第二讲 探求——数学需要什么样的课堂？

一、数学需要讲道理的课堂

数学本身就是一个讲道理的学科，其本身具有严谨的、条理清楚的、具有逻辑结构的知识实体，数学的推理和它的结论是无可争辩、毋庸置疑的。数学证明的性、确定性也是其道理体现的一个主要方面。郑毓信教授认为：“教师的特色不应局限于教学方法或模式，也应体现其对教学内容的深刻理解，反映他对学习和教学活动本质的深入思考。”数学课堂要立足以人为本，构建生本课堂，从提高教师自身的专业素养入手，确立“以学生为中心”“以学生为主体”的观念，以学生的发展为价值追求，把课堂的时间、空间留给学生，满足不同学生的个性需求，实现人人发展的教育目标。

数学知识的本质呼唤讲道理的课堂

英国学者P•欧内斯特(P. Ernest)说过：“数学教学的问题并不在于寻找好的教学方式，而在于明白数学是什么……如果不正视数学知识的本质问题，便解决不了教学上的争议。”数学知识本质既表现为隐藏在客观事物背后的数学知识、数学规律，又表现为隐藏在数学知识背后的本质属性。像其他知识一样，数学知识是人类创造的产物，是人类不断创造和发明的广阔领域，是不会终结的产物。这样动态的数学观对数学教育举足轻重，这就要求数学课堂要让学生明确知识之理，通过展示数学知识的美感，体现数学的价值，揭示数学知识的本质。

t1.eps例如，教学人教版四年级下册《角的度量》一课，角的度量其知识本质就是度量，度量是将事物的属性量化，赋予事物一个“数”，从而可以在同一纬度上比较事物。“角”作为新的度量对象，虽然与长度、面积等有着明显的不同，但都是指被度量的物体里含有多少个基本度量单位。教学中要沟通学生已有关于度量长度、面积的方法与角的度量之间的联系，让学生在联系中讲道理。

课伊始，教师可以出示如下三种图形：

让学生说说，怎么度量线段的长度和长方形的面积。然后提供1分米的线段和1平方分米的正方形，让学生通过操作明晰：度量线段的长度就是看这条线段有几个1分米，度量长方形的面积就是看这个长方形有几个1平方分米。接着教师提问：如何度量角呢？学生立足已有度量的经验，提出要看这个角有几个角的单位，以此提出先要有角的度量单位才能进行度量。

1°角是度量角的基本单位，在认识1°后，教师提供5°、10°、30°角，让学生进行估角，并说明是怎么估的，从而明白“估角”就是看这个角里含有几个1°角或者几个10°角，这是利用度量的本源去思考如何量角，是量角方法的雏形。同时也让学生在量角之前就对这个角的度数范围有一个比较合理的预测，建立角的大小的空间观念，为后续量角作好铺垫。

学生发展的需要呼唤讲道理的课堂

新课程标准更加重视学生能力的培养和素养的提高，它指出“义务教育的数学教育必须面向所有的学生，为每一个学生的终身发展奠定基础”。学生学习数学，不仅仅是为了记住一些枯燥的数字和公式，而是为了运用公式去解决实际问题，从而提升学生的数学素养，促进学生和谐地发展。课堂上让学生讲道理，就是让学生参与数学知识的形成过程，关注数学知识的背景性知识，将问题的来龙去脉或困惑恰当地呈现在数学课堂上，从而培养学生言之有理、落笔有据地讲理和推理的思维习惯，培养学生紧扣问题本质解决问题的思维方式，提高学生发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

例如，教学人教版四年级下册《四边形的分类》一课，课伊始，教师出示一个信封，让学生自由猜测信封里的四边形可能是什么图形。当学生猜可能是正方形、长方形、菱形、梯形、平行四边形时，老师露出信封中图形的一个角(如下图)：

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让学生观察，并再次猜测信封里可能装的是什么图形。学生从盲目地猜测，到认为要给提示才能猜中，思维已经开始走向缜密。当一些孩子提出要知道“有几组对边互相平行”这一条件时，让其阐述道理，说明为什么需要这个提示。可以看出，学生已经初步感知等腰梯形和平行四边形之间既有共同之处，又有本质区别。看似简单的猜测，背后却隐藏着丰富的思考。

