数学思想篇1
新的课程标准中强调过程与方法，把知识产生的过程和解决问题的方法提到了一个新的高度。因此，数学教学中大力加强数学思想的教学势在必行。某种意义上来说，不教思想的课不能算是好课，这不仅是一个思想教学问题，更是一个教学思想的问题。因此，亟待弄清数学思想与数学教学思想之间的关系，以利于更好地指导中学数学教学的改革。
一、数学思想与数学教学思想的区别
首先是概括的对象不同。数学思想是对数学规律的本质认识，它是数学科学与数学学科固有的，它是数学的灵魂。而数学教学思想是对数学教学规律的本质认识，它既是数学教学实践活动的产物，又是其指南。它是人们观察、处理数学教学问题，进行教学工作的指导思想，它能经常直接地对数学教学活动发挥定向、控制、执行和反馈的功能，指导数学教学工作正常有效地进行；其次是结构的不同，数学思想包括数学观、认识论、方法论以及渗透在数学知识结构（概念、判断、推理等）的各个层次中的思想火花，而数学教学思想涉及到多学科，尤其与数学、教育学、心理学、哲学、逻辑学等都有紧密的联系；再次是功能的不同。数学教学从外显的知识到内隐的思想，既意味着内涵深化，又意味着功能扩展。有调查资料表明，我国的中学生毕业后，直接用到的数学知识并不太多，更多的是受到数学思想的熏陶与启迪。数学思想在优化学生所学知识的组成方式，发展数学思维，提高问题解决能力等方面有着广泛而重大的作用。而数学教学思想是决定教师进行的教学活动效果的核心因素。不管怎么说，对数学教学总的看法，肯定会自觉地或不自觉地在教学中反映出来，它制约着教学方法的运用，直接影响着数学教学目标的选择与实现；最后是发展特点不同。数学史可以看作一部思想斗争史，数学思想是数学发展的历史长河中积淀下来的精华，它是数学对象及其关系结构反映在人们的意识中经过思维活动而得到的结晶。随着数学的发展，数学思想日益丰富，而数学教学思想是教学论知识的活化和数学教学实践经验类化的结果，其主要来源是数学教学经验的科学总结，对我国古代教学思想的批判继承，从外域的教学思想中取得借鉴，随着时代的进步，社会的发展，数学教学思想也是不断发展的。
二、数学思想和数学教学思想的联系
数学教学思想指导数学教学的外在组织形式，而数学思想指导教学的内在组织形式，它们都是数学教学理论的重要组成部分。
第一，数学思想是数学教学思想的内核。数学思想与数学教学思想都具内隐性，数学学科有着丰富的思想，以数学思想为内核的数学教学思想更科学，优选教学方法更有效。如在方程（组）教学中，强化消元与降次的思想，可采用很普通的单元教学法。这样，能充分体现充满在整个数学中的“思想经济化”的精神，变“板块式”教材为“螺旋式”教学，斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》中指出：“实际上，与其说是在中学教学现代数学，倒不如说是数学的现代教学”。波利亚也强调把数学中“有益的思考方式，应有的思维习惯”放在教学的首位，把“数学教给所有的人”。这些名家的论述都说明了数学思想应作为数学教学思想的内核。
第二，数学思想能活化数学教学思想。这里的活化指对数学思想的消化、验证、概括和具体迁移。教学的基本要求是重点突出，难点分散，重点往往要运用数学思想或揭示新的数学思想，数学思想史上的里程碑常常都是教学的难点。数学思想表现为一种意识或观念，很容易迁移到对象情景相似的场合中去。F.克莱因曾提出“用函数来思考”，奥加涅相提出“函数思维”，都强调了函数思想能活化为一种教学思想，这种函数教学思想能有效地帮助学生理解代数式、方程、曲线、函数、图象、不等式、数列等的内在联系，并且是一种“技术性”的教学思想，具有一般性、程序性和构造性的特征，有章可循，对数学教学有着直接而现实的指导意义。数形结合思想贯穿中学数学与数学教学的始终，它在我国从古至今一直是一种教学思想，强调数学应用的“培利运动”，强化现代数学思想教学的“新数运动”，波利亚的“合情推理”的教学思想，汉斯.弗赖登塔尔的“数学现实”、“数学再创造”的教学思想，本质上都是某种数学思想活化的结果。
