探索平行线的条件篇1

过程与方法：

通过“转动木条”的活动锻炼学生观察、想象、思考的能力。在学生亲自动手操作、合作交流中直观认识“同位角相等，两直线

平行”。

情感态度与价值观：

让学生在自主探究活动中积极投入认真思考，并与同伴合作交流，尝试成功的快乐，激发学生的探究意识及学习积极性。

【教学重点】探索同位角相等，两直线平行。

【教学难点】掌握同位角相等，两直线平行，并能灵活对其运用，解决一些实际问题。

【教学方法】合作探究，动手操作。

【教具学具】多媒体课件、三根木条。

【教学过程】

一、情景导入

问题1：在同一平面内两条直线的位置关系有几种？分别是什么？

问题2：什么叫两条直线平行？

问题3：装修工人正在向墙上钉木条。如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？你的理由是什么？

二、探究新知

1.上面的操作过程可以抽象出几何图形。如图：

（1）师明确：两线相交成四角，三线相交成八角。具有∠1、∠2这种位置关系的角叫做同位角。

（2）思考：同位角的位置关系有什么特点？

（3）图中还有哪些是同位角？

2.拿出学习用具，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a。

（1）观察∠2的变化以及它与∠1的大小关系，你发现木条a与木条b的位置关系发生了什么变化？它们何时平行？

（2）改变∠1的大小，按上面方式再试一试，两角满足什么关系时，木条a与木条b平行？小组内进行交流讨论。

（3）学生组内思考交流：通过以上操作，你能得出什么结论？

（4）明晰：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。简称为“同位角相等，两直线平行”，平行用符号“∥”表示。例如，直线a与直线b平行，记作a∥b。

3.现在你能解释问题3了吗？

4.做一做

（1）如图1：你能过直线AB外一点P画直线AB的平行线吗？能画几条？你能画出不同的线吗？通过以上操作你能得到什么

结论？

师生共同明晰：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。

（2）在图2中，分别过点C、D画直线AB的平行线EC、DF，那么CE与DF有怎样的位置关系？猜一猜，再验证一下。通过这次操作你又得到了什么结论？

师明晰：平行于同一条直线的两条直线平行。

（3）转化成几何语言该是什么呢？（生口述，师演示多媒体）

三、巩固练习

1.找出图中点阵中互相平行的线段，并说明理由（点阵中相邻的四个点构成正方形）。

2.如图，在屋架上要加一根横梁DE，已知∠B=32°，要使DE∥BC，则∠ADE必须等于多少度？为什么？

四、课堂小结

1.本节课你有什么收获？

2.通过本节课的学习你还有什么想要进一步探究的吗？

探索平行线的条件篇2

一、条件开放的探索

此题型命题规律是给出问题的结论，让解题者分析探索使结论成立应具备的条件，而满足结论的条件不唯一，这样的问题是条件开放性问题。一般解决这样的问题的思路是：从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析。

例1.（集美区某年中考一模试卷）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是BD上的点，连结AE、CF。

（1）请添加一个条件：_______（注：不增加新的字母或辅助线）使得ABE≌CDF，并加以证明。

（2）判断题命题“如果OE=OF，BD=12，那么点E是ABC的重心”是否正确？若正确请说明理由；若不正确，请举出一个反例。

分析：（1）题是条件开放，要立足所论证的结论，来引导学生从平行四边形的性质出发，结合全等的判定探索需要添加的条件，如：BE=DF，∠AEB=∠CFD等条件，可得到ABE≌CDF。

（2）把握三角形重心的定义，通过学生观察、探究找到特殊值。如：当EO=3时，BE=EO=3，E就不为ABC的重心。

二、结论开放的探索

此题型命题规律是给出问题的条件，让解题者根据条件探索相应的结论，并且符合条件的结论往往呈现多样性，或者检验结论的“存在性”需要解题者进行推断，甚至要求探索者探求条件在变化中的结论，这些问题都是结论开放性问题，它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维和应用所学基础知识的能力。解决这类问题的一般思想是：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果、顺向推理或联想类比猜测等，从而获得所求的结论。

例2.（2012贵州遵义）如图，ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PEAB于E，连接PQ交AB于D.

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由。

分析：这是一个动态问题，（2）小题结论开放。很多学生望而却步，所以要鼓励学生遵循“动中有静、以静制动”的变化规律。先充分利用好已有的数学知识和数学方法――等边三角形的性质、直角三角形中30°角的特殊性，来解决第（1）题中的AP在特殊情况下的值。然后通过几个特殊值，如AP为1、2时，让学生探索（2）小题的结论，猜测出当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。教师在点拨学生作垂线QFAB，交直线AB的延长线于点F，连接QE、PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出APE≌BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=■AB，由等边ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。

三、条件与结论都开放的探索

此题型命题规律是没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，这就要鼓励学生通过自己的观察和比较，将已知的信息按一定的规律有序排列进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性。

例3.某七年级学生在做作业时，不慎将墨水瓶打翻，使一道作业题只能看到如下字样：

“甲、乙两地相距40km，摩托车的速度为45km/h，汽车的速度为35km/h，■（后面一段矩形黑框是被墨水污染无法辨认的文字）”，请你将这道题补充完整，并列方程解答。

分析：本题也要仔细阅读题目中的已知部分，理解题目的意思，领会命题者的意图，结合问题情境，进行合理补充，然后解答，条件与结论不唯一。由已知条件可知，此题可补充为相遇问题或追及问题，问题都是求时间。若补充为相遇问题：摩托车和汽车分别从甲、乙两地相向而行，则经过几小时后相遇？设经过x小时摩托车与汽车相遇，列出方程：（45+35）x=40，x=0.5；也可补充为追击问题：摩托车在甲地，汽车在乙地，汽车在甲、乙两地所在的直线上背对甲地出发，摩托车同时从甲地出发追赶，问经过多少小时能追上汽车？可设经过x小时追上汽车，列出方程：（45-35）x=40，x=4。

四、有关方案设计与动手操作的题目

此题型命题规律是题目中给出一个实际生活中能够遇到的问题，而解决问题的方法、策略是不唯一的，要求学生在题目要求的条件下，通过有序的表达形式，设计一个方案解决这个实际问题。解答这类题目的关键，在于平时数学思考和问题解决能力的培养和训练。

例4.某农场有一块三角形土地，准备分成面积相等的4块，分别承包给四位农户，请你设计两种不同的分配方案（在已给的图形中画图，保留画图痕迹，不写画法）。

分析：此题可获取以下主要信息：

（1）师生先通过三角形一边的中线可把三角形分成面积相等的两个三角形，帮助学生提出解决问题的策略。

（2）经观察、探究，让学生发现和提出一般性的问题，等底（同高）等高的两个三角形面积相等，再有规律地通过各个边的中点来划分面积相等的四等分三角形的各种情况。

现根据上述分析，结合题意，给出以下几种代表性的四类划分供参考。

这类开放型问题主要分为经济类和图形操作类，所涉及的知识点主要有方程（组）、不等式（组）、一次函数在一定范围内比较大小、二次函数的最值、作图、图形的割补等较广泛的问题。这类问题的难度主要不在数学知识本身，而在数学知识的灵活运用，在于教师根据学生思维层次设计问题层次，使不同层次学生都参与到数学思考和问题解决的过程中来，让他们都能获得数学思考和问题解决的成功体验。

参考文献：

探索平行线的条件篇3

【例1】 （浙江）如图1，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点，现将平面AFD沿AF折起，使平面AFD平面ABC，在平面ABD内过点D作DKAB，K为垂足，设AK=t，求t的取值范围.

图1 图2

解析：如图2，破解此题可采用两个极端位置法.对于F位于DC的中点时，t=1，随着F点到C点时，因CBAB,CBDK,CB平面ADB，即有CBBD，对于CD=2，BC=1,BD=3.又AD=1,AB=2，因此有ADBD，则有t=12，因此t的取值范围是(12,1).