当学生根据“两组对边互相平行的四边形是平行四边形”猜测信封中是平行四边形时，教师拿出的却是长方形。此时，学生又陷入了思维冲突中。教师适时抛出一个问题串：“它是平行四边形吗？”“为什么说它是特殊的平行四边形？特殊在哪？”在这一系列问题的引导下，学生通过讲理，明晰了为什么长方形是特殊的平行四边形这一道理。

继续猜图游戏时，教师提供的信息是“两组对边分别平行且四条边都相等”，当学生信心十足且激动地抢答是正方形时，教师拿出的却是菱形，学生都笑了。

我们可以将自己置身其中想想：假设自己作为学生，遇到这样的情境，有问题串作为思考的导向，将会收获什么呢？毫无疑问，在拥有了思考探索的空间后，充分经历了探究、思考、再探究、再思考……一浪接着一浪的思维冲击！通过这样的生“疑”追“理”巧妙地认识了菱形、正方形、长方形、平行四边形之间的关系。学生通过对教师、对他人、对自己、对教材的质疑，冷静地观照、审视数学知识，进而使得自己的思维走向深刻。

数学课程的教育观呼唤讲道理的课堂

数学课程标准提到数学教育就是要达到“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”。长期以来，我们习惯以应试教育来左右数学教学，在数学课堂中经常出现不求数学本质的理解，不问知识的来龙去脉，采用精讲多练、变式训练来掌握解题技能，缺乏对数学本质及思想真正的感悟的现象。讲道理的课堂摒弃教师“独白”式的教学方式，提倡尊重、平等交流的“对话”式教育，留给学生更多的课堂时间和思维的空间，较大限度地开启每一个学生的智慧潜能，为每个学生提供多样性的弹性发展空间，让学生从逐步“学会”到自己“会学”，真正成为数学学习的主人。

二、构建讲道理的课堂教师该怎么做？

数学是一门讲道理的学科，其本身就存在着严谨的推理论证。数学教师必须明理，并通过有效的引导让学生明晰道理，把道理清晰地表达出来，也就是“明数理、知教理、行道理”，才能让数学课堂更具生命力。

明数理

“明数理”，简单地说，就是懂得数学。数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。从狭义来说，是蕴含在数学中的因果、逻辑，如小学数学中的数量关系、图形关系、随机关系，包括数学概念、定义、公式、定理、法则、规律等等；从广义来说，包括数学文化、数学素养、科学方法、理性精神等。具体地说，理解并整体把握小学数学，包括了解数学史、数学课程设计、数学的主线、数学的基本思想等，知道本课教学内容“是什么”“什么样”，在内容领域和板块中的位置、意义、作用，与其他内容的从属和横向关系(纵横关系)，对内容进行细化并明晰依照知识的逻辑性、系统性、连贯性的知识序，实现教学内容的新旧联系、从低到高、螺旋上升，以知识序确定教学序并确定教学目标、教学事件、形式方法、轻重详略，等等。

对数学教师来说，在教学中，不但要向学生展示既定的数学知识，还必须能够解释其中的道理：为什么要认识它？它是怎么产生的？也就是我们所说的数学知识之理，它涉及教师对数学专业知识的深入理解。在数学教育中，有许多话题反映教师数学专业知识对教好数学的重要性，如“教师必须具有所教学科的专业知识”“教师不可能教他所不知道的知识”。

的确，数学知识是教师有效教学所需要的各种技能的依托，小学数学教师对于自己所教数学知识内容的掌握在很大程度上决定了他的教学效果，同样的数学内容，学生学到什么样的数学，取决于教师带进课堂中的对数学的理解。也就是说，数学教学的效果与小学数学教师的数学知识素养有着密切的关系，教师数学知识素养的缺失将会严重影响其教学质量。

为此，数学教师应该更深入地把握小学数学教学内容，以便高屋建瓴地指导小学数学教学。对概念、公式、定理等不能满足于形式上的理解，而要明白其来龙去脉、知识串联，既要重视其内涵，也要把握其外延；对数量之间或形体之间的逻辑关系要建立整体的认识，联通各知识之间的关系，正确把握数学知识之间的因果关系。