第三，数学教学思想体现着数学教学规律的本质要求，教学过程的基本程序是：感知―理解―巩固―应用，而要领悟数学思想，则更需要渗透、提炼与反思。数学学科经过了教学法加工，数学教学思想必须充分反映数学的特点，没有数学思想的数学教学思想，是一碗“没有肉的淡汤”，没有先进的数学教学思想指导数学教学，数学思想可能会成为一块“嚼不动的牛肉”，目前的数学教学中，有人在苦口婆心地灌输大量公式和呆板的例题，有人依循一种有条不紊却异常乏味的“定义―公理―定理”的方式进行马拉松式地讲授，也有人特别偏爱魔术般地板演刁钻难题而忽视基础知识与技能，淡化数学思想的教学，不尽快克服这些弊端，后果实在堪忧。
三、数学思想向数学教学思想迁移的条件
数学思想向数学教学思想迁移的问题也即转变数学教学思想的问题。
第一，充分发掘教材内潜在的思想是迁移的前提。巧妇难为无米之炊。首先要发掘教材内蕴含那些思想，构成怎样的体系，教学价值各是什么，认识到数学思想的存在，才有可能根据它来指导数学教学。
第二，进行有效的教学实践活动是更新数学教学思想的基础。教学实践是检验数学教学思想正误、优劣的唯一标准。就目前研究看，数学思想在完善学生数学认识结构过程中起着核心的作用，如波利亚主张的让学生主动探索、猜测、修正结论的合情推理的数学，奥苏伯尔的先行组织者教学，刺激――反应――强化机制的教学思想都具有操作性特点，需要大力实践，摸索经验，积淀出数学教学思想。
数学思想篇2
在已知数与未知数之间建立一个等式，把生活语言“翻译”成代数语言的过程就是方程思想。笛卡儿曾设想将所有的问题归为数学问题，再把数学问题转化成方程问题，即通过问题中的已知量和未知量之间的数学关系，运用数学的符号语言转化为方程（组），这就是方程思想的由来。
在小学阶段，学生在解应用题时仍停留在小学算术的方法上，一时还不能接受方程思想，因为在算求解题时，只允许具体的已知数参加运算，算术的结果就是要求未知数的解，在算术解题过程中最大的弱点是未知数不允许作为运算对象，这也是算术的致命伤。而在代数中未知数和已知数一样有权参加运算，用字母表示的未知数不是消极地被动地静止在等式一边，而是和已知数一样，接受和执行各种运算，可以从等式的一边移到另一边，使已知与未知之间的数学关系十分清晰，在小学中高年级数学教学中，若不渗透这种方程思想，学生的数学水平就很难提高。例如稍复杂的分数、百分数应用题、行程问题、还原问题等，用代数方法即假设未知数来解答比较简便，因为用字母x表示数后，要求的未知数和已知数处于平等的地位，数量关系就更加明显，因而更容易思考，更容易找到解题思路。在近代数学中，与方程思想密切相关的是函数思想，它利用了运动和变化观点，在集合的基础上，把变量与变量之间的关系，归纳为两集合中元素间的对应。数学思想是现实世界数量关系深入研究的必然产物，对于变量的重要性，恩格斯在自然辩证法一书有关“数学”的论述中已阐述得非常明确：“数学中的转折点是笛卡儿的变数，有了变数，运动进入了数学；有了变数，辨证法进入了数学；有了变数，微分与积分也立刻成为必要的了。”数学思想本质地辨证地反映了数量关系的变化规律，是近代数学发生和发展的重要基础。在小学数学教材的练习中有如下形式：
6×3= 20×5= 700×800=
60×3= 20×50= 70×800=
600×3= 20×500= 7×800=
有些老师，让学生计算完毕，答案正确就满足了。有经验的老师却这样来设计教学：先计算，后核对答案，接着让学生观察所填答案有什么特点（找规律），答案的变化是怎样引起的？然后再出现下面两组题：
45×9= 1800÷200=
15×9= 1800÷20=
5×9= 1800÷2=
