第二章 广义相对论

1907年，爱因斯坦再次提出广义相对论的基本原理，经过深入研究和补充之后，1915年正式创建了广义相对论，第二年发表了具有总结性的文章《广义相对论基础》。广义相对论主要描述的是引力理论，它的创建基础是狭义相对论，在这个基础上证明了时空结构和物质分布之间的关系，指明物质的存在和分布状况决定了万有引力，而时间和空间的性质不均匀性引发了万有引力。还提出空间"弯曲"学说，指明时空的几何性质是由非欧几里得几何学的分布决定的。

2.1 狭义相对性原理和广义相对性原理

狭义相对性原理是我们的研究中心，它指出所有的匀速运动都体现了物理相对性，让我们再次对它的意义进行深入研究。有一点非常明确，根据狭义相对性原理可以得知，任何运动都不是的，而是相对的。我们再看一下前面说过的路基和车厢的例子，可以这样来描述发生的运动：

(a)对于路基来说，车厢是运动的。

(b)对于车厢来说，路基是运动的。

在(a)中，我们选择的参考物是路基；而在(b)中，选择的参考物是车厢，这就是我们对运动的描述。如果只是为了描述运动，那么，选择什么样的参考物在原则上并不是非常重要。在前面，我们就说过这一点，但这不是我们的研究重点，更不能和广泛的"相对性原理"混淆在一起。

如果我们描述任意事件时既可以选择车厢作为参考物又可以选择路基作为参考物，那么，定律告诉我们，当我们用简单的语言描述自然定律时为：

(a)选择路基当作参考物。

(b)选择车厢当作参考物。

在上面两种情况的描述中，普遍的自然界定律(如力学定律、光在真空中的传播定律)的形式一样。这一点可以简单地表达为：通过物理方法对自然过程进行描述时，参考物 和 的含义是相同的，没有哪一个是独特的(特别规划)。这不同于及时个陈述，推论并不一定能够保障后一个陈述是正确的，"运动"概念和"参考物"概念无法推导出这个陈述，只有经验事实才能证明这个陈述是否正确。

一直以来，我们都在否认所有的参考物 都可以用简洁的语言去描述自然界定律。我们的想法来自于一个假定：对于伽利略定律来说，一个参考物 所具有的运动状态都可以成立，即当一个质点到其他质点的距离足够远时，这个质点做匀速直线运动。 (伽利略参考物体)能够描述的自然界定律是非常简单的。除了 之外，可以用参考物 描述的自然界定律应该也是很简单的。对于 来说，如果某些参考物进行的是匀速直线非旋转运动，那么，在描述自然界定律方面这些参考物和 是等效的。不过，我们选择的参考物一定要是伽利略参考物，只有这些参考物才会符合我们的假定相对性原理，其他的参考物(如具有不同性质的参考物)则不符合。因此，我们把它称为特殊相对性原理或者狭义相对论。

与此对应，我们可以这样来描述广义相对性原理：对于所有的参考物来说，无论它的运动状态如何，但在描述自然界定律上都是等效的。需要注意的是，在我们深入讨论之前要用一个抽象的表达式去替代这个论述，以后我们会具体解释其中的原因。

狭义相对性原理的合理性已经被证实，所有想要研究普遍化结果的人都会向着广义相对性原理的道路前进。目前，这种努力成功的机会微乎其微。我们还是去考虑匀速行驶的火车问题，坐在车厢中的乘客不会感觉到车厢在运动。由于这个原因，车厢中的乘客可以说："车厢处于静止状态，而铁路路基在运动。"根据狭义相对性原理可知，这种解释非常符合物理学观点。

如果车厢的运动不再是匀速的，而是非匀速的，如突然拉动刹车，此时车厢中的乘客会出现身体向前倾的运动，这中减速运动是车厢相对于乘客体现出来的一种力学运动，它不同于我们以前所接触的力学运动。因此，即使某些力学定律适用于静止状态或者匀速运动的车厢，也无法适用于进行非匀速运动的车厢。不管怎样，对于做非匀速运动的车厢来说，伽利略定律显然无法成立。由于这个原因，我们暂时赋予非匀速运动一种物理实在性，这个做法和广义相对性原理相反，但不久后我们就会明白，这个做法是错误的。

