试析数学建模及其应用:试析数学建模方法及其应用

【摘要】 数学模型是数学知识和数学应用的桥梁,研究和学习数学模型,能帮助学生探索数学的应用,对数学学习产生兴趣,有利培养学生的创新意识和实践能力,加强数学建模教学与学习对学生的智力开发具有深远的意义。

【关键词】 数学建模 建模方法 应用

数学建模是一种数学的思考方法,是运用数学的语言和方法,通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时,人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上,用数学的符号和语言,把它表述为数学式子,也就是数学模型,然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题,并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。

1 数学模型的基本概述

数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标,根据特有的内在规律,做出必要的简化假设,运用适当的数学工具,得到的一个数学结构。数学结构可以是 数学公式,算法、表格、图示等。数学模型法就是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法。教师在应用题教学中要渗透这种方法和思想,要注重并强调如何从实际问题中发现并抽象出数学问题,如何用数学模型(包括数学概念、公式、方程、不等式函数等)来表达实际问题。

2 数学建模的重要意义

电子计算机推动了数学建模的发展;电子计算机推动了数学建模的发展;数学建模在工程技术领域应用广泛。应用数学去解决各类实际问题时,建立数学模型是重要关键。建立教学模型的过程,是把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构的过程。要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征和内在规律,抓住问题的主要矛盾,建立起反映实际问题的数量关系,然后利用数学的理论和方法去分折和解决问题。数学建模越来越受到数学界和工程界的普遍重视,已成为现代科技工作者重要的必备能力。

3 数学建模的主要方法和步骤:

3.1 数学建模的步骤可以分为几个方面

(1)模型准备。首先要了解问题的实际背景,明确建模目的,搜集必需的各种信息,尽量弄清对象的特征。(2)模型假设。根据对象的特征和建模目的,对问题进行必要的、合理的简化,用的语言作出假设,是建模至关重要的一步。(3)模型构成。根据所作的假设分析对象的因果关系,利用对象的内在规律和适当的数学工具,构造各个量间的等式关系或其它数学结构。(4)模型求解。可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法,特别是计算机技术。(5)模型分析。对模型解答进行数学上的分析,特别是误差分析,数据稳定性分析。

3.2 数学建模采用的主要方法包括

a.机理分析法。根据对客观事物特性的认识从基本物理定律以及系统的结构数据来推导出模型。(1)比例分析法:建立变量之间函数关系的最基本最常用的方法。(2)代数方法:求解离散问题(离散的数据、符号、图形)的主要方法。(3)逻辑方法:是数学理论研究的重要方法,对社会学和经济学等领域的实际问题解决对策中得到广泛应用。(4)常微分方程:解决两个变量之间的变化规律,关键是建立“瞬时变化率”的表达式。(5)偏微分方程:解决因变量与两个以上自变量之间的变化规律。

b.数据分析法:通过对量测数据的统计分析,找出与数据拟合好的模型

可以包括四个方法:(1)回归分析法(2)时序分析法(3)回归分析法(4)时序分析法

c.其他方法:例如计算机仿真(模拟)、因子试验法和人工现实法

4 数学建模应用

数学建模应用就是将数学建模的方法从目前纯竞赛和纯科研的领域引向商业化领域,解决社会生产中的实际问题,接受市场的考验。可以涉足企业管理、市场分类、经济计量学、金融证券、数据挖掘与分析预测、物流管理、供应链、信息系统、交通运输、软件制作、数学建模培训等领域,提供数学建模及数学模型解决方案及咨询服务,是对咨询服务业和数学建模融合的一种全新的尝试。例如北京交通大学在校学生组建了国内及时支数学建模应用团队,积极地展开数学建模应用推广和应用。

5 努力倡导数学建模活动的要求

5.1 积极开展数学建模活动,鼓励大家积极参与

为了提高学生的数学建模能力,学校可以开展数学建模活动,可以是竞赛制的和非竞赛制的,应当对成绩比较的学生给予一定的奖励,从而提高学生的积极性。建模活动要有规章制度,要比较正规化,否则可能会达不到预期效果,而且建模过程竞赛要保障公平、公开,保障学生不受干扰影响。

