三角函数变换规律篇1

一、把握公式规律，巧记公式

对三角公式的准确、熟练记忆是进行三角变换的前提，但是三角公式繁多：同角三角函数的基本关系式（8个）、诱导公式（36个）、两角和与差的三角函数公式（6个）、二倍角公式（5个），再加上各组公式的变形，总共有60多个公式。如何才能保证记忆时不出现错误呢？这就要求学生在记忆时不要死记硬背，而是要把握其中的规律，巧记公式。下面，介绍各组公式的记忆方法。

1. 同角三角函数的基本关系式

这组公式常称“三类八式”，即这八个公式分为三大类：平方关系、商数关系和倒数关系。八个公式可画一个六边形来记忆。

记法：①在最长对角线上的两个三角函数的乘积为1。如：tanα・cotα=1；②在3个倒三角形中，上面两个顶点的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方（中心点为1）。如：tan2α+1=sec2α；③任意一顶点上的三角函数值等于与之相邻的两个顶点的三角函数值的乘积。如：sinα=tanα・cosα.

2. 诱导公式

诱导公式看似很多，其实可以概括为一句口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。诱导公式左边的角可统一写成k・±α(k∈Z)的形式，当为奇数时，等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变，当k为偶数时，等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把α当做锐角，k・±α为第几象限，以及左边的三角函数之前的符号即为公式右边的符号。

3. 两角和与差的三角函数公式

这6个公式可分为三组，故可分为三组来记忆。每一组的特征都很明显：两角和（差）的余弦：余余、正正、符号异；两角和（差）的正弦：正余、余正、符号同；两角和（差）的正切：分子同，分母异。

4. 二倍角公式

其实，二倍角公式是两角和的三角函数公式当两角相等时的特殊情况。把握住这点，记住两角和的三角函数公式，二倍角公式自然就记住了。有规律有方法地巧记公式，有事半功倍的效果。

二、总结题型规律，活用公式

记 住了三角公式，如果不了解三角变换的提醒规律，也很难去用公式解题。三角变换题目虽然很多，但是也是有规律可循的，大致可以分为以下几类。

1. 角的变换

进行角的变换常用的公式有诱导公式、两角和（差）公式和二倍角公式。因此，题目当中需要化角时就要想到用这些公式，而不是往别的公式上去套。例1：已知α、β为锐角，且sinα=，cos(α+β)=-，求sinβ的值。解析：此题就需要用到角的变换β=(α+β)-α，然后两边取正弦，右边用两角差的正弦公式展开即可。

2. 函数名称的变换

一般是切割化弦或弦化切割，常用公式为同角三角关系式中的倒数关系式和商数关系式。例2：已知tanα=3，求的值。解析：已知正切的值，求关于正余弦的值，很显然只能采用公式tanα=。

3. 常数变换

在三角变换中，有时需要将常数化为三角函数值，比较常见的是“1的变换”，常见的变形有1=sin2α+cos2α=sec2α-tan2α=cot2α-

sos2α。例3: 若2k?仔-≤α≤2k?仔+(k∈Z)，则+的化简结果为( )。解析：巧用常数1的变换：1=sin2α+cos2α，则1-2sinαcosα= sin2α+cos2α-2sinαcosα=(sinα-cosα)2，同理，1+2sinαcosα=(sinα+cosα)2，再结合角的范围开方即可。

4. 幂的变换

降幂是三角函数变换时常用的方法，对次数较高的三角函数公式一般采用降幂处理方法，常用的降幂公式有：二倍角公式的逆用和同角三角函数平方关系式，降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂处理变成有理式。例4：化简cos8x-sin8x+ sin2x・sin4x。解析：本题中三角函数的次数较高，需要从降幂入手进行化简，先后用到平方差公式，二倍角公式和sin2α+cos2α =1。

总之，三角变换题目比较灵活，其解法也千变万化，没有固定的、唯一的解法。所以，在解题时，应根据题目的特点确定解题方法和变换技巧，再选择有关公式，千万不能对公式生搬硬套。如果在学习过程中多归纳、多总结，注意分析题目的结构及发现其规律，则可以结合所学的知识迎刃而解了。

参考文献：

三角函数变换规律篇2

三角函数是学习以及研究其他数学知识的有效工具之一，它不仅在高中数学中占有非常重要地位，而且它还和中学数学的其他各个分支也有着紧密的联系。在高中数学中，三角函数的考查范围主要是在三角函数图像和性质方面，还包括三角函数的求值、简化以及证明恒等式等这几个方面。其最主要的核心是三角函数的变换。三角函数的变换基础是建立在深刻了解和熟悉三角函数的概念、图像以及性质，还有熟练地掌握三角函数的每类公式的基础上进行的。在历年的数学高考中，有关三角函数的变换的常用的思想方法、解题技巧，以及三角函数在其他数学领域的综合运用，到现在都是高考比较热的考试重点。所以笔者认为，现在研究高中数学的三角函数变换给学生一些参考是很有必要的。

1.三角函数概况

1.1三角函数的地位及其定位

函数是中学数学课程里的一个学习重点。在现实世界中，不同的变量之间一般都有互相依存的关系，然而函数用极其明确的语言、数学表格和数学式子或者图像来描写这种关系。

世界上的事物和现象都是一直处于不断的变化和联系之中的，函数是描述客观世界的变化规律最重要的数学模型之一。函数概念是高中数学概念中最基本的概念之一，它产生的时间非常晚，至现在为止也只有三百多年的历史。三角函数是描述客观世界的周期变化规律的函数中最重要的数学模型之一，并且三角函数在数学学科发展过程中有属于它自己的发展历史。在中学数学教育阶段，三角函数也有它独特的地位[1]。

三角函数是函数中的基本初等函数，它是属于描述周期现象这一类的数学模型，并且它在数学和其他领域中都有很重要的作用。学生一般通过实例来学习三角函数及其基本性质。三角函数是指由正弦函数、余弦函数、正切函数等组成的函数类，它是一个从特殊到一般的过程。在对三角函数的学习过程中，帮助学生了解三角函数在解决有关周期变化规律方面的问题中的作用是非常有必要的。

1.2三角函数的作用

三角函数在数学及其他领域中都有着非常重要的作用。三角函数作为高中学生必修的基础知识，它不仅与物理学等其他学科门类的联系非常紧密，而且还与研究微积分、复数、参数方程等有关于数学知识的联系也非常紧密。而且，三角函数还有利于学生数学思维和数学能力的培养。这体现在，首先，在高中紧张的学习过程中，学生们先后学习了指数函数和对数函数等初等函数，在此之后，学生又必须掌握三角函数这又一重要的基本初等函数。三角函数的实际应用背景十分丰富，例如在现实世界中的波浪和四季的更替等都可以发现三角函数的影子。一般情况下，只要是存在于客观现实世界中的并且有关于周期性变化规律的事物，都可以借用三角函数来说明。所以，学习三角函数，有利于学生充分认识到三角函数和现实生活的联系，有利于学生体会数学在现实生活中的使用价值，有利于学生用数学思维分析事物，解决日常生活中的问题。其次，三角恒等变换不仅是一种数学运算，而且它也是在数学研究中公理化方法以及推理论证的实际应用。两角和差公式和二倍角公式等一系列公式的推导过程，不仅有利于学生了解知识之间存在的内在联系，而且有利于学生体验知识的发现、创造，形成过程。帮助学生更容易更便捷的理解知识，锻炼学生的推理能力和运算能力。三角函数还具备工具性，利用三角换元解决问题，并综合使用三角函数的图像和性质使得复杂问题简单化[2]。