突破策略：执果索因，反溯探求

解决此类问题可以执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．

题型2 探索结论

基本特征：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．此种题型常见于含有参数的问题，或者情况多种的问题．

【例2】 （海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．

（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，|OP|｜OM｜=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

解析：（1）设椭圆长半轴长及半焦距分别为a,c，由已知得a-c=1，a+c=7，解得a=4,c=3，所以椭圆C的标准方程为x216+y27=1．

（2）设M(x,y)，其中x∈［-4,4］，则点P和点M横坐标相同，代入椭圆方程可得其纵坐标，即P(x,112-7x216)，由已知得|OP|2|OM|2=λ2，代入两点间距离公式，再由点P在椭圆C上，可得9x2+11216(x2+y2)=λ2．整理得(16λ2-9)x2+16λ2y2=112，其中x∈［-4,4］．

①当λ=34时．化简得9y2=112，所以点M的轨迹方程为y=±473(-4≤x≤4)，轨迹是两条平行于x轴的线段．

②当λ≠34时，方程变形为x2

11216λ2-9

+y2

11216λ2

=1，其中x∈［-4,4］．

当0＜λ＜34时，轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足-4≤x≤4的部分；

当34＜λ＜1时，轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足-4≤x≤4的部分；

当λ≥1时，轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．

突破策略：执因索果，直接探求

对于此类给定条件、寻求相应结论的探索性问题，我们可执因索果，直接探求结论，对于其中含参数的探索性命题，其突破策略是对参数进行分类讨论．

题型3 探索是否存在

基本特征：判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在．

【例3】 （全国）给定双曲线x2-y22=1．

过点B(1，1)能否作直线m，使m与所给双曲线交于两点Q1、Q2，且点B是线段Q1Q2的中点?这样的直线m如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．

解析：设所求直线m的方程为y=k(x-1)+1,并设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),

探索平行线的条件篇4

顺次连结四边形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形。

此题主要考查三个方面的内容：一是对三角形中位线定理的运用；二是对转化思想、从一般到特殊的思想的运用;三是有条理地思考、判断及用几何语言表达。它的正确答案是“对角线相等的四边形”，但大部分学生写出的答案是“矩形”，也有少部分学生写出的答案是“正方形”。因此，学生的错误在于以部分替代了整体，以特殊情况代替了一般情况，其背后，犯的则是逻辑性错误和策略性错误——以非本质属性替代了本质属性。

如此多的学生出了原本不该出的错，是否与本节课的教学设计有一定的关联呢？

二、原先的3个探索活动

纵观该课，我给学生设计了3个探索活动。

【探索活动1】

自主探索：

连接任意四边形四条边的中点，能得到什么图形？并给予证明。

【探索活动2】

解答下列问题串：

问题1如果把上面的“任意四边形”改为“平行四边形”，它的中点四边形是什么形状呢？

问题2把“任意四边形”改为“矩形”，它的中点四边形仍是平行四边形吗？会不会成为更特殊的图形？再把它改为“菱形”、“正方形”呢？

问题3改成“一般梯形”、“直角梯形”、“等腰梯形”呢？

【探索活动3】

思考讨论下列问题：

（1）中点四边形的形状与原四边形的什么有密切关系？

（2）要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗？

（3）要使中点四边形是矩形，原四边形一定要是菱形吗？

从这3个探索活动可以看出，学生探究是沿着从一般到特殊的顺序开展的，原四边形的形状也是从一般四边形逐步变为特殊四边形的。这是一种重要的研究变化规律的数学学习方法。但是，这样的设计忽视了对学生从对角线关系这一问题本质的角度进行思考的引导，而强化了学生对平行四边形等一系列重点学习过的边角关系逐渐特殊化的四边形的印象。也正因为如此，无形中将“顺次连结矩形四条边的中点，所得的中点四边形是菱形”这一非本质属性得到强化。尽管在后面的活动中，教师也引导学生去思考“要使中点四边形是菱形，原四边形一定要是矩形吗”,但是，前面的探究及作图留给学生的印象还是更深刻一些，以致学生在有意无意中忽略了对三角形中位线定理的运用，自然也就影响到对解题策略的选择。

三、对3个探索活动的改进

起初，我试图按照从特殊到一般的思路重新设计探索活动：从正方形开始逐步弱化对角线条件。但是，我发现这和前面的设计一样，都需要教师强调、突出，甚至直接指出对角线条件，否则,学生还是会过度关注边角条件。因此，我决定从一个实际问题入手：

【探索活动1*】

尝试解决下列问题：

(1) 一块白铁皮零料的形状如图1，工人师傅要从中裁出一块平行四边形白铁皮，并使四个顶点分别落在原白铁皮的四条边上，可以如何裁？

【探索活动2*】

原探索活动2。

【探索活动3*】

思考讨论下列问题：

(1) 如图2,探索决定中点四边形EFGH形状的原四边形ABCD的主要因素。是边、角,还是对角线？

(2) 反之，若中点四边形EFGH分别为矩形、菱形和正方形，则原四边形ABCD是否一定分别为菱形、矩形（等腰梯形）、正方形？

探索平行线的条件篇5

二、创设实验情境

高中数学教学应鼓励学生用数学去解决问题，甚至去探索一些数学本身的问题。教学中，教师不仅要培养学生严谨的逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力，还要培养学生数学建模能力与数据处理能力，加强在“用数学”方面的教育。最好的方式就是用多媒体电脑和诸如《几何画板》、《几何画王》、《几何专家》、《数学实验室》等工具软件，为学生创设数学实验情境。例如，在上“棱柱和异面直线”一课时，我指导学生用硬纸制作“长方体”和“正三棱柱”等模型，并用《几何画板》设计并创作“长方体中的异面直线”课件，引导学生利用自己制作的“长方体”模型和上述课件，思考以下问题：长方体中所有体对角线（4条）与所有面对角线（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有体对角线（4条）与所有棱（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有棱（12条）之间相互组成多少对异面直线？长方体所有面对角线（12条）与所有棱（12条）共组成多少对异面直线？长方体中所有面对角线（12条）之间相互组成多少对异面直线？然后由学生独立进行数学实验，探讨上述问题。教师根据数学思想发展脉络，充分利用实验手段尤其是运用现代教育技术，创设教学实验情景、设计系列问题、增加辅助环节，有助于引导学生通过操作、实践，探索数学定理的证明和数学问题的解决方法，让学生亲自体验数学建模过程，培养学生的数学创新能力和实践能力，提高数学素养。

探索平行线的条件篇6

面向全体学生，实施课堂教学民主化。保证数学思维活动这条主线的贯穿与畅通。没有学生的思考与实践，就没有真正的数学学习。教师的主导作用就是要想办法让每一个学生主动参与，只有让学生的思维活动得以充分暴露，教师再给予释疑、评价、点拨，去触及学生的“灵魂”，才能够真正唤起学生主动参与的意识。学生在自主探索、发现学习的过程中，是需要足够的思考和想象的时间的，教师不要急于公布“谜底”，如果学生确有困难，可略加暗示，或通过转换角度去降低问题的难度，如果学生对问题感到困惑，可“等一等”，再疏导；当意见发生分歧时，可“议一议”，再统一；当思维发生偏差时，可“导一导”，再纠正，只有这样，面向全体学生，学生的主体作用才能真正落在实处，学生的数学素养才能提高。因此，教师要注重定理及例题教学的发现教学，精心创设发现的情境，摸透教材，把握课堂教学的节奏，舍得花时间，引导学生去探索，去研究，去发现知识之间的联系，达到教学的目的。

一、定理的发现教学

思维是在实践活动中发现和发展起来的，在定理的发现教学活动中，学生由被激发起好奇心及探索的欲望。因此，他们就会积极地去探索、研究，根据已有的知识以及获取的感性材料，在自己的头脑中进行分析、综合，创造出新的“产品”，进而可提高学生的心理品质、发展思维能力。在这种教学过程中，学生能经常地根据要求努力地去探索、研究，久而久之就会自然地养成良好的学习习惯，也会逐步培养和发展探索问题的能力，这无疑是大有裨益的。