5.2 巩固数学基础,激发学生学习兴趣

首先数学建模需要扎实学生的数学基础,同时学生要具备较好的理论联系实际的能力以及抽象能力,还有就是要激发学生的学习兴趣,兴趣是学习的好老师,假设教学课堂中过于枯燥无味,学生容易产生厌倦情绪,不利于学习。数学建模过程本质是比较有趣的过程,是对实际生活进行简化的一个过程,生动和有实际价值的。鼓励学生相互交流,促使学生用建模的思维方法去思考和解决生活中的实际问题,表现的同学可以适度给予奖励评价。

总之,数学建模能力的培养应贯穿于学生的整个学习过程,积极地激发学生的潜能。数学应用与数学建模目的是要通过教师培养学生的意识,教会学生方法,让学生自己去探索?研究?创新,从而提高学生解决问题的能力。 随着学生参加数模竞赛的积极性广泛提高,赛题也越来越向实用性发展。可以说正是数学建模竞赛带动了数模一步一步走向生产和实践中的应用。所以,数学建模广泛应用必成为了社会的发展趋势。

试析数学建模及其应用:对数学建模方法及其应用的研究

摘 要：以往的数学教学只注重对学生运算能力的训练，却忽视了对其逻辑思维能力的培养。数学模型可直接或间接地描述自然现象和人文现象，因此数学模型可帮助人们对事物有更加直观、清晰的认识。对新课程改革来讲，培养学生的数学建模能力将有助于提高学生的逻辑思维能力，使其对数学方法有更加深入的了解。

关键词：集合模型；方程模型；几何模型

数学模型通过数学方法，可将需要解决的实际问题转化为熟知的数学知识，建立数学模型可简化运算过程，帮助学生快速求解出答案。本文主要分析了数学建模的内涵以及数学建模的一般步骤，并以集合模型、方程模型、几何模型为例，阐述具体的建模方法及其应用实践。

一、数学建模内涵

所谓数学建模，即根据某种具体事物的特征和其与数量之间的依存关系，利用更加直观、形式化的语言，将其概括为一种数学结构的过程。一切数学概念，包括数学公式、方程、算法等都可以称之为数学模型。如圆锥体的概念就是数学模型，圆锥体本身是自然界中物体的一种表现形式，但是利用数学建模就可以将其转化为一种直观的数学表述，并可在此基础上进行数学运算。再如数学教材中关于数量关系的运算，三棵树与七棵树合起来就是十棵树，转为化数学模型就是“3+7=10”。数学建模过程是为解决问题所构造出的一种模型表现，利用数学模型可快速解决实际问题。

二、数学建模的一般步骤

数学建模主要包括三个步骤：及时步是根据需要解决的实际问题选择合适的数学模型类型，如求解物体表面积就需要选择几何模型，求解数量关系就需要选择方程模型；第二步是将实际已知的信息应用在数学模型上并进行推理和演算，得出答案；第三步是将所得答案应用在原实际问题中，即实际检验。

三、常见的数学建模方法及其应用

1.集合模型建模方法及其应用

集合模型建模过程就是将已知条件中的关系看作集合之间的关系，借助集合的交、补、合并原理和计算方法求出答案。如某舞蹈队共45人，其中，20人参加拉丁舞排练，10人参加民族舞排练，只有1人既参加了拉丁舞排练也参加了民族舞排练，那么只参加拉丁舞排练的有多少人？没有参加任何一种舞蹈排练的有多少人？从题干描述可以得知，拉丁舞排练人数与民族舞排练人数之间产生了交叉，可借助集合模型进行求解。我们以长方形的平面部分表示整个舞蹈队人数，用A圈表示参加拉丁舞排练的人数，用B圈表示参加民族舞排练的人数，A圈与B圈之间的交集表示同时参加两种舞蹈排练的人数，长方形内A圈和B圈之外的阴影区域则表示两种舞蹈排练都没有参加的人数。从建立的数学集合图形中我们可以得出，只参加拉丁舞排练的人数为：20-1=19（人），没有参加任何一种舞蹈排练的有：45-（19+10）=16（人）。

