第1 章 刚体力学基础 物体的弹性

一、内容提要

1.刚体的定轴转动

定轴转动的刚体，角位移随时间变化的方程称为刚体的运动方程，即

θ = θ( t)

刚体角位移θ 随时间的变化率称为刚体的角速度，即

ω = dθ

dt

刚体角速度随时间的变化率称为刚体的角加速度，即

β = dω

dt = d2 θ

dt2

刚体匀变速定轴转动的运动学规律为

ω = ω0 + βt ， θ = ω0 t + 1

2 βt2 ， ω2 = ω20

+ 2βθ

2.刚体定轴转动定律

1) 力对轴的力矩

刚体受一位于转动平面内的力F 作用时，r 为转轴与力作用点间的垂直距离矢量.则

r 与F 的矢积称为力F 对z 轴的力矩，即

Mz = r F

2) 刚体定轴转动定律

刚体定轴转动时，作用在刚体上所有外力相对某一轴的合外力矩，等于刚体相对该轴

转动惯量与刚体角加速度的乘积.这一结论称为刚体定轴转动定律，即

Mz = Jz β

3.刚体相对定轴的转动惯量

组成刚体的每一个质点的质量与该质点到定轴垂直距离平方的乘积之和，称为刚体

相对某一定轴的转动惯量.

质量不连续分布的刚体，相对某一定轴z 的转动惯量为

Jz = Σi = 1

mi r2i

质量连续分布的刚体，相对某一定轴z 的转动惯量为

Jz = ∫dJz = ∫r2 dm

4.刚体定轴转动的转动动能定理

在合外力矩Mz 的作用下，刚体由角位置θ1 转动到角位置θ2 的过程中，力矩Mz 对刚

体所做的功为

A = ∫θ2

θ1

Mz dθ

刚体的转动动能为

Ek = 12

Jz ω2

刚体定轴转动时，合外力矩对刚体做的功等于刚体转动动能的增量，这一结论称为刚

体定轴转动的动能定理，即

∫θ2

θ1

Mz dθ = 1

2 Jz ω22

- 1

2 Jz ω21 5.刚体定轴转动的角动量 角动量守恒定律

质量为m 的质点，以速度v 运动时，角动量为

Lz = r mv

相对定轴z 转动惯量为J z 的刚体以角速度ω 绕z 轴转动时，角动量为

Lz = Jz ω

刚体相对定轴z 的角动量定理如下：

∫t2

t1

Mz dt = Δ ( Jz ω)

当刚体所受的所有外力相对于某一定轴的力矩之和为零时，刚体对该轴的角动量保

持不变，这一结论称为刚体定轴转动的角动量守恒定律，即

Σ Mz i = 0 ， Lz = Jz ω = 常矢量

6 .刚体的进动

刚体在绕自身轴高速转动的同时，其自转轴绕空间某一轴做转动，这种高速自转物体

的自转轴转动的现象称为进动.

陀螺进动的角速度为

ωp =

Mzs

Jzs ωzs sinφ

7.应力

弹性体在外力作用下发生形变时，物体内部各个相邻的宏观部分之间便产生相互作

用的弹性内力.单位面积上的弹性内力称为应力.应力有正应力、切应力和体应力三种.

正应力

σ = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS

切应力

τ = lim Δ S → 0

Δ Fτ

Δ S = dFτ

dS

体应力

p = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS

应力的大小反映物体恢复原状的能力.

在国际单位制中，应力的单位为牛顿? 米- 2 (N ? m- 2 ) ，称为帕斯卡，简称帕(Pa) .

8.应变

弹性体受外力作用发生形变时，相对形变量称为应变.应变有线应变、切应变和体应

变三种.

线应变

ε = Δ l

l0

切应变

γ = Δ x

d = Δ φ

体应变

θ = Δ V

V0

体应变描述弹性体体积变化的程度，其值越大，表明弹性体体积越容易变化，反之亦

然.应变是相对量，无单位.