2.三角函数变换中的几种常见类型

2.1“角”度变换。

三角函数中角度变换一般主要表现在差角、和角、半角和倍角、余角以及凑角、补角等之间相互转换。因此，角度变换在三角函数计算中起到了纽带和桥梁的作用。当然，在三角函数角度变换的同时，函数的运算符号、名和次数都起到一定的变化。在三角函数问题的求解过程中，表达式经常出现很多相异角，所以，一般要根据三角角度之间的关系（例如，和、差、半、补、余等等），用“已知角”来表示相应的“未知角”，然后再进行相应的计算，从而可以顺利的解决三角变换的问题[3]。

2.2函数名称的变换。

函数名称变换最常见的就是切割化弦。这种情况一般从化函数或者化形式这两方面着手。正弦和余弦这两个函数是六个三角函数中的基础，相比于其它四种，它们的应用非常广泛。第二就是正切。一般说来，在解答三角问题的过程中，经常出现各种不同的三角函数名称，在这种情况下，我们一般把不一样的三角函数名称变换成同名三角函数，这是我们最经常使用的函数名称变化方式：“切割化弦”和“齐次弦代切”。

2.3“形”的变换。

在三角函数化简、求值或者证明的运算过程中，经常根据相关要求将常数转化为相关的三角函数，然后再使用相关的三角函数公式对题目进行运算。在这些常数中，我们一般使用常数 1来进行三角函数的变换运算。一般在进行三角变换过程中，我们运算必须要遵循由繁到简和由简而易的规律。只有通过这种方法，我们才能在这么多的三角函数公式中找到相应的解题思路，从而最终明确解题目标，顺利解题。

3. 三角函数变换的几种常用解题方法

3.1把“弦函数”和“切函数”进行相互转换。

把“弦函数”和“切函数”进行相互的转换，是平常在解答三角函数问题中比较常用也比较基础的两种转换手法。例如，如果在三角函数式中有了正切函数，那一般能够利用三角函数间最基本的关系对问题进行解答和论证，或者是把“弦函数”变换为“切函数”来解答和证明。这种方法相对来说比较简单，而且学生使用起来也比较顺手。因此，在三角函数的解答中应用的比较广泛[4]。

3.2 “角”的等量代换。

我们解决三角函数问题的时候，要时刻注意到已知角和未知角之间的相互关系。我们要根据具体情况，决定何时应该使用拆角和拼角进行解题。例如，在三角函数中提供了已知角与未知角时，我们首先要判断它们两者之间的可能存在的关系。在确定了两者之间有了某种联系时，我们就开始使用“角”之间的等量代换进行运算。举例：α = （ α + β） - β = β - （ β - α） =（ α + β）/2+（β-α）/2。

因此，采用一些比较简单实用的“角”变换，可以把复杂题目简化成我们熟悉易懂的题目来求解。

3.3公式逆用以及变用。

在教学活动中，我们会经常面临一些在三角函数的解答过程中必须要对三角公式进行变用和逆用的相关问题。关于公式的变用和逆用，有许多学生很难掌握或者错误的运用，而使得解答错误。在这个方面我们就需要在教学中着重关注这些重点，并多给学生练习的机会，让学生熟练运用。

4. 总结

本文的论述主要是围绕着三角函数的概念和变换时会遇到的问题和解决方式来展开的。因此，整篇文章下来，三角变换的基本思想我们可以概括为：寻找差异、建立相关联系、选用公式和加紧转化这四种。最后，希望这篇文章可以对有需要的人有实际的帮助和作用。

【参考文献】

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007（5）.

三角函数变换规律篇3

（2）必修1后接着学习必修4有利于高一物理等学科的学习。新课程开始几年，我们按1-2-3-4-5顺序安排5个必修模块，结果发现学生在高一第一学期学习物理需要的三角函数和向量的知识，要在高一第二学期才能学习，从而造成物理老师上数学课的现象。然后我们成立课题组，通过对按1-2-3-4-5和1-4-2-5-3两种模式学科的不同年级进行全面跟踪研究后，发现后一种选课模式基本上解决了上物理课时数学知识滞后的问题，从而真正实现了新课程标准要求的“人人学会自己须用和会用的数学”的大众数学理念。

2. 第一章三角函数部分知识点教学设计与生成后的思考

（1）任意角的三角函数的概念。三角函数概念的发展前后经历了4000多年，就初、高中教材体系而言，首先初中是把正弦、余弦、正切定义为直角三角形的边长之比。因此，初中讨论“三角函数”仅限于三角形内的三角函数。它解决的问题限于平面图形相关的几何问题。由于我们不能把任意角的三角函数看成锐角三角函数的推广（或一般化），所以在高中学习的任意角三角函数内容应该是以函数的眼光对待，把对它的学习作为理解函数一些性质，如周期性。强调三角函数是用于刻画生产生活中周期性发生变化的一个经典模型。为了建立角度集合与实数集间的一个对应，教材引入了弧度制。接下来就用单位图给出了任意角的三角函数。教学中，大多数教师从给学生回顾初中锐角三角函数定义入手，然后让学生考虑如何将锐角三角函数推广到任意角三角函数，这样的方式会使学生觉得任意三角函数是锐角三角函数的一种推广。这样方法会有以下不足：①没有讲明高、初中学习的三角函数研究方法本质上不同，容易引起概念的混淆。②没有利用好单位图。其实单位图是函数周期性的一个很好体现，它是学生后续学习逐步认识三角函数周期性的重要模型。

理解三角函数概念我们要多视角，如几何的、代数的、解析的等。教师的教学也不能将三角函数概念理解局限于一节课，一个章节里，了解学生的学习更是一个循序渐进的过程，因而在整个单元教学中应做到反复重视学生对任意角的三角函数概念理解的情况，从而达到对函数概念理解的又一次升华。

（2）正弦函数，余弦函数的图象与性质。我们知道，实数集与角的集合之间可以运用度与弧度的互化建立一一对应关系。而一个确定的角又对应着唯一确定的正弦（或余弦）值，于是，给一个实数x，有唯一确定的值sinx （或cosx）与之对应，由这个对应法则所确定的函数y=sinx（或y=cosx）叫做正弦函数（或余弦函数），其定义域为R。

《必修4》在讲述三角函数后，将简谐运动作为正弦（型）函数图象的教学情景和应用。而普通高中物理课程标准在选修模块《选修3-4》才介绍简谐运动。显然，高一物理课程不讲授简谐运动，因此，高一第一学期教授学生三角函数时，将简谐运动作为正弦（型）函数图象的教学情景应用就不合适了。为此，我们采用圆周运动或教室里日光灯的电流强度随时间变化的规律作为教学的情景，因为它们的变化都呈现了周期性规律。

通过上述实验或例子，对正弦函数和余弦函数的图象形成一个较直观的印象后，我们运用单位图中的正弦线来画比较精确的正弦函数图象。在进行教学设计时，为了培养学生的学习能力和实践操作能力，首先我们课前设计了一个3～4分钟时间可播放完的“微视频”，将运用单位图中的正弦线画正弦函数图象分步展示给同学。在实验操作完备后展示给同学们课堂上集中观看“微视频”。当视频播放结束后，我们把预先设计好并打印的坐标纸发给每一个学生，给学生5分钟时间完成用单位图中的正弦线作y=sinx，x∈[0，2π]， 的图象。当时学生表现出十分高的学习热情。制图完成后抽样展示时发现都完成得十分认真。当老师再此提出如何获得y=sinx，x ∈R的图象时，绝大多数同学能回答出将图象左、右平移（每次2π个单位长度）即可。这都是前面的实验呈现出重复次数的周期性规律的成果。至于由y=sinx，x∈R的图象获得y=cosx，x∈R的图象，学生们还回答出通过单位图中余弦线或由公式cosx=sin，将y=sinx向左平移即得。