如：线段的垂直平分线定理的教学，我是这样设计的：

1.（1）线段垂直平分线的定义是什么？（2）任意画线段AB，再画它的垂直平分线CD。（3）点与点之间的距离是什么？（4）在CD上任取一点P，连结PA、PB，再任取一点Q，连结QA、QB。

2.指导学生实验：（1）分别量出点P、Q到点A、B的距离，并且比较它们的大小。（2）要求学生在CD上再任取几个点，按上述要求完成。

3.引导学生认真整理、分析数据、写出结论，在教师的指导下进行分析、综合。由学生得出相应的结论：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。

4.指导学生论证，要求学生能根据已学过的知识进行严格推理论证，然后再指出这是线段的垂直平分线的定理。

再比如：学生在学习相似三角形的性质以后开始学习相似多边形的性质定理时，可采取：

（1）与相似三角形的性质对比，让学生自己去猜想相似多边形的有关性质。

（2）学生相互讨论，教师进行适当点拨，让学生叙述出来。

（3）根据学生的叙述进行推理论证。

二、例题的发现教学

作为每一位数学老师都知道，在传授新知识以后，总要配上一些巩固新知识的例题。而教师在讲解例题时，应教给学生如何去发现一道题的解法，讲的关键是展示思路的发现过程，把一些生动的思维过程展现在学生面前，不能只展示“成品”。因此，例题的教学，教师应把主要精力放在题意分析和思路发现上，达到训练学生思维，培养学生能力的目的。

1.平面几何的例题教学中，例题的条件由少到全，图形由简到繁，步步深入。

[原例] 已知：ABC中，∠ACB=90°，角平分线AD与高CH相交于点F，DEAB，垂足为E。求证：四边形CDEF为菱形。

方法：（1）复杂图形简单化。（2）由条件联想结论。

教学设计：

（1）如图a，ABC中，∠ACB=90°，角平分线AD与高CH相交于点F，图中有哪些线段相等？说明理由。

（2）在第一问题的基础上增加一个条件DEAB，垂足为E，又可得哪些结论？说明理由（如图b）。

（3）由第1、2问让学生猜想四边形CDEF是什么四边形（如图c）。

（4）指导学生进行推理论证。

a b c

2.注重图形的变式，训练学生多角度思考问题，且能注意考虑问题思考的全面性。比如，学习了相似三角形的判定定理后，我选择这样一组变式图形，旨在让学生发现证明三角形相似的方法的多样性，熟悉基本图形，培养学生的观察能力。

教学设计：

A.图（1）要证明ADB∽AEC，已经具备了的条件是______，还需添加的条件是______，也可直接由什么条件，得ADE∽ABC。

B.图（2）要证ADE∽ACB，已经具备的条件是______，还需添加的条件是______。

探索平行线的条件篇7

一、条件探索型问题

此种题目的特点就是对某个明确的结果来说，已知不确定需要研究，或者已知的增加或减少需要明确，抑或是需要确定已知是否正确.解答此种题目的方式就是从结果入手探寻已知，先找出使结果正确必须具备的前提，然后经过验证寻求使结果正确的具有充分性的理由.这种探索型的问题，在高中数学学习中最常见，是深入开展探索型问题学习的基础，也是培养高中生探究意识、创新能力的有效途径与载体.

例1：若函数f（x）=αsin（-x）-bcos（x-），（ab≠0）为奇函数，（a，b）可以为（？摇？摇）.这道题目就是典型的条件探索型问题，它的结论明确即函数是奇函数，需要找出使得结论成立的充分条件，我们可以把题设和结论都看作已知条件，用演绎推理的方法找出题目需要的条件.

【解析】由奇函数的定义列出关系式，展开整理可得a=b，（ab≠0），因此有序数对可以是（1，1）（2，2）…只要满足a=b，（ab≠0）的都是正确答案.由于奇函数的特殊性质，这道题又能以赋值之方法处理，即f（0）=0.

本题主要运用奇函数的性质及三角函数和差角的正余弦公式，通过计算和验证，找出问题的答案，这就是条件探索型题目的常用解决方法.

二、结论探索型问题

这类题目的特点是已知确定但是无结果，或者是结果是否正确要求答题人判断.处理此种题目的方式就是通过研究结果，然后对结果进行证明.也就是解决问题时通常以特例情况为切入点，运用查看、研究、整理、辨析等手段先猜想出一个结论，然后进行普遍情况的研究和论证.

例2：已知函数f（x）=x++αlnx（x>0），（1）若f（x）在[1，+∞）上为增函数，确定α的范围；（2）如果函数y=f（x）在区间D上有意义，并且在该区间内任取的两个数x、x以下不等式[f（x）+f（x）]≥f（）都成立，就说函数y=f（x）是区间D上的“凹函数”.当a≤0时，试分析f（x）是不是“凹函数”，就你的分析给出证明.这道题目就是结论探索型问题，它的条件很明确，给出了凹函数的定义，需要解题者探索结论，我们可以通过分析、计算、归纳，判断等手段找出结论并加以证明.

【解析】（1）由题意可得，要使函数在[1，+∞）上单调递增，必须使导函数大于零在指定区间恒成立，通过整理可以找出a要满足的关系.a需大于其最大值，由单调性可知其最大值为零，所以a≥0；（2）证明：由题目中给出的已知条件及均值定理相关知识可以得出满足凹函数定义的关系式，由题可得此函数是凹函数.

这类结论探索型题目，需要解题者能够灵活运用数学知识，从题目的情境中研究探索结论，对于培养高中生思维的灵活性大有裨益.

三、探究是否存在题型

这类题目的特点是以结果存在为前提，判断寻求的结果存在与否.

例3：假设A是x=1上一动点，直线l经过点A且和x轴互相垂直，l与x轴的交点为D，M为直线l上一点，并且|DM|=m|DA|（m>0，且m≠1）.A点在圆上运动时，点M的运动轨迹为C.（1）求C的方程，指出C是哪类圆锥曲线，求焦点；（2）经过坐标原点并且斜率是k的直线和C相交于点P，Q，当中点P位于第一象限，且在y轴的投影是点N，直线QN与C相交于H.能否有m，能对所有的k>0，全有PQPH？如果有，求出m；如果没有，说出原因.这道题目要找m的值是否存在，我们可以先假设有这样的m，然后通过一系列计算推理，得出要找的结论.

【解析】（1）根据题设分析关系，列出方程计算整理得到A点横坐标及纵坐标的表达式，因为A点在单位圆上运动，把它代入单位圆方程可得要求C的方程得到点M所满足关系式，从而根据所学知识对它的轨迹进行具体描述.

（2）解法1：设出直线QN的斜截式方程，把它代入曲线C化简得出一个关于x的一元二次方程，根据题目找出这个方程的解，并根据根与系数的关系整理可得点H横坐标.因为点H在直线QN上，所以列出关系式，得到对应向量坐标，再利用向量垂直数量积是0得到的值，所以存在m，能使在它相应的圆锥曲线上，对所有的k>0，全有PQPH.

解法2：由于P，H这两个点都在曲线C上，因此它们都满足曲线方程.两个式子相减可以得出坐标间的关系式，根据题目已知条件，依据点P在第一象限可以得出，该点H也落于第一象限内，而且P，H这两个点并不重合，于是可得，再根据两直线平行斜率相等，垂直斜率之积等于-1可以通过计算得出m的值，所以存在m，能使在它相应的圆锥曲线x=1上，对所有的k>0，全有PQPH.

这道题目考点是求轨迹、直线和椭圆的相互位置及两条直线互相垂直或两个向量互相垂直的充分必要条件，这种存在性的问题，得出的结果有两个可能性：假如具有存在性，要给出合理解释；假如不具备存在性，找出相矛盾的例子解释即可.