2.1 狭义相对性原理和广义相对性原理

附 相对性原理

在力学中，相对性原理是一个基本原理。

一开始，当人们研究自然、利用自然力量时，就认识到物体个性化之间的联系。随着时间的推移，一个物体和另一个物体之间的距离也会发生变化。当它们依然是所讨论的物体的不可分割的一部分时，我们无法用数列去描述该物体的位置及位置的变化，所以无法把物体的位置和速度进行参数化。如果给定一个物体，它相对于一些物体进行运动，然后把这些物体标记下来，通过数列和这些距离相对应，于是这些物体变成了参考物，而给定物体到这些物体的距离构成了参照空间。与距离相互对应的数形成了一个有序系统。于是，我们将和参考物有着紧密联系的坐标系引进来。在这里，相对性原理指的是坐标系的平等性，从一个坐标系向另一个坐标系转换的可能性，坐标变换时刚体的内部特性与其质点的距离及其结构的不变性。

参照系统变更时拓展物理客体不变性概念的范围和力学的发展过程始终紧密联系在一起。17世纪时，人们已经发现物体的结构和所选择的坐标系没有关系，同时也明白从一个坐标系转换到另一个相对于它进行匀速直线运动的坐标系时，力和加速度之间的关系具有不变性。如果用现代物理学中的语言去描述伽利略的伟大发现，正是如此。它标志着近代自然科学的诞生。

牛顿通过运动三定律得出的结论体现了相对性原理。不过，运动概念是牛顿力学的基础。运动概念像是一架桥梁，把力和加速度联系起来。不能用单值去表示力的作用。例如，在一个系统中，力可以产生某个加速度，但在另一个相对于它进行加速运动的系统中，相同的力却会产生另一个加速度(当然，加速度也可能是零)。因此，只能用引发加速度系统中的力去标记加速度。牛顿用著名的水桶实验证明了存在着运动和空间的观念。对于牛顿来说，离心力是证明运动的主要依据。

牛顿认为，运动是相对于空间来说的，而不是一些个别物体。这种静止的空间可以认为是充满整个宇宙的数目不确定的离散状态的物质和"宇宙气"共同组成的。物体在空间中的运动，可以看成是一个被个体化的物体和一个无法分割的背景的对照。他认为，加速度也是相对于这个难以明确的背景来说的。不过，在具体的动力学的课程中，一定要使用某个和具体的物体联系在一起的计算系统。因此，在明确了动力学客体的范围之后，必须把相对静止的物体和以空间出现的具有特权的计算系统区分开。

自由度数无穷大的系统会限制相对运动。不过，只要我们承认不可分割的整体连续的事件，放弃单个物体的位置变化和运动变化的参数，否定某些必备的坐标系，那么，运动和相对运动就可以相互兼容。对于某个质点的热运动来说，相对性感念就会失去作用。如果宇宙气体和连续介质能够结合成一体，那么，牛顿的空间在理论上就会具有重要的意义。

在物理学中，通过因果对力学的终极概念进行了解释。对于物理学来说，一定要去分析和研究力的概念。物理学给出了力的数值，在特殊的情况下，当质点的运动不会受到摩擦力时，力也许是坐标的函数。这种函数可以通过引力论、弹性理论、电动力学理论中对引力、弹性力、电力、磁力的分析给出，而这种分析不同于力学研究，它按照另一种方式进行，这些力脱离了终极概念的范围。不过，现代科学的目的是，通过物理方法或者数学方法把它们从其他的量中推导出来。

达朗贝尔在《动力学》这本书中说，可以用两个分力去代替作用在质点上的力，其中一个分力指向受到约束的运动路线。如果质点可以自由移动，那么，它的移动方向是两个分力构成的平行四边形的对角线方向。其实，质点的运动好像只是受到一个力的作用，另一个力似乎没有作用。达朗贝尔把这个力叫做"遗失的力"。遗失的力没有让质点产生加速度，就是系统中失去踪影了，因为约束反作用力把它抵消了。需要说明的是：遗失的力指的是作用在质点上的力和惯性力的合力。作用在质点上的力和约束条件决定的反作用力、惯性力相互平衡。也就是说，遗失的力和反作用力相互平衡。

曾经，人们把达朗贝尔引入的惯性力叫做虚构的力。此后，动力学问题转化为静力学问题。每一个运动方程都对应着一个平衡方程，平衡方程通过虚构的惯性力和运动方程相互区分。

实在的力和虚构的力是相对而言的。如果把达朗贝尔引进的力施加在所论物之上，它就是虚构的力；如果把这个力施加在别物之上，它就是实在的力。如果将坐标原点从一个物体上移动到另一个物体上，那么，虚构的力是实在的，而实在的力却是虚构的。