当然，这堂课的最后成果不仅仅是获得正弦函数和余弦函数的图象，而是从图象上观察出5个关键点决定正弦函数和与弦函数在长度为一个周期内的图象，如y=sinx，x∈[0，2π] 的图象上起关键作用的点为（0，0），（π，0），（2π，0），在精确度要求不太高时，找出了这五个点，再用光滑曲线连接，就可以得到函数的简图。这就形成了今后我们研究正弦（型）和余弦（型）函数图象简图的通法“五点法”。本堂课产生知识环节的教学设计是：实验―尝试―探究―提炼。四步骤体系新课程标准课堂教学以学生为本，以学生主动学习为本的理念。贯穿于教学全过程就是教师主体引导下的学生主体活动由浅入深地连续开展，更符合运用数形结合的手段研究函数的一般规律。

（3）函数y=Asin（？Ax+？渍）的图象。在A>0，？A>0的条件下，如何由y=sinx 的图象经变换获得y=Asin（？Ax+？渍）的图象呢？教材上在探究每种变换时，并没有用具体例子通过人工画图象后提炼规律，而是运用电脑软件――几何画板的功能代替了，这样过程令学生眼花缭乱，其变换规律难以体验到位。因此，在我们的教学中，对于每种变换我们均设计例子并引导学生在课堂上动手用五点法操作，然后再结合电脑动画进一步体验规律。这样的教学设计表面上因让学生动手操作花了一些时间而“降低了”课堂效益，其实际上经学生动手的过程体验而形成了理解性的知识规律，最后引导学生探讨“图象变换”法的具体过程。如何由y=sinx的图象经历平移变换和伸缩变换得到y=Asin （？Ax+？渍）的图象，每经历一部变换，五个关键点须作相应的变换，每一步变换却抓住了这五个关键点，得到的简图就可据“五点法”画出。这样学生不但掌握了研究这类函数图象的两类方法，而且了解了两类方法各自作用和互相联系性。

3. 教学后的启示与反思

（1）数学教师应该具有独立处理教材，研究并合理运用好教材的能力，而不是照本宣科。随着新课程改革向纵深发展，从传统的“教教材”到现在的“用教材教”理念的转变已经深入人心。教材仅是课程标准下提供给教师教学、学生学习知识的一个重要载体，但不是唯一载体。

在教学中，我们既考虑如何充分利用好教材，但又不能被教材所困。这就是需要吃透课程标准的前提下深入研究并发现学科知识本质的东西，尤其是考虑到“因材施教”，对于教材一些“启”而未“发”的内容，我们可考虑重新按认知观设计教学，教师做到对教材上一些概念、定理、公式、法则充分理解的前提下传授给学生。比如：在研究三角函数的单调性时，学生总是吃不透函数单调性概念必须指明在特定的区间上，二者不可分割。因此出现有的同学提出y=sinx，x∈R在第一象限内是增函数问题时，教师必须强调象限角不是区间角，二者不能等同。我以y=在（-∞，0）和（0，+∞）内分别是减函数，而不能讲y=在其他定义域内是减函数为例，考虑它的定义域已经不是独立的区间了。文章第二部分提到几个问题，也正好是体现了“用教材教”的理念。

（2）教学设计与生成应熟悉基本课型，规范操作须始终把学生的发展摆在首位。教学工作的主阵地是课堂。因此，学科教学能力是任何一个数学教师必须具备的基本能力。通常说教学有法，教无定法。所谓“有法”就是指教学应遵循一定教学规律与原则，每位数学教师应对新课程标准下高中数学教学基本课型“概念课”“习题课”“复习课”等进行系统梳理与探究，形成个人课堂教学的风格，而“教无定法”则是将其运用在具体课时进行教学设计与生成时做到“因时制宜”灵活使用。

如何在教师的教学工作中，始终将学生的发展放在首位？我想必须从以下几点入手：①在教学设计时教师必须站在教学者的角色上，按知识产生发展及生成的认知规律去思考教学的基本环节；②教学生成做到问题引入尽量给出合适的情景，探究知识过程中通过预设好适合的问题串，引导学生充分思考后步步为营朝知识产生的路径推进，切忌用师生交流替代生生间交流，培养学生学习过程中同伴互助的团队精神，以达到既学习到学科知识，又提升了学科学习的文化素养，从而形成较完美的学习过程。尤其是课堂结束时的总结，更适合在学生间的交流与对话中形成，从而全面培养学生的自主学习能力；③作为课堂学习的延伸，教师在布置学生课外作业时，一方面要做到基础性与综合性比例适当，重视课本习题在巩固知识与方法的基础作用和引领作用，对于教辅上的习题，必须做到适当的取舍，考虑到学生层次差异可布置适合每层学生发展的习题；另一方面必须留出时间给学生对明天学习内容的预习，必要时可给学生提供学习新知的自学提纲或突破知识学习重难点的“微视频”，以充分调动学生预习的灵动性，服务于明天的课堂。

三角函数变换规律篇4

考点1：同角三角函数间的基本关系式与诱导公式。

此类问题容易因忽视角所在象限而失分。此题考查同角三角函数的基本关系与二倍角公式难度中等。

考点2：三角函数的图象。

本考点在高考中，一个是考察利用图象求解析式或用待定系数法求函数的解析式，题目难度不大，但常与三角函数的性质结合起来，求解的关键是确定各参数的值，另一个是考察三角函数图象的平移、伸缩、相位变换，尤其是平移变换。

例2（2012年湖南卷）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0

考点3：利用恒等变换求值与化简。

利用恒等变换进行求值与化简，是每年高考必考内容，重点考察运用正、余弦函数的和、差角公式，正切函数的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、变形应用。从近几年高考趋势看，对于三角恒等变换求值与化简，高考命题以公式的基本运用、计算为主，在解题中一般有两个解题思路，一个是角的变化，即将多种形式的角尽量统一减少角的个数；二是"名"的变换，即三角函数名称的统一，要灵活利用公式，尽量实现切化弦，同时在实际解题时还要注意双管齐下，整体代换。

点评：在求三角函数值的问题中，要注意"三看"，即：一看角，把角尽量向特殊角或已知角转化；二看名，把三角函数中的切函数向弦函数转化，把多个函数名向一个函数名转化；三看式，看式子是否满足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式转化。

考点4：利用恒等变换研究函数性质。

在高考中，恒等变换常与三角函数综合起来，通过恒等变换，将三角函数式化为"单角单函数"的形式，来研究三角函数的性质。

点评：要注意到三角函数名或角的差异，合理运用公式，进行恒等变换，化为"三角单角函数"的形式，进而研究三角函数的性质。

三角函数变换规律篇5

一、教材分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书・数学必修4》（人教B版）第一章1.3.1《正弦函数的图象与性质》其中部分内容。作为函数，它是已学过的一次函数、二次函数、指数函数与对数函数、正弦函数的后继内容，也是三角函数的基本内容。因此，本节的学习在全章中乃至整个函数的学习中具有极其重要的地位与作用。