四、全开放探索型问题

条件和结论都不完备或都不确定的是全开放型问题，解决这种问题的方法也是开放型的，解题者对题目开展非常详细具体的分析探索，才可以找出解答题目的方案.

例4：α、β为不重合的两个平面，m、n为平面α和平面β以外的两条不重合的直线，根据以下四个条件：①mn，②αβ，③nβ，④mα，拿其中的3个当成已知条件，剩下的一个当成问题的结果，找出正确的答案写在横线上.这道题提供了四个题设，题目让当中的3个作为已知，剩下的一个作为结果，我们可以采用列举的方法找出所有可能性一一检验.

【解析】根据题目要求能够得出全部四个命题，根据所学立体几何知识可以得出，其中哪些是正确的，哪些是不正确的.只要写出正确答案之一，此题就获得了完美解答.

这道题的已知及结果均不确定，因此该题目是一个已知和结果都不确定的完全探索型问题，它可以构成的命题不止一个，正确答案也不唯一，解题者只需找出一个符合题意的结论就可以.这种题目的处理方法也存在不确定因素.

探索型问题没有完备的条件或确定的结论，它的这一特征决定了在解决这类问题时对数学知知识的掌握，数学思想的运用，以及创造性的数学思维都有较高的要求.在解决这类题目时常用下列方法：直击目标；特殊值判断；猜想证明；数形结合……要正确解决探索性问题，不仅需要在平时的学习中注重基础知识的掌握，还要注重方法的总结及能力的培养.

参考文献：

探索平行线的条件篇8

1. 答案开放型

这类问题的特点是答案不惟一，要求考生在给定条件下写出一个或几个满足条件的答案.解决的关键是充分理解已知条件，注意点是题目要求填写几个就填写几个，不要多填.

例1. 试写出定义域和值域相同的三个幂函数：___________.

解析：答案不惟一，如y=x3，y=[x][]，y=x-1等等.

点评：本题主要考查了考生对幂函数定义和性质的理解，属于答案开放性问题，要求考生对数学概念、定理、公式、法则和性质等有清晰、完整的理解和掌握.如写出定义域和值域相同的函数，就更多了，如y=kx（k≠0），y=（k≠0），y=kx+b（k≠0）等等.

2. 规律探究型

这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论.解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高.

例2. 如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 条.这些直线中共有f（n）对异面直线，则f（4）= ；f（n）= .（答案用数字或n的解析式表示）

解析：所有顶点确定的直线共有n+=条.

f（4）表示四棱锥中异面直线的对数，每条棱与底面上边和对角线共有3对，故共形成3×4=12对.

一条侧棱与底面上（n-2）条边异面，又与[Cn-1][2]-（n-1）+1条面对角线异面，[Cn-1][2]-n+2+n-2=[Cn-1][2]=，再乘以n即可得到f（n）=.

点评：本题主要考查考生对归纳猜想和递推的理解和运用，考查考生观察、归纳、猜想和推理的逻辑思维能力，属于规律探究型试题.需要考生先从特殊情形入手，然后得出一般结论，其中用到组合知识.

3. 条件追溯型

这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断.解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件.在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意.

例3. 设函数f（x）=sin2x，若f（x+t）是偶函数，则t的一个可能值是 .

解析：f（x+t）=sin2（x+t）=sin（2x+2t）.又f（x+t）是偶函数， f（x+t）=f（-x+t）即sin（2x+2t）=sin（-2x+2t）.由此可得2x+2t=-2x+2t+2kπ或2x+t=π-（-2x+2t）+2kπ（k∈Z），t=π（k∈Z）.

点评：本题为条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.这类题要求考生变换思维方向，有利于培养考生的逆向思维能力.

例4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）.能使抛物线方程为y2=10x的条件是

（要求填写适合条件的序号）.

解析：当抛物线方程为y2=10x时，焦点为F（，0），在x轴上，通径为10，横坐标为1的点（1，±）到焦点的距离等于该点到准线x=-的距离，即1+=，以OF为直径的圆方程为（x-）2+y2=（）2，点（2，1）在此圆上.故与给出的五个条件比较，只有条件②和⑤与抛物线方程为y2=10x相容.由于只有②或⑤都不能保证抛物线方程为y2=10x，所以②⑤合起来必可保证抛物线为y2=10x，否则本题无解.因此填②⑤.

本题还有一种解法如下：

对于顶点在原点的抛物线，当分别满足①—⑤各条件时，其方程是否可以写成y2=10x，讨论如下：

满足①时，方程不可能是y2=10x；

满足②时，方程的形式为y2=2px（p≠0），当p=5时，即为y2=10x；

满足③时，方程不可能是y2=10x，这是因为抛物线y2=10x上的横坐标为1的点（1，±）到焦点F（，0）的距离为d==≠6；

满足④时，方程不可能是y2=10x，这是因为抛物线的通径长为10≠5；

满足⑤时，方程可能写成y2=10x，这是因为抛物线y2=10x的焦点为F（，0），所以以（2，1）分别与原点O和F的连线的斜率为kRO=2，kRF=-，于是由kRO·kRF=-1知过原点作直线y=-（x-）的垂线，垂足为点P（2，1）.

进一步可得：当条件②⑤同时成立时，抛物线方程一定可以写成y2=10x.这是因为过点（2，1）且与OR垂直的直线方程为（y-1）（0-1）+（x-2）（0-2），即2x+y=5.因此，当条件⑤满足时，抛物线的焦点在此直线上.从而当②也满足时，抛物线的焦点坐标满足方程组2x+y=5，

y=0，解得焦点的坐标为（，0）.又因为抛物线的顶点在原点，所以得抛物线的方程为y2=10x.

点评：本题主要考查抛物线的基本知识和基本的逻辑判断技巧.试题的陈述稍长，设问的方式也比较新颖，要求考生必须仔细阅读，正确理解题意，稍微不慎，就会产生错误.题目本质是在寻找结论成立的充分条件，解答时应从必要性入手即可解决.

4. 结论探索型

这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定.解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.

例5. 在数列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N?），其中λ>0.

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an}的n前项和Sn.

解析：（Ⅰ）法1：a2=2λ+λ2+（2-λ）2=λ2+22，

a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）22=2λ3+23，

a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）23=3λ4+24.

由此可猜想出数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n.以下用数学归纳法证明.

（1）当n=1时，a1=2，等式成立.

（2）假设当n=k时等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λa1+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k+1）-1]λk+1+2k+1.

这就是说，当n=k+1时等式也成立.根据（1）和（2）可知，等式an=（n-1）λn+2n对任何n∈N?都成立.

法2：由an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N?），λ>0，可得-（）n+1=-（）n+1，所以

-（

）n为等差数列，其公差为1，首项为0，故-（）n=n-1，所以数列{an}的通项公式为an=（n-1）λn+2n.

（Ⅱ）设Tn=λ2+2λ3+3λ4+…+（n-2）λn-1+（n-1）λn， ①

λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+（n-2）λn+（n-1）λn+1，②

当λ≠1时，①式减去②式，

得（1-λ）Tn=λ2+λ3+…+λn-（n-1）λn+1=-（n-1）λn+1，

Tn=-=.

这时数列{an}的前n项和Sn=+2n+1-2.

当λ=1时，Tn=.这时数列{an}的前n项和Sn=+2n+1-2.

点评：本题以数列的递推关系式为载体，主要考查等比数列的前n项和公式、数列求和等基础知识与基本方法，考查归纳、推理、运算及灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力.尤其第（Ⅰ）小题，方法1是先从特殊情形入手，通过观察、对比和分析，探索出一个待定结论，然后再利用严格的数学证明，即数学归纳法来证明.这样的题目在高考中经常出现.方法2尽管看起来简单，但不易想出.对第（Ⅱ）题来说，用常见的错位相减法求和.

5. 条件重组型

这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的求解的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题.此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要类比、联想等手段.一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求.应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力.

