一个应用软件时，就屡屡遇到数学问题的障碍，不得已三番五次地找一位数学博士请教。他感叹，真是“数”到用时方恨少！无论对于传统的工科、理科，还是信息、经济、管理等新兴学科，甚至于人文学科的学习来说，数学方法都是必要的基础和工具。杨乐教授说，研究生的培养、高层次人才所特别需要的创新能力的培养，都离不开数学基础。北京师范大学刘兼教授透露，目前我国中小学数学教育改革正在逐步推进。记者了解到，新的数学课程标准已经拟定。新标准对目前“繁”、“难”的数学内容适当做了删减，并要求教材编写结合学生生活实际，激发学生学习数学的兴趣。而大学的数学教育改革也正引起关注和讨论。我国的大学数学教育，一定程度上存在重理论轻实践的倾向，而且数学课程的设置也不灵活。南开大学数学系定光桂认为，对于非数学专业学生的数学教育，必须以数学的应用和应用数学为主要教学内容。同时，要开设多门供不同专业学生选修的课程。即使对于数学专业的学生，也不要将课程规定得太死，除了必修的数学基础课外，大量开设一些数学选修课，让学生们得以独立自由地发展，发挥他们的创造性。