正弦型函数的图象变换是在学生掌握了三角函数的定义、三角函数线、诱导公式、五点作图的基础上进行的一节新授课，是学生对所学内容的巩固以及五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用。通过本节课熟练掌握五点作图和三种图象变换。

知识分为陈述性知识和程序性知识。正弦型函数的图象变换是学生对前面所学五点作图熟练程度的加深和三种图象变换的熟练应用和延伸，属于程序性知识。本节课通过图象变换具体案例的分析，发现变换规律，掌握变换规则，再提供适当的变式练习，以便让学生熟知规则适用的各种不同条件，让学生把静态的知识转化为动态的技能，从而形成程序性知识技能的熟练掌握。

二、学情分析

学生进入高中学习已经半年多，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方法和教师的教学方式，喜欢独立积极思考、喜欢小组探究、合作交流、有着较强的求知欲和好奇心。

本节课以学习自主课为先行，通过导学案预习本节课内容，通过图象的五点法作图，参数A、ω、φ的作用，并设置阶段性问题，使学生在学习过程中学会观察问题，研究问题，进一步自觉地总结问题，引导学生渐进式加深对图象变换的认知。

三、目标分析

1. 知识与技能目标

结合观览车的实例，了解周期、频率、初相的定义；掌握用五点法作y=Asin（ax+φ）的简图，并通过作图过程明确A、ω、φ对函数图象变化的影响，概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律，并用图象变换画出函数y=Asin（ax+φ）的图象。

2. 过程与方法目标

通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，体会数形结合以及从特殊到一般的数学思想，锻炼从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。

3. 情感、态度、价值观目标

通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识；领悟物质运动具有规律性的哲学思想；唤起学生追求真理、乐于创新的情感需求，引发学生渴求知识的强烈愿望，树立科学的人生观、价值观。

四、本节课的教学重点和难点

教学重点：考查参数A、ω、φ对函数图象的影响，理解并能形成由y=sinx的图象到y=Asin（ωx+φ）的图象程序性变换过程。

教学难点：发现与概括A、ω、φ对y=Asin（ωx+φ）的图象影响的规律是本节课的难点，再者是变换时，图象的平移量和伸缩过程为本节课教学难点。

五、过程分析

1. 设置情境

通过课本中的观览车问题引入正弦型函数y=Asin（ωx+φ），那么，这个函数的图象怎样作？图象与y=sinx的图象有什么关系呢？参数A、ω、φ对函数有什么样的影响？提问这些问题，激发起学生讨论学习的兴趣，并初步形成结论。

2. 讨论例1-例3，分别明确A、ω、φ对函数图象变化产生的影响

学生展示，教师引导补充得到结论：

（1）函数y=Asinx（A>0且A≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0

（2）函数y=sinωx（ω>0，ω≠1）的图象可以看作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0

（3）函数y=sin（x+φ）的图象可以看作是把 y=sinx 的图象上所有的点向左（当φ>0时）或向右（当φ

【设计意图：展示学生通过五点作图法做出的三个函数图象，引导学生通过图象对比观察两个图象的异同点。进一步提出问题：函数y=Asinx （A>0）、y=sinωx（ω>0，ω≠1）、y=sin（x+φ）的图象与y=sinx的图象有什么关系？】

3. 讨论例4正弦型函数y=sin（2x+■），对比图象，探究变换过程

作出函数y=sin（2x+■）的简图问题1：观察对比 y=sinx、 y=sin2x与y=sin（2x+■）图象，思考：如何由函数y=sinx的图象通过变换得到函数y=sin2x和y=sin（2x+■）的图象？y=sin（2x+■）可否进一步变换到y=3sin（2x+■）？是否有其他变换过程？

（1）提出问题，小组讨论，并由学生提出问题：如何由函数y=sin2x的图象通过变换得到函数y=sin（2x+■）？对此问题，笔者的设计意图是激发兴趣、提出问题、构建平台。

①学生在进行此变换时，可能会类比例3：“左移■个单位长度”，但是通过“五点作图法”画图进行对比，最后发现这样做是错误的，从而激发他们强烈的好奇心和求知欲，提出（下转第87页）（上接第83页）问题，当疑问被抛出后，有一部分已经注意并解决此问题的同学，通过课堂展示，试图解释此问题，由此推动本问题的探究，掀起本节课的一次高潮，而探究的过程就伴随评价的过程，教师在每一个环节中，引导学生自评、互评，并通过教师的激励性评价，激发学生的学习热情。

②探究本质、寻求关键点。当学生找到此题的答案后，自然就会思考这个问题的一般性结论是什么？解决的关键点是什么？通过练习题，分析得出一般规律时，引导学生着眼x的变化，把ωx+φ变形为ω（x+■），因此，从y=sinωx到y=sin（ωx+φ）的变换过程就是把x变成了x+■，这就是解决问题的关键点。

（2）由函数y=sinx的图象是否有其它方法变换得到函数y=sin（2x+■）的图象？

y=sinxy=sin（x+■）y=sin（2x+■）

先进行平移变换，再进行周期变换时，初相改变吗？函数图象变换时，变换的主体始终是自变量x，抓住这一要点，难点迎刃而解。

【设计意图：第二种变换方法难点在于初相在周期变换中是否受到影响，首先引导学生观察例3函数y=sin（x+■）的图象，并对比与函数y=sin（2x+■）的横坐标的关系，让学生从感性上认识到变换的过程；再从函数的观点出发，强调自变量的主动权，故而，学生对此问题的认识从感性上升到理性，深刻认识这一变换的实质，突破了这节课的难点】

4. 课堂练习

（1）要得到y=sin（2x+■）的图象只需将y=sin2x的图象（ ）

A. 向左平移■个单位 B. 向右平移■个单位

C. 向左平移■个单位 D. 向右平移■个单位

（2）已知函数y=3sin（x+■）（x∈R）的图象为C：

①为了得到函数y=3sin（x+■）（x∈R）的图象，只需把C上所有的点（ ）

A. 向左平行移动■个单位 B. 向右平行移动■个单位

C. 向左平行移动■个单位 D. 向右平行移动■个单位

②为了得到函数y=3sin（2x+■）（x∈R）的图象，只需把C上所有的点（ ）

A. 横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

B. 横坐标缩短到原来的■倍，纵坐标不变

C. 纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变

D. 纵坐标缩短到原来的■倍，横坐标不变

（3）说明由函数y=sinx的图象经过怎样的变换就能得到下列函数的图象（两种方法）：

①y=sin（2x-■）； ②y=■sin（■x+■）

【设计意图：让学生进行自我练习，进一步熟悉本节课所学内容，形成程序性步骤，达到熟练程度。】

5. 课堂小结

提出问题：会用五点法做正弦型函数图象了吗？

由y=sinωx的图象到y=Asin（ωx+φ）的图象，会进行变换了吗？有几种方法？

【设计意图：让学生通过问题进行自我总结，使本节课学到的知识上升到方法的层面，便于总结记忆。】

三角函数变换规律篇6

一、三角函数的化简、求值、求最值

三角函数式的化简、求值及求最值是高考考查的重点内容之一 通过三角函数学习使学生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，优化学生的解题效果，做到事半功倍。

求值问题的基本类型及方法：①“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解；②“给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③“给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角；④化简求值。

.