例6. α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①mn ②αβ ③nβ ④mα

以其中的三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题 .

解析：本题给出了四个论断，要求其中三个为条件，余下一个为结论，用枚举法分四种情况逐一验证.依题意可得以下四个命题：

（1）mn，αβ，nβ?mα；

（2）mn，αβ，mα?nβ；

（3）mα，nβ，mα?αβ；

（4）αβ，nβ，mα?mn.

不难发现，命题（3）（4）为真命题，而命题（1）（2）为假命题，故填上命题（3）或（4）.

点评：本题的条件和结论都不是固定的，是可变的，所以这是一道条件开放结论也开放的全开放性试题，本题可组成四个命题，且正确的命题不止一个，解题时不必把所有正确的命题都找出，因此本题的结论也是开放的.

6. 存在判断型

这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立.解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.

例7. 在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆+y2=1有两个不同的交点P和Q.

（I）求k的取值范围；

（II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量+与共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.

解析：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为y=kx+，代入椭圆方程得+（kx+）2=1，

整理得（+k2）x2+2kx+1=0. ①

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=8k2-4（+k2）=4k2-2>0，

解得k，即k的取值范围为（-∞，-）∪（，+∞）.

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则+=（x1+x2，y1+y2），

由方程①，x1+x2=-. ②

又y1+y2=k（x1+x2）+2. ③

而A（，0），B（0，1），=（-，1），所以+与共线等价于x1+x2=-（y1+y2），

将②③代入上式，解得k=.由（Ⅰ）知k，故没有符合题意的常数k.

点评：本题主要考查了直线与椭圆的位置关系及向量共线的条件，考查运算能力及利用所学知识与方法解决问题的能力.“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行；“不存在”就是没有，找不到.这类问题常用反证法加以认证.“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由，这类问题常用“肯定顺推”.

【新题解读】

例8. 已知f（x）、g（x）都是定义域内的非奇非偶函数，而f（x）·g（x）是偶函数，写出满足条件的一组函数，f（x）= ；g（x）= .

解析：由于f（x），g（x）都是定义域内的非奇非偶函数，且f（x）·g（x）是偶函数，所以取f（x）=x-1，g（x）=x+1均为非奇非偶函数，但f（x）·g（x）=x2-1却是偶函数.

点评：本题是一道答案开放性试题，答案不惟一. 再如f（x）=，g（x）=；f（x）=2x-1，g（x）=2x+1等都符合题设条件.

例9. 已知平面α、β，直线l?α，且l?β，在以下3个关系：l∥β；lα；αβ中，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，构造一个真命题为 （用文字语言表达，不得出现字母及符号）.

解析：先按要求构成命题，再判断命题的真假，把其中真命题用文字语言叙述出来即可.

由l∥β；lα；αβ可构成如下三个命题：

①lβ，

lα?αβ；②lβ，

αβ?lα；③lα，

αβ?lβ.

其中①是真命题，因为l∥β，所以β内存在直线a′，使得a′∥l，又lα，所以a′α，故有αβ.用文字语言叙述为：如果一条直线与一个平面平行，又与另一个平面垂直，那么这两个平面互相垂直.

类似地，③也是正确的，用文字叙述为：如果两个平面外的一条直线垂直于这两个互相垂直平面的一个，则它与另一个平面平行.

②是错误的.

点评：本题是一个条件重组型试题，考查线线、线面、面面的平行和垂直的判定及性质，考查数学符号语言和文字语言的转换.

例10. 在研究复数性质时规定：如果对n个复数a1，a2，…，an，存在不全为零的n个实数k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，那么a1，a2，…，an叫做“线性相关”，依次规定，请判断三个复数1，-i，2+2i是否“线性相关”？若“线性相关”，请给出一组实数（k1，k2，k3）= （给出一组即可）.

解析：根据线性相关的定义，假设1，-i，2+2i是线性相关，那么存在不全为零的3个实数k1，k2，k3，使得k1-k2i+k3（2+2i）=0?（k1+2k3）+（2-k2）i=0，所以，k1+2k3=0，

2-k2=0?k1=-2k3，

k2=2，取k3=1，则符合题意的一组实数（k1，k2，k3）=（-2，2，1）.

点评：本题答案显然有无数组，只要满足k1=-2k3，

k2=2即可.同时又是是否存在性问题，一般假设满足条件，然后进行推理即可.

【跟踪训练】

1. 已知三个不等式：ab>0，bc-ad>0，->0，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论，组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

解析：ab（-）=bc-ad，组成的三个命题都是正确的，故选C.

2. 奇函数f（x）满足条件：（1）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）；（2）在区间（0，1]上递减，在区间（1，+∞）上递增，则f（x）的解析式为 （只需写出你认为正确的一个函数解析式即可）.

解析：f（x）=x+或f（x）=|lgx|（x>0），

-|lg（-x）|（x

3. 关于x的函数f（x）=sin（x+θ），有以下命题：

①对任意的θ，f（x）都是非奇非偶函数；

②不存在θ，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；

③存在θ，使f（x）是奇函数；

④对任意的θ，f（x）都不是偶函数.

其中一个假命题的序号是 ，因为当θ= ，该命题的结论不成立.

解析：本题的答案不确定，其中②③是正确的.由于f（x）=sin（x+θ）不可能恒为零，因而f（x）不可能既是奇函数，又是偶函数；当θ=0时，f（x）是奇函数.①④是假命题，当θ=2kπ+或θ=2kπ+（k∈Z）时，f（x）=cosx或f（x）=-cosx为偶函数，当θ=kπ（k∈Z）时，f（x）=sinx或f（x）=-sinx为奇函数.

故可填上： ①， kπ（k∈Z）； 或①， 2kπ+（k∈Z）； 或①， 2kπ+（k∈Z）；或④，2kπ+（k∈Z）；或④，2kπ+（k∈Z）等.

4. 设函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，-

（1） ； （2） .

解析：由于④的等价命题不易转换，因此我们主要考虑①②③两两组合. 其中①?f（x）在x=时取得最大值或最小值；②?f（）=0；③?ω=2. 由①③?f（x）=sin（2x+）?②④；由②③?f（x）=sin（2x+）?①④；由①②?f（x）=sin（2x+）或f（x）=sin6x等推不出③④.

故其答案为：（1）①③?②④；（2）②③?①④.

5. 直线a，b与异面直线c，d都相交，那么还必须添加条件 ，才能保证a，b为异面直线.

解析：通过实验（搭模型），知若a，b与c，d共有4个交点（或a，b，c不共面，或a，b，d不共面），则a，b必为异面直线.

6. 命题：“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”，在平面几何中成立，而在立体几何中不成立.请你再写出三个类似的命题： .

解析：命题（1）：到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是圆；

命题（2）：有三个角都是直角的四边形是矩形；

命题（3）：过一点作一条直线的垂线，有且仅有一条.

【复习要略】

对于开放、探究性问题，我们在复习时注意以下几点：

1. 条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可变换思维方向，将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件.

2. 结论探索型问题，先探索结论而后去论证结论.在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论.

3. 条件重组型问题，通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要的作用.