通过对比，让学生体会“当一个数变化，另一个数不变时，得数变化是有规律的”，结论可由学生用自己的话讲出来，只求体会，不求死记硬背。研究和分析具体问题中变量之间关系一般用解析式的形式来表示，这时可以把解析式理解成方程，通过对方程的研究去分析函数问题。中学阶段这方面的内容较多，有正反比例函数，一次函数，二次函数，幂指对函数，三角函数等等，小学虽不多，但也有，如在分数应用题中十分常见，一个具体的数量对应于一个抽象的分率，找出数量和分率的对应恰是解题之关键；在应用题中也常见，如行程问题，客车的速度与所行时间对应于客车所行的路程，而货车的速度与所行时间对应于货车所行的路程；再如一元方程x+a=b等等。 学好这些函数是继续深造所必需的；构造函数，需要思维的飞跃；利用函数思想，不但能达到解题的要求，而且思路也较清晰，解法巧妙，引人入胜。
二、化归思想
化归思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个 较简单的问题。应当指出，这种化归思想不同于一般所讲的“转化”、“转换”。它具有不可逆转的单向性。
例： 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次可向前跳4 1/2 米，黄鼠狼每次可向前跳2 3/4米。它们每 秒种都只跳一次。比赛途中，从起点开始，每隔12 3/8米设有一个陷阱， 当它们之中有一个掉进陷阱时，另 一个跳了多少米？
这是一个实际问题，但通过分析知道，当狐狸（或黄鼠狼）第一次掉进陷阱时，它所跳过的距离即是它每 次所跳距离4 1/2（或2 3/4）米的整倍数，又是陷阱间隔12 3/8米的整倍数，也就是4 1/2和12 3/8的“ 最小公倍数”（或2 3/4和12 3/8的“最小公倍数”）。针对两种情况，再分别算出各跳了几次，确定谁先掉 入陷阱，问题就基本解决了。上面的思考过程，实质上是把一个实际问题通过分析转化、归结为一个求“最小公倍数”的问题，即把一个实际问题转化、归结为一个数学问题，这种化归思想正是数学能力的表现之一。
三、极限的思想方法
数学思想篇3
高等数学教学主要的特点在于它是数学思维的教学。高等数学教学中应该注意数学思想的运用和渗透。
一、高等数学教学是数学思维的教学
高等数学教学时应该一切从思路出发，力图让每个学生搞清知识点间的联系。比较重要的是抓住思维的直观性、合理性和层次性这三个方面：
（一）数学思维的直观性
高等数学教学一般有四种类型：浅入浅出、浅入深出、深入深出、深入浅出。最高境界是深入浅出，高等数学中不少内容较为抽象，教学中应该能把深奥的道理用非常通俗的语言来叙述，让人一听就懂。
（二）思维的合理性
知识的呈现应该是水到渠成的结果，而不是像变魔术那样让学生感到不可捉摸，更不能故作高深来显示自己。而要做到这一点，关键是要知道你为什么要教这个知识？要尽可能按照人类认识事物的一般顺序来启发学生思考。
（三）思维的层次性
首先，要理清知识的层次关系。
其次，要注意启发的层次性。启发一般采用由远及近的方法来进行，一开始问题可以提得比较宏观一点，这样可以更好地拓展学生的思维，如果学生思考有困难，可以将问题提得更具体一点，如果学生还有困难，问题还可以提得再具体一点，……，这样逐步深入，直到学生真正理解为止。
二、用数学思想将数学知识统一起来
教师在高等数学教学中应充分渗透数学思想方法，充分发挥数学思想方法在数学教学中的指导作用、统摄作用，要用数学思想这一线索将零散的知识统一起来。让学生学会从数学思想方法这一高度居高临下认识高等数学的本质。
下面介绍两种比较重要的数学思想：模式思想和转化思想：
（一）模式思想
著名数学家、数学哲学家A.N.怀特海曾经指出：“数学是在从模式化的个体作抽象的过程中对模式进行研究的科学。人们正是通过模式这种有限的东西而达到对无限的宇宙的认识的。”
下面通过■（1+■）x=e这一重要极限（模型）的教学来具体说明高等数学教学中如何体现模型思想。