三角函数的化简、求值及求最值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。

二、三角形中的三角函数，即解三角形

分析近几年的高考试卷，有关解三角形的问题几乎是每年必考内容.试题主要是考查正、余弦定理及其变式或推论的内容及简单应用。解三角形的关键是在转化与化归的数学思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式及三角形内角和等公式定理。

评注：三角函数与解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现。这类题型难度比较低，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变。解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化。

三、三角函数与其他知识交汇的设计题和应用题

此类问题主要考查与三角函数有关学科内综合问题，如与平面向量、不等式、数列、解析几何等相结合，多为解答题，考查三角函数实际应用。对待应用题没有什么通解通法，只要认真读题、审题，合理分析已知量间的关系，总是能够解决问题。解决三角应用题的关键是认真阅读题目，正确理解题意，运用所学知识建立适当的三角模型，准确无误的计算等，其基本步骤如下：

第一步，阅读理解，审清题意。读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字途径，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题。

第二步，搜集整理数据，建立数学模型。根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型。

第三步，利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予解答，求得结果。

三角函数变换规律篇7

1. 点的平移规律：

当点P（x，y）沿x轴方向左右平移到A时，只能给x带来变化，即A；其中右移h为正，左移h为负；

当点P（x，y）沿y轴方向上下平移到B时，只能给y带来变化，即B（x，y+k）；其中上移k为正，下移k为负.

点的对称规律：

当点P（x，y）关于x轴对称到点A时，只能给y带来变化，变为y的相反数，即A（x，-y）；

当点P（x，y）关于y轴对称到点B时，只能给x带来变化，变为x的相反数，即B（-x，y）；

当点P （x，y）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即C （-x，-y）.

以上变换规律不但适用于点的变换，而且对于一次函数、反比例函数及二次函数图像的变换均成立与适用.

2.函数图像的平移规律：

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿x轴方向左右平移时，只能给自变量x带来变化，即y=k（x-h）+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=a（x-h）2+b（x-h）+c（a≠0）；其中右移h为正，左移h为负；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）沿y轴方向上下平移时，只能给函数y带来变化，即y=kx+b+m（k≠0）、y=+m（k≠0）、y=ax2+bx+c+m（a≠0），其中上移m为正，下移m为负.

函数图像的对称规律：

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于x轴对称时，函数y变为y的相反数，即y=-kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2-bx-c（a≠0）；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于y轴对称时，自变量变为x的相反数，即y=-kx+b（k≠0）、y=（k≠0）、y=ax2-bx+c（a≠0）；

当直线y=kx+b（k≠0）、双曲线y=（k≠0）、抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）关于原点中心对称到点C时，能给x、y都带来变化，都变为x、y的相反数，即y=kx-b（k≠0）、y=（k≠0）、y=-ax2+bx-c（a≠0）.

二、平面直角坐标系内点、函数图像的变换技巧与拓展应用

例1：阅读下面的材料：

在平面几何中，我们学过两条直线平行的定义.下面就两个一次函数的图像所确定的两条直线，给出它们平行的定义：设一次函数y=k1x+b1（k1≠0）的图像为直线l1，一次函数y=k2x+b2（k2≠0）的图像为直线l2，若k1=k2，且b1≠ b2，我们就称直线l1与直线l2互相平行.

解答下面的问题：

（1）求过点P（1，4）且与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，并画出直线l的图像；

（2）设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，如果直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行且交x轴于点C，求出ABC的面积S关于t的函数表达式.

思路点拨：在（1）中，要求出与已知直线y=-2x-1平行的直线l的函数表达式，关键在于弄清直线的平移情况.因已知直线平移后经过点P（1，4），不防设一个点M（1，a），通过代入求出a的值，进而确定出平移的方向和单位长；在（2）中，因直线m：y=kx+t（t＞0）与直线l平行，可知k=-2，进而用有关t的代数式表示出C点的坐标，此时要分类讨论点C的位置，要分两种情况借助面积公式求解出有关面积S关于t的函数表达式.

解析：（1）点M（1，a）是已知直线y=-2x-1上的一点，将x=1代入已知直线得a=-2×1-1=-3，则M（1，-3）平移到P（1，4），是沿y轴向上平移7个单位，即y=-2x-1+7，化简得直线l的函数解析式为y=-2x+6；

（2） 直线l分别与y轴、x轴交于点A、B，点A、B的坐标分别为（0，6）、（3，0）.

l∥m，直线m为y=-2x+t.C点的坐标为（，0）.

t＞0，＞0 .

C点在x轴的正半轴上.

当C点在B点的左侧时，S=×（3-）×6=9-；

当C点在B点的右侧时，S=×（-3）×6=-9 .

ABC的面积S关于t的函数表达式为：

S=9-（0＜t＜6），-9（t＞6）.

评注：平移法则是：当函数的图像向上或向下平移时，原函数的函数值y变为y+k，其中上移k为正数，下移k为负数，而自变量不变.

例2：如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．

（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；

（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．

①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；

②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．

思路点拨：在（1）中，使AQ+QB最短，必须满足两点之间线段最短，即作出B关于x轴对称点P的坐标，进而可知线段AP的距离最短，再求出直线AP与x轴的交点从而得到Q点的坐标；在（2）中，抛物线在平移过程中A、B两点的位置、数量大小关系并没有改变，改变的仅是它们的坐标，要使距离仍然最短，只是将点Q向左平移到点C，从而得到抛物线左移的距离，运用平移规律求解抛物线的解析式，使四边形A′B′CD的周长最短，要进行分类考虑左移与右移.

解析：（1） 将点A（-4，8）的坐标代入y=ax2，解得，将点B（2，n）的坐标代入，求得点B的坐标为（2，2），则点B关于x轴对称点P的坐标为（2，-2）．

直线AP的解析式是y=-x+，令y=0，得x=．即所求点Q的坐标是（，0）.

（2）①抛物线上A、B两点的位置已确定，要使A′C+CB′ 最短，也就是让点Q沿x轴向左平移到点C，其中CQ=|-2-|=，即将抛物线y=x2向左平移个单位时，A′C+CB′最短.

此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=・（x+）2．

②左右平移抛物线y=x2，因为线段A′B′和CD的长是定值，所以要使四边形A′B′CD的周长最短，只要使A′D+CB′最短.

第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A′D+CB′＞AD+CB，因此不存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短．

第二种情况：设抛物线向左平移了b个单位，则点A′和点B′的坐标分别为A′（-4-b，8）和B′（2-b，2）.因为CD=2，因此将点B′向左平移2个单位得B′′（-b，2），要使A′D+CB′最短，只要使A′D+DB′′最短．点A′关于x轴对称点的坐标为A′′（-4-b，-8），直线A′′B′′的解析式为y=x+・b+2，要使A′D+DB′′最短，点D应在直线A′′B′′上，将点D（-4，0）代入直线A′′B′′的解析式，解得b=．故将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短，此时抛物线的函数解析式为y=[x-（-）]2，即y=（x+）2.

评注：平移法则是：当函数的图像向左或向右平移时，原函数函数解析式中的自变量x变为x-h，其中右移h为正数，左移h为负数，而函数值不变.

例3：如下页图，已知抛物线C1：y=a（x+2）2-5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．

（1）求P点坐标及a的值；

（2）如图（1）：

a.若将抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，试写出旋转后抛物线的解析式；

b.抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；

（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4. 抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标．

思路点拨：将点B（1，0）代入C1的解析式能快速地求出a的值；在（2）中，抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，则说明变量x、y都变为相反数；当点P、M关于点B成中心对称时，要求出C3的解析式关键是求出顶点M点的坐标，而B点坐标为（1，0），利用对称性及通过添加适当的辅助线、全等知识等可得顶点M（4，5），且抛物线C3开口向下，运用顶点式便可求出C3的解析式；在（3）中，抛物线C1绕点Q旋转180°后得到抛物线C4 .其实就是P，N关于点Q成中心对称，根据对称性可设字母m表示出N、E、F等各点的坐标，探究以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，要进行适当的分类考虑：三个角都有为直角的可能，再利用相关的勾股定理等确定其中所设字母m的值，进而求出Q点的坐标.