在一次关于教师专业知识的情况调查中，我们考察教师对加、减、乘、除、分数、周长与面积这几个概念的理解。可以看到多数教师虽然能得到“求几个连续加数的和的简便运算就是乘法”“物体或平面图形一周的长度就是周长”等“正确的答案”，但是，很少能够对规则所含的数学意义给予解释，而且缺乏对知识点之间联系的认知。由于对数学知识理解的局限性，教师在教学时会传递给学生错误的理解，比如，课堂上我们经常会听到教师说“摸一摸长方形的周长”“摸一摸桌子的面积”等语言，从这些语言里，我们可以看出教师不理解周长和面积是一个量，其长短和大小是用度量来体现这一本质属性。因为不明白知识之理，导致在教学中过多地强调规则运用，强调学生对规则的记忆，让学生记住的是周长和面积的公式，而不能给予学生深层次的理解。

又如，在对三类不同的应用题(如求一个数是一个数的几分之一；已知一个数求这个数的几分之几；已知一个数的几分之几，求这个数)的教学中，教师经常把三个知识点割裂教学，教学过程中强调单一的数学知识点，而没让学生把握这三个知识点之间的联系。其实，这三类应用题既有共性也有不同点，教师在教学中，应该将分数的概念统一到整个数的概念中，引导学生找到分数的位置，沟通分数和已有的认知结构的联系，在看似不同的数学现象中，建立起统摄性的数学模型，使得学生对数学知识有进一步的深刻理解。

知教理

“知教理”，就是掌握和运用教学方法。教学方法是教师在教学过程中，成功地把教学内容传授给学生，达到有效教学目标的一系列操作方法、程序和实施途径。教学方法的选择是决定教学效果和效率高低的一个重要因素。按教学方法的外部形态及学生认识活动的特点分类，教学方法一般可分为五类：一是以语言传递信息为主的教学方法，主要有讲授法、谈话法、讨论法和读书指导法等；二是以直接感知为主的教学方法，主要有演示法和参观法；三是以实际训练为主的教学方法，包括练习法、实验法和实习作业法；四是以欣赏活动为主的教学方法，即欣赏法；五是以引导探究为主的教学方法，主要是指发现法。任何一种教学方法都不是万能的，每一种教学方法都有其适用范围和局限性。对于教学方法，重要的是学会运用，针对不同教学内容，考虑到不同教学方法的优势和短处，选择最能发挥其作用，能够达到教学效果的方法，综合使用多种教学方法，提高教学方法的效用。最重要的是，要用数学知识所承载的数学思维方法研究问题、发现问题，找到规律进行教学。小学数学教师应该具有深厚的学科功底、对教学方法有透彻的了解，根据学生、教学内容的需要和自己的特点选用能充分发挥自己优势的教学方法，自觉地实现教学方法的多样化。

教育是一门科学，也是一门艺术，教育是有规律的，了解知识本质、了解学生之后，我们要遵循教育规律来选择合适的教学方法。数学教学作为一种师生互动的活动，教师面对的是具有不同发展水平的学生，教学的性质决定了教师不仅自己要理解所教的知识，还需要按照学生的思维特点，以新的方式对学科知识重新组织，采用合理的教学方式进行教学。这就需要教师掌握教学法方面的理论与技巧，然后根据不同的教材和学情，采用不同的教学方式。一个的教师应该能根据教学实际，结合自己的教育教学理念，采用合适的教学方法，以达到的教学效果。

例如，教学《梯形面积》一课，有的教师选用讲解、演示等方法进行教学，教师先出示两个相同的梯形，通过讲解并操作演示，让学生明白两个相同的梯形可以拼成平行四边形，接着结合课件演示，让学生明白平行四边形的底就是梯形的上底和下底之和，平行四边形的高就是梯形的高。归纳总结出“梯形的面积=(上底 下底)×高÷2”的计算公式，然后让学生记住公式，并运用公式进行大量的计算梯形面积的练习。这一教学过程，运用讲解演示法，学生计算梯形的面积率非常高，大部分的学生能明白，两个相同的梯形能拼成一个平行四边形。这样的教学方式虽然同样能得出梯形的面积公式，但是学生缺乏主动探究的欲望，学生的思维被束缚住，缺乏创新。同样的教学内容，有的教师则选用探究、讨论、发现等方法进行教学，先给学生创设恰当的问题情境，激发学生充分利用自己已有的知识经验，采用平移、旋转、割补等方法，而不一定只用拼补的办法，把梯形转化为已经学过面积计算的平面图形，这个图形可以是平行四边形、三角形、长方形等，在此基础上通过合作交流，进一步总结出梯形面积的计算公式，并在计算中验证所总结出的计算公式。用这样的教学方法，学生能根据自己的认知经验，主动探究解决问题。因经历了自主思考、操作、讲理的过程，学生对梯形面积的体验和感悟更为深刻，他们收获的不仅是一个简单的公式，积累数学活动经验、提高解决问题的能力、提升数学思想等方面都有所得。