9.弹性模量

在弹性限度内，材料所受的应力与相应应变之比称为材料的弹性模量.材料的弹性模

量有杨氏模量、切变模量和体变模量三种.

当材料在法向外力的作用下长度发生变化时，杨氏模量为

E = σ

ε = l0 Δ Fn

Δ SΔ l

当材料在切向外力的作用下形状发生变化时，切变模量为

G = τ

γ = Fτ d

Δ SΔ x

当材料在周向均匀的法向外力作用下体积发生变化时，体变模量为

K = p

θ

= - V0

Δ V p

式中的" - "号表示压强增大时，体积是减小的.

弹性模量表征材料变形的难易程度，其值越大，材料越不容易变形，反之亦然.

在国际单位制中，杨氏模量、切变模量和体变模量的单位均为牛顿? 米- 2 (N ? m- 2 ) .

二、思考题解答

1.1 一个有固定轴的刚体，受到两个力作用，当这两个力的矢量和为零时，它们对轴

的力矩之和也一定是零吗？ 当这两个力的合力矩为零时，两个力的矢量和也一定为零吗？

举例说明之.

答 不一定.例如，两人在一扇门的两对面距门转轴不同的位置同时对门施予大小相

等、方向相反的推力，则门所受的合力为零，但两力对转轴的力矩之和不为零.

不一定.例如，两人在一扇门的两对面同时对门施予合力矩之和为零的两个推力，则

一个力大，作用点必然离转轴近，另一个力小，作用点必然离转轴远，此时两力的矢量和就

不为零.

1.2 刚体的转动惯量由哪些因素决定？

答 刚体的转动惯量由刚体的总质量、刚体质量相对于转轴的分布以及转轴的方位

决定.

1.3 一个运动的小球碰在门上使门转动.如果忽略门轴的摩擦力，小球和门作为

个系统，在碰撞过程中，系统的动量是否守恒？ 角动量是否守恒？

答 在小球和门的碰撞过程中，由于小球和门所受的合外力不为零，因此系统的动量

不守恒.因为系统所受的外力对门转轴的力矩分别为零，即外力矩之和为零，所以系统的

角动量守恒.

1.4 一水平圆盘可绕通过其中心的固定铅直轴转动，盘上站着一个人，初始时整个

系统处在静止状态，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的摩擦，则此系统对转轴的角动

量是否守恒？

答 系统对转轴的角动量守恒.将人和转盘作为一个系统考虑时，任意时刻，系统

受的外力为转轴的轴力、转盘的重力和人的重力.由于转轴的轴力、转盘的重力都过转轴，

相对转轴的力矩为零；人的重力与转轴平行，相对转轴的力矩也为零.因此，系统所受的外

力矩之和为零，所以系统的角动量守恒.

1.5 人造地球卫星绕地球做椭圆轨道运动，地球在椭圆的一个焦点O 上，在卫星运

动的过程中，卫星对O 点的角动量是否守恒？ 动量是否守恒？

答 由于卫星在运动过程中始终受到指向O 点的万有引力的作用，而万有引力相对

于O 点的力矩为零，因此卫星对O 点的角动量守恒.因为卫星在运动过程中始终受万有

引力的作用，所以卫星的动量不守恒.

1.6 应力是怎么定义的？ 静止在深水中的铁块中的应力是什么应力？

答 弹性体在外力作用下发生形变时，物体内部各个相邻的宏观部分之间便产生

相互作用的弹性内力.物体内单位面积上的弹性内力称为应力.应力的大小反映物体

恢复原状的能力.铁块是一立体形弹性体，当铁块静止在深水中时，在水作用的法向压

缩外力Δ Fn 的作用下体积发生变化.而法向力Δ Fn 与其作用面积Δ S 之比在Δ S → 0 的

极限就是Δ S 上的体应力p ，即p = lim Δ S → 0

Δ Fn

Δ S = dFn dS .因此，静止在深水中的铁块中的应力

是体应力.