解析：（1）由抛物线C1：y=a（x+2）2-5得顶点P（-2，-5）.

点B（1，0）在抛物线C1上，0=a（1+2）2-5，解得a= .

（2）a：抛物线C1绕点O顺时针旋转180°，先自变量x变为y=（-x+2）2-5，函数值y变为y=-（-x+2）2+5；

b：连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G ，点P、M关于点B成中心对称.

PM过点B，且PB=MB，PBH≌MBG，MG=PH=5，BG=BH=3.

顶点M的坐标为（4，5）.

抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到.

抛物线C3的表达式为y=-（x-4）2+5.

（3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180°得到顶点N、P关于点Q成中心对称， 由（2）得点N的纵坐标为5.

设点N坐标为（m，5），作PHx轴于H，作NGx轴于G，作PKNG于K，旋转中心Q在x轴上，EF=AB=2BH=6，FG=3.点F坐标为（m+3，0），H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5）.

三角函数变换规律篇8

学生已经学习了y=sinx的图象和五点作图法，并且具有了一定的画图能力，但是学生对于ω、φ对图象带来的影响在理解上有一定的难度.为此让学生通过动手画图，在实际的操作过程中体会并发现对应变化点的坐标之间的联系，从而理解变换的实质.

三、 教学目标

1.知识目标：利用“五点法”作图，使学生掌握y=sinx与y=Asin（ωx+φ）的图象的变换规律.

2.能力目标：通过对函数握y=sinx到y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的探索使学生体会由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，培养学生归纳分析、解决问题的能力.

3.情感目标：通过对问题的探究，培养学生独立解决问题的能力，并通过分组合作提高学生的合作意识.

四、教学重点、难点

1.函数y=sinx与y=Asin（ωx+φ）的图象的变换过程；

2.参数ω、φ对y=Asin（ωx+φ）的图象的影响.

五、 教学设计理念

根据“问题探究教学”的教学模式，教学过程以“探究――归纳――应用”为主线，给学生创设问题情境，使学生通过自主探究，在大量的数学活动中去体会和发现问题的实质，激发学生的成就感.

六、 教学手段

利用课件，通过多媒体演示形象直观地为学生提供更感性的材料有利于重难点的突破.

七、教学过程

1.复习回顾，如何在直角坐标系中画出正弦曲线？

设计意图：让学生回忆“五点作图法”，为后面的学习做好准备.

2.创设情境，启发诱导，探索规律

将学生分为三个小组，分组合作探讨下列图象的变换过程.

问题一：在同一直角坐标系中画出y=sinx，y=2sinx，y=12sinx的图象（如图1所示），并寻找三个图象的区别和联系.

问题二：在同一直角坐标系中画出y=sinx，y=sin（x+π3），y=sin（x-π3）的图象，并寻找三个图象的区别和联系.

问题三：在同一直角坐标系中画出y=sinx，y=2sin2x，y=sin12x的图象，并寻找三个图象的区别和联系.

分组汇报研究成果，用课件展示，学生分析并回答参数A、ω、φ分别对函数y=sinx造成的影响，得出结论并将其一般化.

设计意图：互动探究将参数A、ω、φ对图象变换的影响进行分解，让学生结合图象体会变换

问题四：通过“五点作图法”画出y=sin（x+π3）与y=sin（2x+π3）的图象，并探索两个图象之间的关系，汇报研究成果，理性思考函数图象之间为什么有这样的关系.

设计意图：学生通过填表，将ω、φ对图象的影响进行分解，让学生体会ω对图象的影响，并着重分析“先平移后伸缩”的变换过程.用课件展示图象.

学生得出结论并将其一般化：所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1ω倍.

问题五：利用“五点作图法”在同一直角坐标系中画出y=sin2x与y=sin（2x+π3）的图象，并探索两个图象之间的关系，汇报研究成果，理性思考函数图象之间为什么有这样的关系.

设计意图：学生通过填表，将ω、φ对图象的影响进行分解，让学生体会φ对图象的影响，并着重分析“先伸缩后平移”的变换过程.用课件展示图象.

学生得出结论并将其一般化：所有点的纵坐标不变，横坐标向左（右）平移|φω|个单位长度.

问题六：总结填表y=sinxy=Asin（ωx+φ） （其中A>0，ω>0）的变换过程.

（1）五点法作图；（2）利用图象变换作图.

2. 用参数思考探究y=Asin（ωx+φ）的图象变换过程.

三角函数变换规律篇9

新课标卷高考数学文理科试题差异明显，文科注重考查基础知识，理科则是知识与能力考查并举；试题的呈现形式灵活多样，没有固定的模式；分值大致稳定在20分左右，必做题15分左右，选做题5分左右；在第（17）题出现三角函数题，一般都会对学生的个性品质和心理素质进行考查。

二、新课标下三角函数试题的考点追踪

1.三角函数的概念、图象与性质

三角函数的定义，五点法作图，图象变换，根据部分图象求函数解析式；值域（最值），周期性，奇偶性，单调性，图象的对称性；含有参数的三角函数问题；在知识交汇处命题，综合性较强，思维含量较高，需要仔细审题，方可准确解答。

2.三角恒等变换

恒等变换是三角函数的核心内容，是高考的热点，每年必考。试题灵活性大，能力要求较高。常常以三角函数式的化简、求值形式出现，常与三角函数的图象、性质结合，也与解三角形联系在一起考查。考查同角三角函数的基本关系式，诱导公式，两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式及其变形应用。

3.三角形中的三角函数问题

这类题常考常新，亮点纷呈。常以三角形为载体，考查正、余弦定理，三角形面积公式，平面几何中重要的定理，三角公式的灵活运用，凸显三角函数的实用性。在（17）题中出现时，已成为解答题能否取得高分的分水岭，与以往的三角题相比，突出思维含量，减少了运算量。对恒等变换、逻辑推理、数据处理以及遇到障碍时绕过障碍重新选择思路等方面的能力要求较高，同时还有函数与方程思想，考生的个性心理品质的考查。

点评：三角形面积最值的求解策略基本有两种方法：建立函数模型求解，利用不等式求解。法一通过解三角形，建立关于三角函数模型，利用三角函数的性质求最值，渗透函数思想；法二借助于基本不等式来求最值，不失为上策。

考情汇总：2007至2015年均可见到解三角形问题，选择题、填空题、解答题中都出现过。

4.坐标系与参数方程

新课标下对三角函数的考查也经常出现在三选一的解答题（23）题中，也是大多数考生首选的题。常见曲线的参数方程，极坐标方程都与三角函数紧密相关，一般考生能顺利解答第一问，第二问就比较困难。若能准确理解参数方程中参数的几何意义，极坐标方程的意义，充分发挥三角函数的工具性作用，则可以轻松求解，稳妥得分。

点评：这两道题都涉及了求两动点之间距离的最值问题，例5利用椭圆的参数方程借助于三角函数求最值；例6只需要将曲线C1的普通方程化成极坐标方程θ=α（ρ∈R，ρ≠0），利用极坐标方程求解显得简便。

考情汇总：2007至2015，每年在（23）中均出现，而且灵活性越来越大，不是想象的送分题了，解答须谨慎。

三、备考建议

三角函数变换规律篇10

解决三角函数的问题，角的转化是常见类型，虽然常见，但却包罗万象，有倍角、半角、和角、差角、凑角、余角、补角等等，通过角的变换这一纽带，转变函数的运算符号和名称，或是次数，促使问题简单化、“已知化”，通过转化顺利求解原问题.在解决具体问题时，应注重拆和拼的技巧.如α=（α+β）-β=β-（β-α）=α+β2-β-α2.