每个系统都是用属于这个系统的全体质点在这一时刻的位形进行表示，可以把这样的位形当作多维空间中的一个点。在《分析力学》中，拉格朗日描述了系统状态及其运动的普适方法，也就是广义坐标法。它描绘出了空间中的质点的位置，即让古典力学中的原始形象去对应被看作多维"空间"的点的系统的位形。从几何学的角度而言，这是拉格朗日在科学中引入四维空间之后，所要采取的下一步行动。当拉格朗日在《分析力学》一书中，将古典力学原理以四维解析几何的形式阐释之后；当达朗贝尔在《百科全书》中的度量这篇文章中，将时间看成是第四维时，他已经在科学中引入了第四维概念。在柯西、凯尔、普留凯尔、黎曼、格拉斯曼的探索下，多维空间的理论在形式上有了很大进步。对于相对论和量子力学来说，这个进步为它们提供了丰富的多维几何学的解释。

拉格朗日认为，广义坐标除了可以作为质点系的笛卡尔坐标之外，还可以当作描述这个系统位形的某种参数。如果一个质点系统受到引力作用或者弹性力作用，那么，广义坐标决定了每个时刻作用在系统中的各个点上的力(即加速度)。物体的速度不会对加速度产生影响，如果已经知道了系统的位形，那么，速度的取值也许不同。如果真是这样，即使加速度是已知的，也无法确定下一刻系统的位形。因此，如果想要弄清楚系统在未来每刻的状态，不仅要知道已知时刻的坐标，还要知道物体的速度。

当我们把个别物体及其运动从原始的、直接的、无法分割的图景中分离出来时，我们把物体在空间中改变自己位置的一系列自身同一状态看作是某个过程，这是力学中的原始表象。力学的原始形象指的是随着时间的推移，坐标改变的自身同一的物体。我们可以"识别出"任何一个相继时刻的物体，前提条件是坐标的连续变化。如果我们记录下物体在一个位置和另一个位置的间隔上的所有点，那么，我们可以说出现在面前的是同一个物体。借助于物理客体的这种个体性，在已知物体在某个时刻的状态后，我们可以推测出任何一个相继时刻的状态。因此，状态指的是标志若干物理量的综合，这种综合通过单值的形式和每个相继时刻的、每个相似的综合建立联系。借助于这种状态的连续性和单值的依存关系，我们可以推导出运动的微分方程。如果初始条件是已知的，通过这个方程就可以预测出物体以后的运动过程。

物理学的影响改变了相对性原理的形式。在牛顿运动方程中，纯力学量指的是质点的空间坐标。对于某个坐标系来说，质点处于运动状态，当它从一个惯性系转换到另一个惯性系中时，运动方程体现了协变性。体现广义坐标的拉格朗日方程，可以用来描述非力学的运动过程，当物体从一个坐标系过渡到另一个坐标系时，它能否保持原有的协变性呢？爱因斯坦的相对论让我们明白：如果所讨论的系统做的是匀速直线运动，方程具有协变性。这样一来，相对性原理向非力学过程拓展，并形成了古典物理学的最终形式。因此，古典物理学必须用不变的四维间隔去替代原来的不变的空间距离和时间间隔。此时，相对性原理依然是把宏观物理学和力学联系在一起的普遍原理。因此，可以认为相对论总结了世界上的古典图景。

我们把历史的变更进行归纳，然后去讨论相对性原理，或者说讨论适用于伽利略变换、牛顿运动力学、狭义相对论、广义相对论的具有普遍意义的相对性原理。伽利略和牛顿的古典原理用在缓慢的惯性运动中，狭义相对论用在和电磁振荡传播的速度相似的惯性运动中，广义相对论用在引力场中的质点或者质点系的加速运动中。在上面的情况中，随着时间的推移，坐标以不同的形式发生变化，指的是在每一时刻，空间中的物理客体在保持自身不变的情况下，从空间中的一个点移动到另一个点上。这个客体可以凭借任意速度(古典的相对性原理)通过这些场所，或者以某个恒定(狭义相对论)速度通过，或者由引力场所决定的(时空弯曲、广义相对论)速度通过。无论根据的是何种观点，只要明确自身同一客体相对它进行运动的那个物体，那么，自身同一客体运动的概念就有意义。至于这个论题(是否可以指明位置、速度、加速度的相对性)要用哪种坐标去表示，还要由具体实验决定。把所有已知的相对性理论归纳起来，这才能体现相对性原理的真正意义。