当然，教学方法并不是固定不变的，而是要随内容的不同而不同，因情境变化而变化，因教学对象的差异而调整，正所谓“教学有法，教无定法”。

行道理

“行道理”，就是遵循小学数学教学的道理开展小学数学课堂教学。课堂教学是知行合一的途径，教师是知行合一的主体，行道理就是知行合一的过程。行道理就是在教师明数理、知教理的基础上，带领学生学习小学数学。行道理的路线图是“教学设计—教学实践—教学反思”。教学设计是课堂教学的基础，教学实践是课堂教学的展开，教学反思是优化课堂教学的保障。行道理的核心是针对学生、适合学生进行教学。一要遵循从已知到未知、从感知到理解、从巩固到运用、从具体到抽象、从易到难、由简到繁、由近及远的认知序开展教学；二要分析学生，分层教学，以点带面，较大限度地实现人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展；三要把老师自己研究知识、研究问题的体会讲出来，让学生感受是如何提出问题、如何理解问题、如何研究问题的，引导学生去理解问题、思考问题，最终让学生也能够“想明白、说清楚”。

学生的数学学习是一个复杂的活动过程，除了原有的数学认知结构外，学生现有的思维水平与学习能力，无疑对其数学学习起着直接的作用，影响着数学知识与技能的掌握。小学数学教学面对的是儿童，由于小学生的知识和能力都处于初步发展阶段，思维的特点也是以形象思维为主，因此，抽象的数学知识对他们来说，是比较难理解的，这就要求教师在理解数学知识道理的基础上，还要、充分地了解学生的认知特点、认识规律等教学道理从而把握教学。

例如，在一年级学习《20以内的加减法》时，有学生会采用数手指头的方法来辅助计算，有的教师认为这个方法是不可取的，觉得该方法容易对学生的计算造成心理上的“手指依赖”，导致对数理分析的疏离，不利于培养学生的数感及抽象能力，应该从数学学习的起始阶段就严格按照数的组成和关系来开展计算教学。笔者认为，数学学科严密的逻辑性和高度的抽象性特点，以及小学生的年龄特征，决定了小学数学的学习比其他学科更需要感性材料的支撑，要充分运用感性材料的直观形象性去帮助学生理解学习内容。同样是20以内的加减法，有的学生可以离开具体的事物(手指头)根据算理进行运算，说明其思维具有较高的抽象水平；可有的学生思维的抽象发展较为缓慢，往往还离不开具体事物，所以要借助于手指进行计算。这里教师应该尊重不同学生的思维发展特点，不能一概而论，否则就会造成学生死记知识而不能正确理解掌握知识。

学生是学习的主人，他们的知识从根本上来讲不是教师教会的，而是主动建构的，因此教师在教学中“不能以主观的分析或者解释去替代学生真实的思维活动”。在教学中，许多教师在教学中经常会发出这样的感慨：“这个知识这么简单，怎么就教不会呢？”“这个题目都讲过好几遍了，怎么还这么多学生不懂呢？”诸如此类的困惑，究其原因，就在于教师常常立足于成人的角色，不自觉地把成人的认知规律当成儿童的认知规律，并没有站在学生的角度去思考(比如：学生学习这个知识已有认知是什么？新知学习的障碍是什么？学生错误的本质是什么？)，而直接从成人的角度对学生的困惑和错误进行重复讲解。这样一来，不仅无法解决学生的认知困惑，反而让学生对知识的认知产生畏难情绪，从而失去了学习的兴趣。