引

抽象代数是高等代数和解析几何这一课程在抽象层面上的延续.在高等代数与解析几何中主要研究了多元一次方程组的求解及由此发展而来的矩阵、线性空间和线性变换等理论，这些理论在抽象代数的理论体系中也占有举足轻重的地位，不仅提供了大量的具体例子，而且提供了很多思想方法.一元高次方程，即多项式理论的研究正是抽象代数理论发展的起源，其历史可以追溯到4000 年前的古巴比伦时期. 模形文字泥板记录了4000 年前的古巳比伦人对二次方程求根的探索，实际上他们已经找到求根公式了然而经过了3000 多年的沉寂，直到文艺复兴时期，在一批意大利数学家的努力下，三、四次方程的求根公式问题才取得了突破. 首先是Ferro 和Tartaglia 独立的发现了后来被称为Cardano 公式的二次方程求根公式.Cardano 的学生Ferrari 在此基础上找到了四次方程的求根方法. 1770 年， Lagrange用一种统一的方法来处理低于五次的方程的求根方法，他的方法体现了根置换的思想.不过在应用到五次以上方程求解时遇到了实质性的困难，也提示人们五次以上方程未必有求根公式. 1799 年， Ruffini 证明一般五次以上方程不可解，不过证明中有漏洞.直到1824 年， Abel 给出了后来被称为Abel-Ruffini 定理的完整证明，正式宣告一般五次以上方程不可用根式解尽管如此，还是有很多高次方程是明显可解的法国数学家Galois 在前人的研究工作的基础上引入群和域的思想来描述方程的根的对称性.域论的简单性质就能给出古希腊兰大几何作图难题的否定回答.进一步， Galois 理论可以给出正n 边形可以尺规作图的充要条件. 很为重要的是，域论和群论的结合得到了一元商次方程可用根式解的充要条件.从此，代数学研究开始了新的篇章.

在很多杰出的数学家的努力下，群论迅速发展成为一门崭新的数学分支.出于判断方程是否可用根式解的需要， Galois 证明了是单群.由此开启了数学家们对群论的核心问题一一有限单群分类的研究这一史诗般的研究工作持续了百年，跨越了整个20 世纪从1963 年Fe站和Thompson 发表长达255 页的论文证明了Burnside 关于奇数阶群都是可解群的猜想开始，有限单群的研究进入了快车道. Gorenstein 引领了有限单群分类的靠前合作，并于1983 年宣布分类工作完成.然而，漏洞很快被发现，直到2004 年这一漏洞才被一篇1221 页的论文填补尽管目前认可有限单群的分类工作已经完成，不过由于篇幅太长，微小的漏洞仍然会被发现；并且，简化分类证明的工作也在不断进行中.

域论也在Abel 和Galois 的工作基础上不断发展. 1871 年，数域的概念被Dedekind 首先引入. 1881 年， Kronecker 定义了有理函数域. 1893 年， H. M. Weher给出了域的抽象定义1910 年， E Steinitz 研究了域的性质，给出了素域、完备域等概念. 1928 年至1942 年， E Art in 系统地研究了群与域的关系，发展了Galois理论到目前为止，对于代数数域的研究始终是数论研究的一个重要方向.

比域论更广泛的是环论.我们熟知的整数、多项式全体都构成环.在数论的早期研究包括对Fermat 大定理的研究中，代数整数环的重要性不断体现，其中的因式分解的不专享性也给包括Cauchy 在内的数学家们带来了极大的困扰. 1843 年，Hamilton 经过十年努力发现了四元数体，这是一种不满足乘法交换律的环或代数，很快，在1857 年， Cayley 引入了矩阵乘法，矩阵代数得到迅速发展，为包括环论在内的抽象代数的发展奠定了基础.随后， Clifford，Wedderburn， Artin 等一批数学家为环论的发展做出了极大贡献其中很值得一提的是被誉为"数学历史记录重要的女性"的Emmy Noether，她提出的模论使得抽象代数的很多概念和理论得以统一起来，并被广泛应用到代数拓扑、代数儿何等领域中.实际上，代数学领域内的各种表示理论都可以看做是模论.

靠前章 群

在18 世纪Euler 和Gauss 对于数论的研究中已经有了群的概念的萌芽； Lagrange，Raffini 和Abel 对于方程根式解的研究中运用了根的置换的思想，研究了置换群的性质；群的概念的提出要归功于Galois，他利用群有效解决了方程根式解的充要条件.在20 世纪，群论的一个重大研究成果是在很多群论学家的共同努力之下完成了有限单群的分类.当然，群论的研究工作远远没有结束，群的用途也越来越广泛.如18 世纪后半叶， Klein 把群的思想运用到几何分类的研究中， Lie 在对偏微分方程的研究中提出了Lie 群的概念，这些都开创了新的研究领域.在其他学科，如物理、化学等，群论也有广泛的应用.本章我们将介绍群的基本理论，研究群分类的基本思想和基本工具.

1.1 半群与群

顾名思义，抽象代数是在抽象的层面上研究代数结构.简单地说，一个代数结构其实就是一个定义了一种或多种运算的非空集合，而我们要研究的正是其中的运算规律.首先来看一些熟知的例子在整数集Z，非负整数集或自然数集，以及任何一个数域(如有理数域Q、实数域R、复数域C 等)上，多项式集合等集合上都有加法和乘法两种运算矩阵理论中的有加法和数乘运算.特别地， ]p>n阳上还具有乘法运算.容易验证，我们熟知的n 阶可逆矩阵的全体、实正交矩阵的全体O(n) 在矩阵乘法的运算下是封闭的.这些运算都是由两个元素对应到一个元素的一种法则，它们都有自己的特性，也有一些共性本书的群、环、模和城等理论实际上都是从这些共性中抽象出来的.

为了方便叙述，首先引入一个记号.设A，B 为两个非空集合，用A × B 表示A与B 的直积集合，它是由所有有序对(a， b) 组成的，其中，也就是说

这个概念自然可以推广到有限个集合的情形.

现在我们从一些熟知的数学对象中提炼出如下定义.

定义1.1.1 给定非空集合S，若有一个法则，使得对任意，存在S 中专享元素c 与有序对(a， b) 对应，则称S 上定义了一个二元运算.称c 为α， b 的积，换言之，非空集合S 上的一个二元运算实际上就是S x S 到S 的一个映射.