例1已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα.

评析我们可以将角进行转换：β=α+β-α；2α+β=α+β+α.从3sinβ=sin（2α+β）这一已知式出发，得到3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），再由此出发进一步推导就可以得证.

2.“名称”变换

在学习中经常会遇到名称不同的三角函数，为此“名称”变换是三角函数问题中最常见的类型.首先应将其转换成同名的三角函数，“切割化弦”、“齐次弦化切”是我们高中数学最为常见的函数名称转化策略，突破口在于“化函数”或者是“化形式”，从三角函数常见性来看，“正弦”和“余弦”的应用最广，是三角函数的基石，“正切”也很常见.

例2（江苏卷・2010年）锐角三角形ABC中，三个顶角A，B，C对边分别为a，b，c，若已知ba+ab=6cosc，则tanCtanA+tanCtanB=.

评析三角函数与解三角形相结合.从要求的式子着手，将切化弦，变形成sin2CsinAsinBcosC，将原式用正弦定理转化为sinAsinBcosc=16（sin2B+sin2A）代入化为6sin2Csin2B+sin2A，再将原式用余弦定理化为a2+b2=32c2即可求得答案.此题作为2010年江苏高考填空13题相对要求较高，但是都属于三角及解三角形的常规题型的结合.

例3（全国卷・2013）设θ为第二象限角，若tan（θ+π4）=12，则sinθ+cosθ=.

评析本题可先通过计算tanθ然后借助角的范围确定sinθ与cosθ.

3.“形”变换

从具体的三角函数问题来看，运算过程中需要将代数式中的常数进行变换，最常见就是转化常数“1”.

例4（辽宁高考文科・2009）已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）.

A.34 B.54 C.-34 D. -54

评析从已知条件分析可以看出这一考题需要进行“名称变化”（弦化切）和“形变换”（将分母“1”化为sin2θ+cos2θ）.

例5已知tanθ=2，求值：

（1）sinθ-cosθsinθ+cosθ； （2）sin2θ-cos2θ.

常规思想：利用同角三角函数的关系，求出sinθ，cosθ，但是由于θ在一、三象限，所以还要分类讨论，比较麻烦.

简便思想：（1）分子分母同除以cosθ，转化为tanθ-1tanθ+1；

（2）“1”的代换，最终转化为tan2θ-1tan2θ+1.

二、高中数学复习建议

高中数学复习尤其是高三时间紧、任务重，没有科学的复习方法，难以帮助学生形成有效的联结，透过上述三角函数变化问题，笔者认为高三复习应注重以下几点：

1.科学制定计划，确保复习思路清晰化

既然时间紧，那么我们的复习思路必须清晰，确保走好每一步，应将一类问题放到一块，提高专题训练选题的科学性，站在学生的视角，通过问题的呈现形式差异将知识点、方法囊括进来，将复习课上成是引导学生自主应用规律和方法解决实际问题的探究课，通过具有联系问题的解决，实现方法和技能的沉淀.例如上文中三角函数变化的方法，通过具体的例题进行训练.

2.注重讲评策略，形成有效的知识网络

（1）重基础、勤应用.我们学生之所以在解题时出现障碍，其根本原因在于基础不牢.学习有一个从认识到理解再到应用的过程，对于复习而言，首先就应该引导学生顺利完成基础知识、基本方法的复认.如何复认和回忆呢？笔者在高三复习教学中通常是设置具体的问题情境（例题），学生分析例题、解题的过程是应用知识的过程，实现知识、方法的复认与应用同时施展.

三角函数变换规律篇11

一、通过图像分析正弦函数性质

1.在由正弦函数线做正弦函数曲线的过程中，明确了y=sinx的最小正周期为之后，常用作图方法即五点作图法画正弦函数曲线。所谓的五点本质上是图像的最高点、最低点以及函数图像和x轴的交点。在正弦函数中这五点分别是（0，0），（，1），（π，0），（，-1），（2π，0），用圆滑的曲线把它们连接起来就可以得到正弦函数y=sinx一个周期的图像。然后再根据函数的周期性向左右两个方向再画几个周期的图像方便观察图像的规律。如下图：

2.通过分析正弦函数的图像特点，可以很容易得到正弦函数y=sinx的其它性质

（1）定义域

函数的图像是向左右两个方向无限延展的，所以正弦函数的定义域是。

（2）值域

函数图像呈波浪形，具有周期性。函数图像最高到达1，最低到达-1，并且函数图像是连续的，可以确定函数的值域是[-1，1]。从函数图像可以看出函数具有周期性，所以正弦函数有无数个极值点。距离y轴最近的最高点（，1）即当x=时，y取最大值1。根据正弦函数的周期性可以表示出取最大值时所有的x的取值，即当y=1时，x=+2kπ，k∈Z。同样的方法就可以写出函数取最小值即y=-1时，x=-+2k，k∈Z。

（3）对称轴

由正弦函数图像的最高点或者最低点向x轴做垂线就会发现函数的图像会关于垂线对称。也就是说正弦曲线有无数的对称轴，且相邻的两个对称轴的间距为π即对称周期为π。用一条距离y轴最近的对称轴x=做参考，根据对称轴的周期性得正弦曲线的对称轴x=+k，k∈Z，k的每一个取值对应一个对称轴。

（4）对称中心

由中心对称的定义，正弦曲线与x轴的交点都是它的对称中心，坐标可以统一表示为（kπ，0）k∈Z。因为坐标原点也是对称中心，所以正弦函数是奇函数。

（5）单调性

根据单调增函数图像上升和下降的特征规律，确定是正弦函数的一个单调增区间。把这个单调增区间向左右两个方向平行移动个单位它恰好和正弦函数的其它增区间完全重合。根据正弦函数增区间的规律可以表示出正弦函数所有的单调增区间 k∈Z，k的每一个取值就对应一个增区间。同样表示出正弦函数所有的单调减区间 k∈Z。