众所周知，■（1+x）■=e，■（1+■）■=e与■（1+■）x=1这三个极限之间的区别与联系也是很多学生常常出现混淆的地方。为了避免学生产生混淆，在教材中可以按照以下步骤来分析和掌握这三个极限的共同本质并在此基础上建构■（1+■）x=e这一重要极限模型。
首先，提示并引导学生探究重要极限的本质特征。引导学生归纳出前两个极限所具有的共同特征，即不管加数是x还是■，其本质都是无穷小。换句话说，就是应将学生的注意力引向判断与1相加的到底是不是无穷小这一本质，而不应该让学生只是无谓地纠缠，到底是x还是■这一表面现象。然后再进一步归纳出指数不管是x还是■，它始终等于这个无穷小的倒数。那么就不仅可以将公式■（1+x）■=e，■（1+■）■=e有机地统一在一起，避免犯■（1+x）■=e，■（1+■）■=e，而且可以与极限■（1+■）■=1更好地区别开来。当然，为了使学生更好地理解极限■（1+x）■=e的本质，在教学中还可以提出一些问题，如求■（1+x）■，■（1+x）■等更一般的情形来让学生通过比较和辨别来更好的认识极限■（1+x）■=e的本质特征。
其次，在探究基础上归纳极限特征。在学生进行探究的基础上让学生归纳出极限■（1+x）■=e的三个重要特征：底数与指数中都有变量；底数为1和无穷小之和；指数刚好是底数中无穷小这一加数的倒数。
最后，列出运用重要极限解题的一般步骤。首先识别所求极限是否适用于这一公式（即底数与指数中都有变量）；如果适用，则将底数化为1和无穷小之和的形式（把底数变成“1+X”的形式）；通过乘或加的方法使指数中出现的倒数■（需要注意的是如果用乘法，必须有一因式为常数）；运用公式求极限。其它有关运算。
（二）转化思想
匈牙利著名数学家路莎·彼得在她的名著《无穷的玩艺》一书中对“化归方法”作过描述：“数学家往往不对问题进行正面的攻击，而是不断地将它变形，直至把它转化为已经能够解决的问题。”高等数学教学中应该注意培养学生的转化思想，并尽可能让他们养成运用转化思想解决问题的习惯。
下面以罗必塔法则的教学为例来进行说明：
我们知道，除了“■”型和“■”型的未定式外，还有“0·∞”型、“∞±∞”型、“00”型、“1∞”型、“∞0”型等类型的未定式。求解这类未定式极限的基本思想是采用转化的数学思想方法，先将它们转化为“■”型和“■”型这两种基本的未定式。
例：求■xx。
在解决这道问题时，教师可以这样启发学生：“前面我们已经学过‘■’型和‘■’型的未定式，现在又出现了‘00’ 这是一未定式，如何来求这类未定式的极限呢？”如果学生不能想到将其转化为“■”型或“■”型的未定式，教师可以进一步启发学生：“可不可以将其转化为‘■’型或‘■’型的未定式呢？”，如果学生认为可以，那么可以进一步启发学生：“怎样才能将‘00’型未定式转化为‘■’型或‘■’型的未定式？”通过这样的启发学生应该不难想到：必须将乘方运算转化为乘除运算，而将乘方运算转化乘除运算的基本方法是取对数。
解：方法一：设y=xx，取对数得
lny=xlnx，
■lny=■xlnx=■■=■■=-■x=0，
然后再根据复合函数的连续性得：ln（■y）=■（lny）=0。
从而有■y=1，即■xx=1。
方法二：利用公式x=elnx将乘方运算转化为乘除运算。
■xx=■exlnx=e■=e■=e■=e■=e0=1。
高等数学是高等教育中重要且基础的课程之一，对高等数学理解的深入程度对大学生今后的发展常常起着至关重要的作用。同时高等数学又往往是不少大学生深感头痛并且难以掌握的课程之一。作为高校教师，我们在考虑高等数学整体教学方案，或者考虑具体知识点的讲授的合理性时，我们始终注意数学思维的教学，并且注意模式思想和转化思想的灵活运用，则往往有事半功倍的效果。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 陈琦，刘儒德.当代教育心理学[M].北京：北京师范大学出版社，1997.