2.方程模型建模方法及其应用

方程建模的目的在于降低实际问题的解决难度，避免受到逆向思维的影响。如某校外活动小组组织52人参加公园划船活动，大船和小船共租了11条，每条大船上可以坐6人，每条小船上可以坐4人，那么该活动小组租了几条大船几条小船？从题干描述中可以看出，从已知条件到未知条件的求解是一个逆向思维的过程。因此可以设大船有x条，坐大船的有6x人，那么小船有（11-x）条，坐小船的就有4（11-x）人，已知该活动小组共有52人，那么可以构建下列方程：6x+4（11-x）=52，通过运算解得x=4，因此大船有4条，小船有（11-4）=7条。

3.几何模型建模方法及其应用

几何建模的目的在于通过构建熟知的几何模型，将实际问题转化为关于形的问题，根据具体的形的性质，简化问题解决过程。如某实验容器中含有某种A物质溶液，加入一杯水稀释后，容器中A的浓度为25%，随后再加入一杯物质A，容器中的物质A浓度为40%，那么容器中原有物质A溶液浓度是多少？从题干描述可以得知，已知条件中既有未加入水之前的物质A溶液，也包括加入水之后的物质A溶液和再次加入A之后的物质A溶液。将加一杯物质A之后的溶液分成10份，其中有4份为物质A，其余6份为水，根据上述转化可以用小方块表示物质A，用小圆圈表示水，将小方块和小圆圈分别列出。加入物质A之前，物质A的浓度为25%，那么物质A和水之间的比例为1∶3，也就是2个方块和6个小圆圈，那么加入一杯物质A就是2个小方块，因此原始容器中有2个小方块和6个小圆圈，6个圆圈也就是三杯水，那么物质A浓度为：2÷（2+4）×≈33.3%，容器中原有物质A溶液浓度约为33.3%。

利用数学建模方法解决实际问题，需具备抽象能力、转化能力、运算能力和实践检验能力等多方面综合能力。本文通过具体分析几种常见数学模型的建模方法及其应用方法，不仅展现了数学建模方式在解决实际问题方面的快速有效，也提示广大数学教师在进行数学建模能力培养时，应当指导学生多接触一些实际问题，培养其数学建模方法的应用能力。

试析数学建模及其应用:浅谈高中生物教学中的数学建模及其应用

摘 要:生命科学是理科中的一大支柱,具备理科思维的严谨性、逻辑性与科学性;其中蕴含着数学建模思想。高中生物学的教学应努力将模型方法应用于课堂教学之中,以提高学生的科学素养和科学探究能力。其中构建数学模型作为发现科学事实、揭示科学规律的过程和方法,在生物教学中有着十分重要的意义。构建数学模型有助于学生系统地、完整地学习和理解新知识,同时有助于学生运用数学工具解决一些复杂的问题,还可以习得获取知识的方法,提高解决问题的能力。

关键词:高中 生物教学 数学建模

生命科学是自然科学中的一个重要的分支。在高中学习阶段,有部分学生把生物学科当作是文科来学,认为只要会背、会记、能理解就可以了。其实并非如此,在现行的高中生物学科中涉及的知识,要求学生应具备理科的思维方式。学会构建合理的模型并运用相关的模型方法进行科学探究,已成为现代高中学生必备的科学素养。本文在此探讨一下在高中生物教学中数学模型的构建及其应用。

一、关于数学模型的认识

数学模型就是用字母、数字及其他数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观实物的特征及其内在联系的数学结构表达式。数学模型在生物学中也越来越表现出强大的生命力,通过数学建模可以用数量关系描述生命现象,再运用逻辑推理、求解和运算等达到对生命现象进行研究的目的,最终运用数学模型提供的解答来指导解决现实问题。引导学生建构数学模型,有利于培养学生透过现象揭示本质的洞察能力。同时,通过科学与数学的整合,有利于培养学生简约、严密的思维品质,提高其综合性分析探究的能力,也丰富了学生阐述和呈现生物学现象、特征、生命规律的表达形式。