探索平行线的条件篇9

那么，在数学教学中，如何让学生掌握解答数学开放性题的有效方法呢？本人就此谈一点肤浅的体会与做法。

一、多阅读、多收集、多积累数学开放性题的资料、信息

数学开放性题是近几年才出现在中考数学试题的，是一种新题型，而我们所用的教材、辅导资料都是传统的封闭题，极少有这种类型题的练习，更不要说有系统的教学措施。因此，在平时广泛阅读关于数学方面的报刊、杂志，并借助网络，把有关数学开放性题的信息、习题进行摘录，再进行分类收集，还与有联系的封闭题进行比较，最后把这些题目进行变形，派生出新的开放性题。

二、充分利用课本的习题，改编成为数学开放性题

数学开放性题虽然是一种新题型，与传统的封闭题有很大的区别，但是可以通过对传统的封闭题改编成为数学开放性题，本人就是对课本的习题进行改编，来充实开放性题的教学。改编的方法有：

①给出结论，寻求结论成立的充分条件。例如，把“已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：ABD≌ACE”（人教版第二册《几何》第29页的例4）改为：已知，如图1，AB=AC，∠1=∠2，要使ABD≌ACE。请添加一个条件，并说明理由。

②弱化习题条件，使其结论多样化。例如，把“已知直线y=kx+b经过点（9，10）和点（24，20），求k与b”（人教版第三册《代数》第110页的例2）改为：在直角坐标系内，有一点A（9，10）请写出经过点A的一次函数的解析式_______________。

在解答这类条件开放性题时，应由给定的结论出发，探索应具备怎样的条件才能使结论成立。它要求学生善于从所给的题目的结论、条件出发，逆向追索，逐步探寻。

③隐去习题的结论，使其指向多样化。例如，把“AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°求证：DC是O的切线”（人教版第三册《几何》第107页的第2题）改为：如图2，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°由此可推出哪些正确的结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连的辅助线不能出现在结论中）

④既定的条件下，探究结论的存在性。例如：如果竹篱笆的长是80米，能不能围成一个面积为500平方米的矩形养鸡场？并说明理由。（把第三册《代数》第43页B组第1题进行改编）

在解答这类结论开放性题时，一般由给定的已知条件探求相应的结论，首先应充分利用已知条件或图形的特征进行猜想，透彻分析在给定的条件下确定命题对象的结论是否存在，然后进行论证。

⑤既定的条件下，采用一题多解法。例如，已知：如图3，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。（人教版第二册《几何》第145页的第9题）

方法一：先证∠EAF=∠ECF，再证∠EAF=∠CFB，得AE∥FC，且AF∥EC可证得结论。

方法二：先证ADE≌CBF，再证CE=AF，且CE∥AF可证得结论。

方法三：先证ADE≌CBF，再证∠AEC=∠AFC，且∠EAF=∠ECF可证得结论。

方法四：先证ADE≌CBF，可得AE=CF，再证EC=AF可证得结论。

用一题多解法解题时，应从各条途径，多角度地思考问题，探索尽可能多的可行的方法。

⑥在给定的条件或关系，进行综合的探索。例如，把“求证：等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端点距离相等。”（人教版第二册《几何》第79页的例4）改为：已知：如图4，ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于O，给出下列四组条件：（1）AB=AC（2）∠ABD=∠ACE（3）AE=AD（4）∠BEO=∠CDO，在这些条件中哪两个条件可以证得BO=CO（用序号写出所有的情形），并选其中一种情形写出证明过程。

在解答这种类型题时，要根据题目的条件或结论，利用所学过的知识，从多个角度去思考、分析，大胆猜想，寻求尽可能多的答案，然后对所得的答案进行认真筛选、推理、计算，最后确定满足题目要求的答案。

三、在平时教学中渗透数学开放性题的教学

因为解答数学开放性题要求学生要有较高的综合能力，而对一般的学生来讲，有很大的困难，所以在平时的教学中渗透开放性题的教学。使难点分散，学生容易接受，并把课本的习题改编成开放性题，然后穿插到平时的教学中去。在教学过程中通常采用下列方法：

①举例教学。例如，在讲解勾股数时，除了3、4、5，你们还可以举一些勾股数的例子吗？再如，在讲无理数时，请你写出五个无理数__________。

②一题多解教学。例如上面讲到的第二点中的第5小点的一题多解。

③变式教学。即在平时的教学中，讲完书本的例题或习题后，把条件进行删减、变形或隐去结论，让同学进行讨论。

例如，已知ABC，P是边AB上的一点，连结CP。（1）∠ACP满足什么条件时，ACP∽ABC；（2）AC∶AP满足什么条件时，ACP∽ABC。（第二册《几何》第233页的例5）改为：已知（如图5）ABC，点P是边AB上的一点，连结CP，满足__________条件时，ACP∽ABC。或者把此题变形为：已知ABC，点P是AB边上一点，过点P（不与直线AB重合）截ABC，使截得的三角形与原ABC相似，满足这样条件的直线最多有（ ）

A.2条 B.3条 C.4条 D.5条

通过在平时的教学中渗透开放性题的教学，消除了同学们对这种题的恐惧心理，并且在平时的解题过程中，教会学生观察、分析、综合、类比、推理、归纳等思维方法，有利于培养学生的发散思维和创新能力。

探索平行线的条件篇10

1. 创设问题情景 ，激发学生学习数学的兴趣

教师选择与当前学习知识有关的实际问题作为学习的中心内容，让学生面临一个需要立即去解决的问题。如在有理数教学中可从参加足球比赛某队的进球数、失球数等实例引入正负数，从而激发学生主动学习的兴趣，诱导学生积极参与，使学生快速进入学习的最佳状态。这样，学生会在情景交融中愉快地探索问题，深刻地理解和掌握新学的知识，培养创造性思维能力。

2. 尝试探索，培养学生分析问题的能力

教师不是直接告诉学生如何去解决所提出的问题，而是引导学生主动探索，提出带有启发性和挑战性的问题，给学生提供动手、动脑、动口的机会，提供解决问题的有关线索和方法，积极引导学生通过自学、观察、猜想、讨论、交流，解决教师提供的例题。学生在学到知识的同时，学会了怎样观察问题、分析问题、解决问题。

3. 注重实践应用，培养学生思维的发散性和创造性

张玺恩教授曾指出：“数学教育给予学生不仅是知识，更重要在于使学生受到数学思维与教学思想方法的训练，数学地提出问题，把实际问题抽象为数学问题进行分析、探索和解决。” 引导学生自觉地运用所学知识去观察、分析和解决生产生活中的实际问题。例如设计测量学校操场上旗杆的高度 ，估计池塘上鱼的总量等活动性实践课的教学。通过这些实践活动，加强学生实际操作能力和动手能力的培养，增强学生数学应用意识的解决问题的欲望，培养学生思维的发散性和创造性。

二、通过变式教学，提高学生解题能力

为了给学生提供思维的空间，教师可以把学生熟悉的课本中的问题、例题、练习题加以改造，变“封闭题”为“开放题”，进一步提高学生解决问题的能力素质。

1. 改变命题的结构

对教材中例题、习题有意识地将原题目的问题弱化改变，使其答案多样化。隐去题目中的一个或多个条件，让学生寻找其结论成立的条件或最优条件；隐去题目中的结论，使其答案多样化；给出结论，寻找使结论成立的条件。

2. 增强命题的探索性

探索平行线的条件篇11

教学目标：

知识与技能目标：

1.掌握矩形的概念、性质和判别条件。

2.提高对矩形的性质和判别在实际生活中的应用能力。

过程与方法目标：

1.经历探索矩形的有关性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力，主观探索习惯，逐步掌握说理的基本方法。

2.知道解决矩形问题的基本思想是化为三角形问题来解决，渗透转化归思想。

情感与态度目标：

1.在操作活动过程中，加深对矩形的的认识，并以此激发学生的探索精神。

2.通过对矩形的探索学习，体会它的内在美和应用美。

教学重点：矩形的性质和常用判别方法的理解和掌握。

教学难点：矩形的性质和常用判别方法的综合应用。

教学方法：分析启发法

教具准备：像框，平行四边形框架教具，多媒体课件。

教学过程设计：

一、情境导入：

演示平行四边形活动框架，引入课题。

二、讲授新课：

1.归纳矩形的定义：

问题：从上面的演示过程可以发现：平行四边形具备什么条件时，就成了矩形?(学生思考、回答。)

结论：有一个内角是直角的平行四边形是矩形。

2.探究矩形的性质：

(1)问题：像框除了“有一个内角是直角”外，还具有哪些一般平行四边形不具备的性质?(学生思考、回答.)

结论：矩形的四个角都是直角。

(2)探索矩形对角线的性质：

让学生进行如下操作后，思考以下问题：(幻灯片展示)

在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.