数学思想篇4
二、转化思想
客观事物总是在不断变化，并在一定条件下进行转化。事物之间的转化，反映在数学上就是转化思想，又称化归思想。转化思想是数学思想的核心，其内涵十分丰富：有复杂向简单的转化、抽象向直观的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化、未知向已知的转化、一般向特殊的转化等等。转化思想在数学中无时不有，无处不在。就其内容而言，有运算的转化，如加法与减法的转化、乘法与除法的转化；有式的转化，如无理式向有理式的转化、分式向整式的转化、函数式向方程式的转化；还有方法的转化，等式不等式形态的转化，问题表达方式的转化，解题过程中的一系列转化等等。转化思想贯穿于解题过程的始终。它是最重要的应用最广的数字思想。
三、分类思想
当一个数学问题难以解决时，有时可按某一标准把这个问题分成若干种不同的情况，然后对每种情况分别进行讨论，这种解决数学问题的思想就是分类思想。分类思想是初中阶段的重要思想方法之一。运用分类思想处理数学问题时要注意两点：一是分类标准相同；二是不重复、不遗漏。在概念教学中，为了明确概念的外延，常常要运用分类思想对概念进行分类，而且有些概念是直接运用分类思想以揭示其外延的方式定义的，如有理数、绝对值、实数整式等。总之，分类思想是研究概念的外延、图形的位置关系、函数性质等问题的基本思想。
四、类比思想
根据两种事物在某些特征上的相似性，作出它们在其他特征上也可能相似的结论，这种推理思想运用在数学上就是类比思想。如：通过与有理数的相反数、绝对值、运算律类比得到实数的相反数、绝对值、运算律；通过与分数概念、分数基本性质类比得到分式概念、分式基本性质；通过与分数约分、通分的方法类比得到分式的约分、通分的方法，等等。
五、函数与方程思想
运动变化、相互关系、相互制约，是客观世界的普遍规律，函数与方程思想就是这一规律在数学中的反映。函数描述了自然界中量与量的依存关系，反映了一事物随另一事物的变化而变化的客观规律。在解决某些问题时，常常要抽象出问题的数学特征，建立一个恰当的函数关系，再利用该函数的性质来解决问题。这种通过建立函数关系并运用函数性质来解决数学问题的思想就是函数思想。方程是含有未知数和已知数的等式，因此，方程反映了已知量和未知量相互制约的条件，架设了由已知到未知的桥梁。任何一个联系生产和生活的数学问题，都有已知和未知，把已知和未知间的关系通过方程表达出来，再利用解方程的办法求得未知，这就是方程思想。简单地说，运用方程这一工具来解决数学的问题的思想就是方程思想。
数学思想篇5
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。函数是中学数学的一个重要概念，它渗透在数学的各部分内容中，一直是高考的热点、重点内容。函数的思想，就是用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，建立函数关系，运用函数的知识，使问题得到解决.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征，重在对问题的变量的动态研究，从变量的运动变化，联系和发展角度拓宽解题思路。函数的思想方法是贯穿于整个高中数学的一条主线.是中学数学最重要的、最基本的数学思想方法之一，故有“函数乃高中数学之纲”说法。函数的思想方法就是运用运动和变化的观点, 集合和对应的思想, 去分析问题的数量关系, 通过类比、联想、转化合理地构造函数, 运用函数的图象和性质, 使问题获得解决.