1.7 什么是应变？ 静止在深水中的铁块中的应变是线应变、体应变，还是切应变？

边长为a 的正方形物块，在切应力的作用下，受力面的边长变为b ，怎样表示该物块的切

应变？

答 弹性体受外力发生形变时，相对形变量称为应变.静止在深水中的铁块中的应变

是体应变.边长为a 的正方形物块，在切应力的作用下发生的形变是切应变.受力面的边

长变为b ，则该物块的切应变为γ = Δ x

d = b - a

a .

1.8 什么是弹性模量？ 弹性模量有哪几种？

答 在弹性限度内，材料所受的应力与相应应变之比称为材料的弹性模量.材料的弹

性模量有杨氏模量、切变模量和体变模量三种.当材料在法向外力的作用下长度发生变化

时，在弹性限度内，应力与相应应变之比称为材料的杨氏模量；当材料在切向外力的作用

下形状发生变化时，在弹性限度内，应力与相应应变之比称为材料的切变模量；当材料在

周向均匀的法向外力作用下体积发生变化时，在弹性限度内，应力与相应应变之比称为材

料的体变模量.弹性模量表征材料变形的难易程度，其值越大，材料越不容易变形，反之

亦然.

三、习题解答

1.1 一微型电动机的圆柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的轴转动.设电动机

由静止开始启动后，转速n 随时间t 变化的关系为n = 540(1 - e- t/2.0 )(r ? s- 1 ) .试求：

(1) 启动后6.0s 时，电动机的转速；

(2) 启动后6.0s 时间内，电动机转过的圈数；

(3) 电动机角加速度随时间变化的函数关系.

解 (1) 由转速n 随时间t 变化的关系n = 540(1 - e- t/2.0 )( r ? s- 1 ) ，可得t = 6.0s

时，电动机的转速为

n = 540(1 - e- t/ 2.0 ) = 540 (1 - e- 6.0/2.0 ) = 540 (1 - e- 3 ) = 513(r ? s- 1 )

(2) 由角速度的定义ω = dθ

dt ，有

dθ = ωdt = 2π ndt = 1080π(1 - e- t/2.0 )dt

对上式两端积分

∫θ

0 dθ = ∫t

ωdt = ∫t

1080π(1 - e- t/2.0 )dt

可得电动机角位移随时间变化的规律为

θ = 1080π( t + 2.0e- t/ 2.0 ) - 2160π(rad)

当t = 6.0s 时，角位移为

θ = 1080π(6.0 + 2.0e- 3 ) - 2160π = 4428π(rad)

则启动后6.0s 时间内，电动机转过的圈数为

N = θ

2π = 4428

2π = 2214

(3) 由角加速度的定义可得，任意时刻电动机的角加速度为

β = dω

dt = d(2π n)

dt = - 2π 540 - 1

2.0 e- t/2.0 = 540πe- t/2.0 (SI)

答 (1) 启动后6.0s 时，电动机的转速为513r ? s- 1 ；(2) 启动后6.0s 时间内，电动机转

过的圈数为2214 ；(3) 电动机角加速度随时间变化的规律为β= 540πe- t/2.0 SI .

1.2 由三根质量均为m 、长均为l 的细棒构成一平面三角形框架，试求该系统相对

于过任一顶点且垂直于框架平面的轴的转动惯量.

习题1.2 图

解 由习题1.2 图及转动惯量的定义，该系统相对于过任

一顶点且垂直于框架平面的轴的转动惯量为

Jz = 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

r2 dx

= 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

( d2 + x2 )dx

由l2 = d2 + l2

2

，有d2 = 34

l2 .代入上式可得

Jz = 2 1

3 ml2 + 2∫l/ 2

ml

34

l2 + x2 dx

= 2

3 ml2 +∫l/2

32

mldx +∫l/2

2 ml

x2 dx

= 3

2 ml2