二、利用正弦函数的图像和性质解决有关y=Asin（ωx+φ）的问题

解三角函数不等式。

例题：已知f（x）=3sin（2x+），f（x）>6，求x的取值范围。

解析：由题目条件可知3sin（2x+） >6，即sin（2x+） >

用换元法令X=2x+，即可得到sinX>.结合正弦函数y=sinX的图像

找到sinX>对应的图像位于在直线y=的上方不包含于y=sinx的交点。先写

出距离y轴最近的一个区间

2.求三角函数单调区间

例题：已知函数f（x）=sinx+cosx，求函数f（x）的单调增区间。

解析：通过所学把函数f（x）变形f（x）=sinx+cosx=

所以f（x）=sin（x+）。我们令X= x+，函数变为f（x）=sinX。

根据正弦函数曲线可以得到距离y轴最近的一个增区间-

3.给定区间上三角函数的值域的问题

例题：已知函数f（x）=sinx（cosx-），求函数f（x）在的值域。

解析：首先化简函数f（x）=sinx（cosx-）=sin（2x+）-，

三角函数变换规律篇12

一、有效实现数形结合教学

几何画板在实际教学中的功效有很多，最直接的一点就是能够很好的实现数形结合的教学。数形结合思想是一种非常经典的数学思想，让学生对于这一思想有良好掌握，这也是实际教学中很重要的一个教学目标。对于刚刚系统的接触几何知识的学生而言，学生首先需要实现的是对于很多图形的特点有良好认知，并且能够对于图形的性质、变化特征等慢慢有较好的掌握。这个过程中教师可以很好的让数形结合的思想发挥其效用，而几何画板则能够轻松的让这个教学过程得以实现。几何画板不仅能够清晰的呈现各种几何图形，最为重要的是它能够很好的呈现各种图形的性质与变化，并且让学生直观的感受到数与形之间的联系。这便是数形结合思想的一种良好渗透，这也是几何画板在实际教学中所能够发挥的非常重要的效用。

数学学习进入初中阶段后，学生们会慢慢接触到一些新的知识，对于很多知识点的认知也会逐渐产生变化。初中数学中由于变量与函数概念的引入，标志着数学由初等数学向变量数学的迈进。它改变了以往数、式等常量的形式，使学生思维发生了质的变化。学生一开始往往会对于涉及到函数的内容较难理解。然而，在课堂教学中运用“几何画板”构建数形结合的情境，就能让学生非常轻松地理解函数图象。例如，在教授一次函数时，为了更直观、生动地展示函数与其图象之间的关系，我用描点法画出函数图象后，可以利用几何画板演示函数图象的生成过程。这便是一个非常典型的数与形之间的结合，这也是几何画板在实际教学中的效用的体现。教师要善于利用几何画板来辅助知识教学，这对于课堂教学效率的提升会是很大的促进。

二、探索几何图形的基本规律

几何画板的另一个很重要的功效在于，它能够帮助学生们探寻很多几何图形的基本规律，这将会夯实学生的几何基础，让学生对于很多内容有更深入的理解与掌握。在几何知识教学的初期，教学的重点主要是让学生们对于一些典型图形形成良好认知，尤其是要对于图形的特点、性质以及一些规律有较好的掌握。教师如果仍然是沿用传统的教学模式，学生对于图形的认知会非常浅显，对于知识的掌握程度也不够深入。然而，有了几何画板后这一问题则会极大的得到改善。在几何画板的辅助下图形的特点、规律等会非常清晰的得以呈现，学生对于很多内容也会有更直观的获知，这样才能够保障学生对于教学知识点有更透彻的理解与掌握。

几何图形变成动态的图形对几何概念教学的贡献是非同寻常的，由一个静止的图形到引入“无数个图形”，几何画板对几何教学注入了无限的活力，教师可以在“动”中教，学生可以在“动”中学。例如：学生在学习三角形的高时，常常局限于高在三角形的内部，对高在三角形的外部理解起来感到困难。想要化解这个问题，教师可以灵活的利用几何画板制作三角形的高，拖动点A，使高AD慢慢从三角形内部运动到三角形的外部，反复几次，学生自然就会领悟。这是一个很典型的教学范例，很生动的向我们呈现了几何画板的使用过程以及发挥的教学效果。教师只有善于利用几何画板才能够让知识教学的效率得到更大提升。

三、方便几何图形的灵活变换

在几何知识的教学中，一个非常典型的教学难点便是，如何让学生掌握图形的一些基本变换规律，这是对于学生思维能力的一种考察。图形的变换是很重要的教学知识点，这个教学过程也是对于学生空间想象力的一种良好构建。很多学生在这方面的能力都较为欠缺，很难理解与想象图形的一些变换过程。有了几何画板后则能够极大的化解这一问题。教师可以在几何画板中清晰直观的给学生呈现图形变换的整个过程，帮助学生在头脑中构建图形变换的规律。这不仅很好的化解了知识教学的难点，也能够对于学生思维能力的发展与构建提供有效推动。

三角形的旋转是数学旋转变换中最基本的形式，这一知识点对于初次接触的学生而言也存在一定的理解障碍。教师可以借助几何画板来辅助这一知识的教学，可以在几何画板中完成这一变换过程：先做出三角形ABC，再做一个圆0，在圆上取点D、E，依次选定DOE为标识角度，另取一点F作为旋转中心；接着选定三角形ABC，点击几何画板菜单中的变换、旋转则出现它的旋转图形；最后依次选定D、E点，点击菜单中的编辑、操作类按钮、移动。接着连接F与图形中的各点，把线段设置为虚线。点击动画，或者直接托动点D或点E即可。透过这个演示过程，学生很好的看到了图形的变换过程，这也是对于学生自身的思维过程的一种启发。

总之，几何画板在初中数学课程的教学中能够发挥非常重要的教学辅助效果。几何画板能够让学生更直观的感受到数与形之间的结合，并且能够让学生感受到图形的特点、规律以及变换方式。这不仅能够很好的化解一些教学难点，也能够深化学生对于相应知识的理解与掌握程度。

【参考文献】

[1]张艳棉.几何画板辅助初中数学教学的设计研究[J].学生之友（初中版）（下）.2011（07）

三角函数变换规律篇13

三角函数教学的内容、教学目标及教学方法不断发生着变化，而且在我们的日常生活中具有越来越重要的作用.下面让我对高中三角函数教学的心得体会、反思以及三角函数在我们日常生活中的作用做一些详尽的介绍.

一、三角函数教学的心得体会

1.要特别关注和留意教材与大纲内容的变化.认识这一变化，我们才能有目标地学习，了解教学的深度、难度和广度，避免复习中做一些无用功.

2.关注教材编写的新颖之处.

3.强化几何思想，加强几何直观.

4.加强了数学建模的思想.把三角函数作为描述真实生活的数学模型，首先展示大量的背景材料，再分析、概括、抽象，建立模型来解决问题.数学生活化，更容易调动学生的学习积极性.

5.高科技设备的引入和应用.把学生从烦琐的计算中解脱出来，并利用信息技术探索数学规律.

二、三角函数的教学反思

关于三角函数的教学，应注意以下问题：

1.数学知识生活化.让学生自主积极地将数学与生活联系起来，使学生体会三角函数模型的意义.

2.弧度是学生比较难接受的概念，教学中应使学生体会弧度也是一种度量角的单位，可在后续课程的学习中逐步理解这一概念，在此不作深究.

三、对学生的要求

学生一定要注重三角函数中的基础知识及应用知识.要对三角函数的图像、周期性、单调性、奇偶性、对称性、化简、求值和最值等重点内容熟练掌握并加以运用.将三角函数与代数、几何、向量的关系加以联系总结，相互融通.在三角函数的学习中比较重要的就是注重知识的总结.

1.熟悉三角变换常用的方法——化弦法、降幂法、角的变换法等，并能应用这些方法进行三角函数式的求值、化简、证明.

2.深入探究正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像性质及对平移变换、伸缩变换的意义.

四、学习三角函数的策略

1.了解差别：深入探究角、函数运算间的差别，即进行所谓的“差异分析”.

2.寻找相关性：通过公式间的相关性，找出差异之间的内在联系.

3.恰当转化：选择合适公式，使得差异转化.

五、三角函数知识的意义和影响

三角函数知识对于锻炼学生思维，培养学生数学思想方面发挥着重要作用.

1.培养学生的函数与方程思想