二、高中生物教学中的数学建模

数学是一门工具学科,在高中的物理与化学学科中被广泛地应用。由于高中生物学科以描述性的语言为主,学生不善于运用数学工具来解决生物学上的一些问题。这就需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结,并进行数学建模。所谓数学建模,就是把现实世界中的实际问题加以提炼,抽象为数学模型,求出模型的解,验证模型的合理性,并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题,我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。在生物学科教学中,构建数学模型,对理科思维培养也能起到一定的作用。

三、数学建模思想在生物学中的应用

1.数形结合思想的应用

生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型,它能考查学生的分析、推理与综合能力。这类试题从数形结合的角度,考查学生用数学图形来表述生物学知识,体现理科思维的逻辑性。

例1.下图1表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系;图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。以下说法正确的是( )

A.图2中甲细胞处于图1中的BC段,图2中丙细胞处于图1中的DE段

B.图1中CD段变化发生在减数Ⅱ后期或有丝分裂后期

C.就图2中的甲分析可知,该细胞含有2个染色体组,秋水仙素能阻止其进一步分裂

D.图2中的三个细胞不可能在同一种组织中出现

解析:这是一道比较典型的数形结合题型:从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减Ⅱ后期和丙为减Ⅱ中期;而图1中的AB段表示的是间期中的(S期)正在进行DNA复制的过程,BC段表示的是存在姐妹染色单体(含2个DNA分子)的染色体,DE段表示的是着丝点断裂后的只含1个DNA的染色体。此题的答案是B。

2.排列与组合的应用

排列与组合作为高中数学的重要知识。在减数分裂过程中,减Ⅰ分裂(中期)的同源染色体在细胞中央的不同排列方式,在细胞两极出现不同的染色体组合,最终形成不同基因组成的配子,这是遗传的分离定律与自由组合定律细胞学证据。同样,遗传信息的传递与表达过程中,也涉及碱基的排列与密码子的组合方式。

例2.果蝇的合子有8个染色体,其中4个来自母本(卵子),4个来自父本(精子)。当合子变为成虫时,成虫又产生配子(卵子或精子,视性别而定)时,在每一配子中有多少染色体是来自父本的,多少个是来自母本的()

A.4个来自父本,4个来自母本

B.卵子中4个来自母本,精子中4个来自父本

C.1个来自一个亲本,3个来自另一亲本

D.0、1、2、3或4个来自母本,4、3、2、1或0来自父本(共有5种可能)

解析:染色体在形成配子时是独立分配的,因为在同源染色体发生联会后,染色体在赤道板上的排列方位是随机的,因此每个配子所得到的4个染色体也是随机的。每个配子所得到的一套染色体有可能是五种组合中的一种,实际上每种组合又会有不同的情况。如将这4对染色体分别命名为m1(母源来的及时染色体)以及m2、m3、m4和p1(父源来的及时染色体)、p2、p3和p4。那么上述情况下,配子有可能是:m1 m2 m3 m4;m1 p2 p3 p4;m2 p1 p3 p4;m3 p1 p2 p4 ……p1p2 p3 p4。因此,当我们不仅考虑数量,而且也考虑到质量时,4对染色体的配子组合数应为24=16。在只考虑数量时,此题答案为D。

3.数学归纳法的应用

教师通过对一些实例分析,协助学生归纳出一般的规律并构建数学模型。学生通过学习,把数学中的相关知识融入到生物学科中来,做到举一反三。

例3.若让某杂合子连续自交,能表示自交代数和纯合子比例关系的是()

解析:假设此杂合子的基因型为Aa、采用数学归纳法对杂合子自交的后代概率进行推算(一般学生都会)。自交及时代的杂合子概率为1/2,纯合子的概率为1/2(显、隐性纯合子),自交第二代的杂合子概率为(1/2)2……自交第N代的杂合子概率为(1/2)N,而纯合子则为1-(1/2)N,然后再构建数学曲线模型。本题答案为D。