①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的?

②当∠α是锐角时，两条对角线的长度有什么关系?当∠α是钝角时呢?

③当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时两条对角线的长度有什么关系?

(学生操作，思考、交流、归纳。)

结论：矩形的两条对角线相等.

(3)议一议：(展示问题，引导学生讨论解决)

①矩形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴?如果不是，简述你的理由.

②直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，你能用矩形的有关性质解释这结论吗?

(4)归纳矩形的性质：(引导学生归纳，并体会矩形的“对称美”)

矩形的对边平行且相等;矩形的四个角都是直角;矩形的对角线相等且互相平分;矩形是轴对称图形.

例解：(性质的运用，渗透矩形对角线的“化归”功能)

如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，AB=OA=4

厘米，求BD与AD的长。

(引导学生分析、解答)

探索矩形的判别条件：(由修理桌子引出)

(5)想一想：(学生讨论、交流、共同学习)

对角线相等的平行四边形是怎样的四边形?为什么?

结论：对角线相等的平行四边形是矩形.

(理由可由师生共同分析，然后用幻灯片展示完整过程.)

(6)归纳矩形的判别方法：(引导学生归纳)

有一个内角是直角的平行四边形是矩形.

对角线相等的平行四边形是矩形.

三、课堂练习：(出示P98随堂练习题，学生思考、解答。)

四、新课小结：

通过本节课的学习，你有什么收获?

(师生共同从知识与思想方法两方面小结。)

五、作业设计：P99习题4.6第1、2、3题。

板书设计:

1.矩形

矩形的定义：

矩形的性质：

前面知识的小系统图示：

2.矩形的判别条件：

例1

课后反思：在平行四边形及菱形的教学后。学生已经学会自主探索的方法，自己动手猜想验证一些矩形的特殊性质。一些相关矩形的计算也学会应用转化为直角三角形的方法来解决。总的看来这节课学生掌握的还不错。当然合情推理的能力要慢慢的熟练。不可能一下就掌握熟练。

八年级上册数学教案人教版《梯形》教案

教学目标：

情意目标：培养学生团结协作的精神，体验探究成功的乐趣。

能力目标：能利用等腰梯形的性质解简单的几何计算、证明题;培养学生探究问题、自主学习的能力。

认知目标：了解梯形的概念及其分类;掌握等腰梯形的性质。

教学重点、难点

重点：等腰梯形性质的探索;

难点：梯形中辅助线的添加。

教学课件：PowerPoint演示文稿

教学方法：启发法、

学习方法：讨论法、合作法、练习法

教学过程：

(一)导入

1、出示图片，说出每辆汽车车窗形状(投影)

2、板书课题：5梯形

3、练习：下列图形中哪些图形是梯形?(投影)

4、总结梯形概念：一组对边平行另以组对边不平行的四边形是梯形。

5、指出图形中各部位的名称：上底、下底、腰、高、对角线。

(投影)

6、特殊梯形的.分类：(投影)

(二)等腰梯形性质的探究

【探究性质一】

思考：在等腰梯形中，如果将一腰AB沿AD的方向平移到DE的位置，那么所得的DEC是怎样的三角形?(投影)

猜想：由此你能得到等腰梯形的内角有什么样的性质?(学生操作、讨论、作答)

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD。求证：∠B=∠C

想一想：等腰梯形ABCD中，∠A与∠D是否相等?为什么?

等腰梯形性质：等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等。

【操练】

(1)如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，∠B=60o，BC=10cm，AD=4cm，则腰AB=cm。(投影)

(2)如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE∥AC，交BC的延长线于点E，CA平分∠BCD，求证：∠B=2∠E.(投影)

【探究性质二】

如果连接等腰梯形的两条对角线，图中有哪几对全等三角形?哪些线段相等?(学生操作、讨论、作答)

如上图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC、BD相交于O，求证：AC=BD。(投影)

等腰梯形性质：等腰梯形的两条对角线相等。

【探究性质三】

问题一：延长等腰梯形的两腰，哪些三角形是轴对称图形?为什么?对称轴呢?(学生操作、作答)

问题二：等腰梯是否轴对称图形?为什么?对称轴是什么?(重点讨论)

等腰梯形性质：同以底上的两个内角相等，对角线相等

(三)质疑反思、小结

让学生回顾本课教学内容，并提出尚存问题;

学生小结，教师视具体情况给予提示：性质(从边、角、对角线、对称性等角度总结)、解题方法(化梯形问题为三角形及平行四边形问题)、梯形中辅助线的添加方法。

人教版八年级上册数学教案《因式分解》教案

教学目标:

1、理解运用平方差公式分解因式的方法。

2、掌握提公因式法和平方差公式分解因式的综合运用。

3、进一步培养学生综合、分析数学问题的能力。

教学重点:

运用平方差公式分解因式。

教学难点:

高次指数的转化，提公因式法，平方差公式的灵活运用。

教学案例:

我们数学组的观课议课主题:

1、关注学生的合作交流

2、如何使学困生能积极参与课堂交流。

在精心备课过程中，我设计了这样的自学提示:

1、整式乘法中的平方差公式是___，如何用语言描述?把上述公式反过来就得到_____，如何用语言描述?

2、下列多项式能用平方差公式分解因式吗?若能，请写出分解过程，若不能，说出为什么?

①-x2+y2②-x2-y2③4-9x2

④(x+y)2-(x-y)2⑤a4-b4

3、试总结运用平方差公式因式分解的条件是什么?

4、仿照例4的分析及旁白你能把x3y-xy因式分解吗?

5、试总结因式分解的步骤是什么?

师巡回指导，生自主探究后交流合作。

生交流热情很高，但把全部问题分析完已用了30分钟。

生展示自学成果。

生1:-x2+y2能用平方差公式分解，可分解为(y+x)(y-x)

生2:-x2+y2=-(x2-y2)=-(x+y)(x-y)

师:这两种方法都可以，但第二种方法提出负号后，一定要注意括号里的各项要变号。

生3:4-9x2也能用平方差公式分解，可分解为(2+9x)(2-9x)

生4:不对，应分解为(2+3x)(2-3x)，要运用平方差公式必须化为两个数或整式的平方差的形式。

生5:a4-b4可分解为(a2+b2)(a2-b2)

生6:不对，a2-b2还能继续分解为a+b)(a-b)

师:大家争论的很好，运用平方差公式分解因式，必须化为两个数或两个整式的平方的差的形式，另因式分解必须分解到不能再分解为止。……

反思:这节课我备课比较认真，自学提示的设计也动了一番脑筋，为让学生顺利得出运用平方差公式因式分解的'条件，我设计了问题2，为让学生能更容易总结因式分解的步骤，我又设计了问题4，自认为，本节课一定会上的非常成功，学生的交流、合作，自学展示一定会很精彩，结果却出乎我的意料，本节课没有按计划完成教学任务，学生练习很少，作业有很大一部分同学不能独立完成，反思这节课主要有以下几个问题:

(1)我在备课时，过高估计了学生的能力，问题2中的③、④、⑤多数学生刚预习后不能熟练解答，导致在小组交流时，多数学生都在交流这几题该怎样分解，耽误了宝贵的时间，也分散了学生的注意力，导致难点、重点不突出，若能把问题2改为:

下列多项式能用平方差公式因式分解吗?为什么?可能效果会更好。

(2)教师备课时，要考虑学生的知识层次，能力水平，真正把学生放在第一位，要考虑学生的接受能力，安排习题要循序渐进，切莫过于心急，过分追求课堂容量、习题类型全等等，例如在问题2的设计时可写一些简单的，像④、⑤可到练习时再出现，发现问题后再强调、归纳，效果也可能会更好。

探索平行线的条件篇12

⒉能力目标：

⑴经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。

⑵在补全平行四边形的过程中，培养学生的动手画图能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。

⒊情感目标：

⑴让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣。

⑵通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。

⑶在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点、难点分析：

教学重点:平行四边形的识别方法1、2。

教学难点:平行四边形识别方法的应用。

三、教学策略及教法设计：

【活动策略】

课堂组织策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的识别”的方法。

学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。

辅助策略：借助实物投影仪及多媒体课件，使学生直观形象地观察、动手操作。

【教法】

探索法：让学生在补全平行四边形的活动过程中，积累数学活动经验。

讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。

练习法：精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。

四、课前准备：

由老师、课代表根据学生不同特长每4人分成一个活动小组。

五、教学过程设计：

一、复习

复习回顾：前面我们学习了平行四边形的哪些特征？

二、新课

[1]小实验:

有一块平行四边形的玻璃片,假如不小心碰碎了部分,现如图所示,同学们想想看,有没有办法把原来的平行四边形重新画出来呢?

