第1章统计推断

房价问题是当前热门的话题之一。一个城市房价的均价总是扑朔迷离。一个房价均价每平方米8千元的经济较为发达的省会城市，可能对于年轻人具有较大的吸引力。现实却是想要购买每平方米1万元房子的愿望，也可能只有在城郊结合部才能实现。事实上，需要弄清楚的是这个城市房子均价的变化区间、不同楼盘均价之间的差异程度、在某一价位以上的楼盘占比多少、不同区位楼盘均价之间的差异及其差异的变化趋势等。当不能获得全部楼盘销售均价的数据时(实际上难以得到真实的数据)，你如何来解决刚才提到的问题呢？

1.1随机变量及其分布

随机试验的结果未必都是数量化的，如检验产品是合格品还是不合格品，调查居民对某一改革措施赞成还是反对等，这些实验的结果并不是一个数值。为了研究随机实验的结果，揭示随机现象的统计规律性，需要将随机实验的结果数量化，即需要引入随机变量概念。

为理解随机变量的涵义，从一个统计学文献中常用的一个例子，即抛掷硬币以观察正反面出现情况的这一试验开始。例如，将硬币连续抛掷三次(看成一次随机试验)，则所有可能结果的集合为这里，用H表示正面，T表示反面。显然，当硬币均匀时，这8个结果的出现等可能。将试验所有可能结果组成的集合Ω称为样本空间。如果仅将注意力集中在正面出现的次数上，如以X表示这一试验中正面出现的次数，则X可能的取值为0，1，2，3。且易知，X取这4个数的概率分别为1/8，3/8，3/8和1/8。事实上，这些概率值对应着试验结果出现的概率。例如，X=1对应着试验结果HTT，THT或TTH的出现，则X=1的概率等于试验结果HTT，THT或TTH出现的概率之和。因此，X是定义在样本空间上的一个实值函数。

随机变量的严格定义如下：设E是一个随机试验，S={e}为其样本空间，如果对于S中的每一个样本点e，有一个实数X(e)与之对应，则称这个定义在样本空间S上的实值函数X(e)为随机变量。

随机变量X的分布函数定义如下：对于任意的实数称函数

为随机变量X的累积分布函数(简称分布函数)。实际上，F(x)是随机变量X取值不超过某一特定值的概率，故有累积之意。

容易看到，分布函数具有如下性质：

(1)F(x)是x的非减函数；

(2)limx→+∞F(x)=1；

(3)limx→－∞F(x)=0；

(4)P{a1.1.1常用的随机变量及其分布

1.离散型随机变量及其分布

一个多取可数个可能值的随机变量，称为离散型随机变量。对于一个离散型随机变量X，记，这里xi为X的可能取值，则pi>0，且对于所有的xi，有∑+∞i=1pi=1；X的分布函数。

下面介绍一些常用的离散型随机变量。

1)0-1分布

假定一个随机试验，其结果可以分为成功或失败，称这样的试验为伯努利试验。例如，试验的结果是成功，令X=1，否则，令X=0，则X的分布律为

这里，p为试验结果是成功的概率，且0随机变量X也称为伯努利随机变量，如果其分布律由上述公式给出，称X服从0-1分布，记为X～b(1，p)。

在实践中，对产品进行质量检验，每抽出一件产品，只有两种结果，即要么是合格品，要么是不合格品，如记产品的合格率为p，则产品的质量检验问题可以用0-1分布来描述。

2)二项分布

若进行n次独立的伯努利试验，其中每次结果是成功的概率为p，结果是失败的概率为1－p。以X表示在n次独立的伯努利试验中成功出现的次数，则称X为具有参数(n，p)的二项随机变量，或称X服从参数(n，p)的二项分布，记为X～b(n，p)。其分布律为

例1.1已知某生产线生产的产品是废品的概率为0.1，且与任意的其他产品独立。现从生产线上随机抽取3件产品，则至多有一个废品的概率是多少？

解以X表示这3件被抽产品中的废品数，则X为服从参数(3，0.1)的二项随机变量。

例1.2某公司有7个顾问。假定每个顾问贡献正确意见的概率为0.6，且设顾问之间是否贡献正确意见相互独立。先对某项目可行与否个别征求各顾问意见，并按多数顾问的意见作出决策。试求作出正确决策的概率。

解以X表示7个顾问中贡献正确意见的人数，则X～b(7，0.6)。从而作出正确决策的概率为

例1.3某车间有80台机器，经过长时间的观察，得知每台机器发生故障的概率为0.01。设机器发生故障与否相互独立，又设每个维修工在同一时间只能维修一台机器，则配备3个维修工共同维修80台机器，与配备4个维修工每人承担20台机器维修任务，哪个方案不能及时维修的概率较小?