4.概率的计算

高中生物的遗传几率的计算是教学的难点,教师通过对具体实例的解析,协助学生构建概率相加与相乘原理。比如:分类用概率相加原理;分步用概率相乘原理。

例4:A a B b×A a B B相交子代中基因型a a B B所占比例的计算。

解析:因为A a×A a相交子代中a a基因型个体占1/4,B b×B B相交子代中B B基因型个体占1/2,所以a a B B基因型个体占所有子代的1/4×1/2=1/8。(由概率分步相乘原理,可知子代个别基因型所占比例等于该个别基因型中各对基因型出现概率的乘积。)

5.生态系统的数学模型

生态学的一般规律中,常常求助于数学模型的研究,理论生态学中涉及大量的数学模型构建的问题。在高中生物学中有种群的动态模型研究,如:“J”与“S”型曲线,另外,种间竞争及捕食的数学模型等等。

例5.在实验室中进行了两类细菌竞争食物的实验。在两类细菌的混合培养液中测定了第Ⅰ类细菌后一代(即Zt+1)所占总数的百分数与前一代(即Zt)所占百分数之间的关系。在下图中,实线表示观测到的Zt+1和Zt之间的关系,虚线表示Zt+1=Zt时的情况。从长远看,第Ⅰ类和第Ⅱ类细菌将会发生什么情况?( )

A.第Ⅰ类细菌与第Ⅱ类细菌共存

B.两类细菌共同增长

C.第Ⅰ类细菌把第Ⅱ类细菌从混合培养液中排除掉

D.第Ⅱ类细菌把第Ⅰ类细菌从混合培养液中排除掉

解析:两类细菌在实验条件下,同一环境中不存在其他生物因素的作用时,竞争的结果是一种生物生存下来,另一种被淘汰的现象。从上述图形的对角线(虚线)上可以看出在虚线上任取一点作横坐标与纵坐标得到的是相同的数据,这说明了同种细菌后一代与前一代在混合培养液中的比例没有变化,说明它们之间是共存的,不是竞争关系。而实线位于虚线下方,用同样的方法不难得出,第Ⅰ类细菌的后一代含量比前一代含量减少了,在竞争中是劣势的种群。本题答案为D。

6.生物作图及曲线分析

生物作图在近些年的高考试题中经常出现,对能力要求比较高,要求学生会从数形中提炼出有用的信息。教师在平时的教学中,可以结合生物学知识解决一些难以理解的、比较抽象的图形和曲线。

例6.有一种酶催化反应P+QR,右图中的实线表示没有酶时此反应的进程。在t1时,将催化此反应的酶加入反应混合物中。图中的哪条线能表示此反应的真实进程(图中[P]、[Q]和[R]分别代表化合物P、Q和R的浓度)?()

A.ⅠB.ⅡC.ⅢD.Ⅳ

解析:A、B和D都不对。酶作为催化剂不能改变化学反应的平衡点即平衡常数(Keq=[R]/[P][Q]),只能缩短达到平衡的时间。图中实线平行于横坐标的线段延长相交于纵坐标的那个交点即为此反应的Keq。Ⅰ,Ⅱ和Ⅳ三条线显然都改变了此平衡点。C正确:线Ⅲ反映了加酶后缩短了达到平衡点的时间而不改变原反应的平衡点。

四、生物教学中数学建模的意义

生命科学作为一门自然科学,实际问题是复杂多变的,数学建模需要学生具有一定的探索性和创造性。在教学过程中,充分地运用它,能很好地解决一些生物学实际问题,使学生对生物学产生更大的兴趣。其理论的深入研究必定会涉及很多数学问题。构建数学模型正是联系数学与生命科学的桥梁。如何将生物学理论知识转化为数学模型,这是对学生创造性地解决问题能力的检验,也是理科教育的重要任务。

总之,数学建模,不论对提高学生的学习效率还是对提高教师的教学效果来说,都是一个有效和富于创造性的好方法。