让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别差生稍加点拨，最后请学生回答画图方法。学生可能想到的画法有：1。分别过A、C作DC、DA的平行线，两平行线相交于B；2。过C作DA的平行线，再在这平行线上截取CB=DA；3。连结AC，取AC的中点O，再连结DO至B，使BO=DO，连结AB、CD。4。分别以A、C为圆心，以DC、DA的长为半径画弧，两弧相交于B，连结AB、CB；

提问：上面作出的图形是否都是平行四边形呢？请同学们猜一猜。这就是我们今天要研究的问题：《平行四边形的识别》

第一种方法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形。

第二种方法，CB∥DA，即把DA平移至CB，由平移特征，有

CB∥DA，AB∥DC，

根据平行四边形的定义，我们知道四边形ABCD是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

第三种方法，

由画图知,BO=DO,AO=CO,可以看到A与C、B与D是关于点O成中心对称的对应点，AB与CD、BC与DA是对应线段，∠BAC与∠DCA，∠BCA与∠DAC是对应角，根据中心对称的特征，有

∠BAC=∠DCA，∠BCA=∠DAC。

从而AB∥DC，CB∥DA，

由此可以确定这一四边形是平行四边形。

对角线互相平分的四边形是平行四边形

[2]实践乐园

1.给你一根细铁丝，你能很快折一个平行四边形吗？把你的方法告诉你的同伴。

2.做一做：如图为王老师家装潢是不小心打破的一平行四边形的玻璃材料，问利用哪一块玻璃可配一块与原来一样的玻璃，请利用所学的知识画出平行四边形。

[3]热身练习

1．下列两个图形，可以组成平行四边形的是（）

A.两个等腰三角形B.两个直角三角形C.两个锐角三角形D.两个全等三角形

2．已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件

是：（只需填一个你认为正确的条件即可）。

3．下列给你的条件中，能判别一个四边形为平行四边形的是（）

A．一组对边平行B．一组对边相等

C．两条对角线互相平分．D．两条对角线互相垂直

[3]例题讲解

如图，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF。试说明四边形AFCE是平行四边形。

AED

BFC

[4]随堂练习

1．如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形。

2．如图所示，在ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE=OF.

(1)OA与OC、OB与OD相等吗？

(2)四边形BFDE是平行四边形吗？

⑶若点E、F在OA、OC的中点上，你能解决(1)(2)两问吗？

[5]思维训练

四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，请你写出两个条件，据此能判断出四边形ABCD是平行四边形。如果把这样的两个条件当作一组，你能写出几组？（用符号

语言表示）

[6]课堂小结

平行四边形的识别条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

[7]作业

见作业本

探索平行线的条件篇13

探索并掌握平行四边形的判定条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；

两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

2、能力目标：

（1）经历平行四边形判别条件的探索过程，使学生逐步掌握说理的基本方法；并在与他人交流的过程中，能合理清晰地表达自己的思维过程。

（2）在补全平行四边形的过程中，培养学生的动手画图能力及丰富的想象力，积累数学活动经验，增强学生的创新意识。

3、情感目标：

（1）让学生主动参与探索的活动，在做“数学实验”的过程中，发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯，激发学生学习数学的热情和兴趣。

（2）通过探索式证明学习，开拓学生的思路，发展学生的思维能力。

（3）在与他人的合作过程中，培养学生敢于面对挑战和勇于克服困难的意志，鼓励学生大胆尝试，从中获得成功的体验，培养学生的合作意识和团队精神。

二、教学重点、难点分析：

教学重点：平行四边形的判定方法

教学难点：平行四边形判定方法的应用。

三、教学策略及教法设计：

教学策略：创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的识别”的方法。

学生学习策略：明确学习目标，了解所需掌握的知识，在教师的组织、引导、点拨下主动地从事观察、实验、猜测、验证与交流等数学活动，从而真正有效地理解和掌握知识。

【教法】

探索法：让学生在补全平行四边形的活动过程中，积累数学活动经验。

讨论法：在学生进行了自主探索之后，让他们进行合作交流，使他们互相促进、共同学习。

练习法：精心设计随堂变式练习，巩固和提高学生的认知水平。

四、教学过程设计：

1、复习

复习回顾：前面我们学习了平行四边形的哪些特征？

2、新课

（1）画一画：

问题：学生小王很调皮，在课间的时候也想学数学老师的样子用三角尺在黑板上画平行四边形，可是画到了一半，上课了，数学老师进来了，小王还来不及擦掉就赶紧回到了自己的座位上。请同学们观察小王留在黑板上的图形，你们能将他未画完的平行四边形补充完整吗？用尽可能多的方法，并且能说明你的理由。

学生分小组进行讨论，拿出补全方案，并尝试从平移与旋转的角度和简单推理进行说明；教师分别到各小组参与学生讨论，检查并指导学生活动。让学生思考讨论，再各自画图，画好后互相交流画法，教师巡回检查。对个别学困生可适当点拨，最后请学生回答画图方法。学生可能想到的画法有：1。分别过A、C作BC 、AB的平行线，两平行线相交于D；2。过C作AB的平行线，再在这平行线上截取CD=AB；3。连结AC，取AC的中点O，再连结BO至D，使BO=DO，连结AD、CD。4。分别以A、C为圆心，以BC、AB的长为半径画弧，两弧相交于D，连结AD、CD；

提问：同学们怎样知道作出的图形是否都是平行四边形呢？请同学们想一想。让让学生充分的发表自己的见解，然后教师归纳整理。

第一种方法，由平行四边形的定义可知，它是平行四边形。

第二种方法，AB∥CD，即把AB平移至DC，由平移特征，有AB∥CD，AD∥BC，

根据平行四边形的定义，我们知道四边形ABCD是平行四边形。

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

由此可以确定这一四边形是平行四边形。

教师控制好活动的时间，对于其它画法的讨论，可让学生课后讨论，下一节课解决）

（2）做一做

1、下列两个图形，可以组成平行四边形的是（ ）

A、两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 两个锐角三角形D. 两个全等三角形

2、已知：四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD为平行四边形，需添加一个条件

是：（只需填一个你认为正确的条件即可）。

3、下列给你的条件中，能判别一个四边形为平行四边形的是（ ）

A、一组对边平行 B、一组对边相等

C、两条对角线互相平分.D、两条对角线互相垂直

3、例题讲解

如图，在平行四边形ABCD中，已知点E和点F分别在AD和BC上，且AE=CF，连结CE和AF。试说明四边形AFCE是平行四边形。

4、随堂练习

1、如图，AC∥ED，点B在AC上且AB=ED=BC，找出图中的平行四边形。

2、如图所示，在 ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在对角线AC上，且OE=OF.

（1）OA与OC、OB与OD相等吗？

（2）四边形BFDE是平行四边形吗？

（3）若点E、F在OA、OC的中点上，你能解决（1）（2）两问吗？

5、思维训练

四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，请你写出两个条件，据此能判断出四边形ABCD是平行四边形。如果把这样的两个条件当作一组，你能写出几组？（用符号语言表示）

6、课堂小结

平行四边形的判定条件：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形。

五、教后反思