解(1)按照第1种方案，以X表示80台机器中需要维修的机器数，可易见，X～b(80，0.01)，则不能及时维修的概率为

(2)按照第2种方案，以Ai表示事件"第i(i=1，2，3，4)个维修工承担的20台机器不能及时维修"，则所求的概率为

由此可见，第1种方案较好。

注二项分布的概率计算可以调用excel中的函数BINOMDIST。

3)泊松分布

对于取值为0，1，2， 的随机变量X，如对某个λ>0，有

则称X为具有参数λ的泊松随机变量，或称X服从参数为λ的泊松分布，记为

泊松分布的一个重要性质是可以用来近似二项分布。事实上，如果二项分布参数中的n较大，而p较小，对于二项分布的随机变量，取λ=np，则

对于较大的n和较小的p，有

从而，对于较大的n和较小的p，有

例1.4假定某书一页上的印刷错误个数是一个具有参数λ=1的泊松随机变量，则在此页上至少有一个错误的概率为多少？

解以X表示此页上的错误数，则X～π(1)，从而

例1.5假定每天在高速公路上发生事故的数目是一个具有参数λ=3的泊松随机变量，则今天没有发生事故的概率是多少？

解以X表示今天在此条高速公路上发生的事故数，则

例1.6(泊松分布在运营管理中的应用：排队)在生活和工作中排队是常见现象，如在银行、超市、餐饮店等场所都会遇到排队的情况；再如，货车等待装货、生产线上的零件排队等待装配等。通过排队模型，可以帮助公司管理人员掌握排队的特征。

每小时到达某加油站要求加油的汽车数服从均值为5的泊松分布，则

(1)接下来的1个小时内只有一辆车到达的概率是多少？

(2)接下来的3个小时内有多于20辆汽车到达的概率是多少？

某ATM机使用人数服从泊松分布，每间隔5分钟平均有1.5个使用者，则

(1)在接下来的5分钟内没有使用者的概率是多少？

(2)接下来的10分钟内有3个或3个以上使用者的概率是多少？

作者可自行练习。

注也可以调用excel中的函数POISSON进行计算。

4)几何分布

设进行独立试验直到首次出现成功为止，其中每次试验成功的概率都是p，以X表示直到首次成功所进行的试验次数，则称X为具有参数p的几何随机变量，或称X服从参数为p的几何分布，记为X～g(n，p)。其分布律为

例1.7对产品进行检验，直到检测到次品为止。设产品的合格率为0.9，求直到第11个产品才检测到次品的概率。

解以X表示首次检测到次品时所检测的产品数，则X～g(11，0.9)，由此

2.连续型随机变量及其分布

在某型号灯泡的寿命试验中，每一个被测试灯泡的寿命是一个非负实数，它可以取到某个区间中的任意一个数。同样该型号灯泡的寿命在某一范围内取值的概率也是客观存在的。将这样能取到一个区间中任意一个数的随机变量，称为连续型随机变量。

连续型随机变量的分布函数为

这里，f(x)是连续型随机变量X的分布密度函数。

1)均匀分布(记为X～U(a，b))

密度函数为

2)指数分布(记为X～E(λ))

密度函数为

1.8已知某种轮胎的使用寿命X～E(0.1)(单位：万公里)。现随机抽取这种轮胎5只，试求至少有两只轮胎的行驶距离不足30万公里的概率(1公里=1千米)。

解以X表示任意一只这样的轮胎的使用寿命，则其寿命不足30万公里的概率为

于是5只轮胎中至少有两只轮胎的行驶距离不足30万公里的概率为

3)正态分布

密度函数为

称为标准正态分布的密度函数，对应的随机变量以Z表示，且记与之间的关系为这里，为标准正态分布Z的分布函数。

由正态分布的密度函数图像(图1.1)可以看到，此曲线由均值μ和标准差σ决定，事实上，μ决定了密度函数曲线的位置，也称位置参数；决定了曲线的形状，也称尺度参数。

图1.1正态分布

正态随机变量的3个重要数据:若X～N(μ，σ2)，则

我们可以看到，X的取值几乎落在以均值为中心，3倍的标准差为半径的对称区间中。此性质也称为3σ准则，其在产品的质量控制中有着重要应用。

例1.9(招生录取线的确定)某学校近年招生情况看好，申请者越来越多，因此，录取标准需要提高。经学校管理部门反复论证，制订出一个录取条件，即申请者的入学分数必须在前1%以内。如果入学分数服从均值为490，标准差为61的正态分布，则录取的分为多少？

解以X表示申请者的入学分数，则X～N(490，612)。记录取分数线为x0.01，则有

这里，查附表1得x0.01－49061=2.3263，即x0.01=632。

实际上，在上述常用分布的概率计算中，都可以运用excel统计计算中的相应函数，请读者思考。本例中，可以运用excel中的函数NORMINV，立得x0.01=632。

1.1.2随机变量的矩

若E(Xk)存在，则称之为随机变量X的k阶原点矩，k=1，2， ；

若E(X－E(X))k存在，则称之为随机变量的k阶中心矩，k=2，3， 。

特别地，称随机变量X的一阶原点矩E(X)为随机变量X的数学期望，也称为均值；称随机变量X的二阶中心矩E(X－E(X))2为随机变量X的方差，称E(X－E(X))2为随机变量X的标准差。

在实践中常用的当属随机变量的数学期望与方差。

下面给出常用随机变量的数学期望与方差。

1.离散情形