函数思想是一种考虑对应、考虑运动变化、相依关系，以一种状态确定地刻画另一种状态，由研究状态过渡到研究变化过程的思想方法，函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系。
用函数的观点、方法研究问题的方法：
将非函数问题转化为函数问题，建立函数关系，研究这个函数，得出相应的结论。 实
际上，函数方法就是RMI（关系映射反演则）的一个具体体现，应用函数思想方法解答数学习题的过程可用框图表示为：
二、中学数学中的函数思想
中学数学主要学习初等函数，由幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且在定义域上能用一个解析式表示的函数。一般来说，分段函数不是初等函数，因为在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示，但y=|x|是初等函数。
高中函数定义：设 ， 是非空的数集，如果按照某种确定的关系 ，使对于集合中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称为集合到集合 的一个函数 。
函数思想方法，不仅仅是使用函数的方法来研究解决函数的问题。构建函数关系式，使用函数的方法来研究解决非函数的问题应该是函数思想的核心。因此，可以认为函数思想的精髓是构建函数关系，产生使用函数方法来解决问题的思路。中学数学中，代数式、方程、数列、不等式等问题都可利用函数思想得以简解；特别是高中数学教材中，函数思想的内容相当广泛。
三、函数思想方法在中学数学解题中的应用
函数思想方法的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。有些方程问题可以用函数的方法解答，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，而且要常常借助函数的图象进行转化。常用有以下一些方法：
（一）、利用函数的定义域,值域思想方法
例1．已知函数 的定义域为R，求实数 的取值范围。
分析：“函数的定义域是指使函数解析式有意义的自变量取值的最大范围”，
解：依题设， ，解析式有意义即“对任意x∈R都有 成立”即方程 无实根成立，分类讨论，
当 时， 满足要求；
当 时，则有 ，即 时满足要求。
综上：
例2．已知 的定义域为 ，求函数 的定义域。
解：由 的定义域为 可得 的定义域为 ，由 ，解得 或
的定义域为
（二）、利用函数的单调性思想方法
例3．已知函数 在上是增函数，求的取值范围。
分析：一元二次函数应抓住开口方向以及对称轴与给定区间端点的位置关系，特别注意对称轴与端点重合也是满足的。
解： 的对称轴为：
由题意可知：所以
例4． 比较 三者的大小.
解：
由于幂函数 在 上是严格单调增函数，所以
（三）、利用函数的奇偶性思想方法
例5. 函数 是偶函数，则函数 的对称轴是（ ）
A、 B、C、 D、
解：由 为偶函数可知对称轴为 ，由转化为
是将函数图像向左平移了 个单位， 的对称轴为
例6. 求证：
分析与证明：设 .因为
，
所以 是偶函数，图象关于 轴相对称。因为当 时， ，
所以 ，即 。
（四）、利用函数的周期性思想方法
例7．设定义在R上的奇函数且满足 ,当 时,,求 .
解： ， ，
（五）、利用一次函数、二次函数的性质思想方法
由于等差数列的通项公式是关于 的一次函数，等差数列的求和公式是关于 的二次函数（缺常数项），故可利用函数求 .
例 8.已知 是等差数列， ，求 的值.
解析：由于等差数列的前 项和是关于 的二次函数且缺常数项, 于是可设 ，则有
① -②得： ，即
∋
（六）、利用函数图象的思想方法
例9．设 ，
若 ,求实数 、 得取值范围
解：化简集合A得 , 设，， ，则 ,由 得 且 ，即区间 应分别被集合 ， 对应的区间所覆盖，作， 的图象，有
且 解得 ，
培养、提高学生解决数学问题的能力，是我们中学数学的重要任务之一。应用函数思想方法对培养、提高学生解决数学问题的能力有极大的帮助。从前面各个例题中可以看到，函数思想的精髓是构建函数关系，通过引入函数，将数学问题转化为一个函数问题，并利用函数知识和方法来处理它。
附录：【参考文献】
・ 莫里斯・克莱因,《古今数学思想》（第二册），上海科学技术出版社
・ 叶立军,《数学方法论》，浙江大学出版社
数学思想篇6
所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。
1. 明确基本要求，渗透“层次”教学 《数学大纲》对小学数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、化归的思想、类比的思想等。这里需要说明的是，有些数学思想在教学大纲中并没有明确提出来。教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《教学大纲》中要求“了解”的方法有：分类法、反证法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们推动信心。我们在教学中，要牢牢地把握住“度”，千万不能随意拔高、加深。否则，教学效果将是得不偿失。
2. 从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法” 关于小学数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在小学数学中，许多数学思想和方法是一致的，两者之间很难分割。它们既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在小学数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，是使数学思想与方法得到交融的有效方法。比如化归思想，可以说是贯穿于整个小学阶段的数学，具体表现为从未知到已知的转化、一般到特殊的转化、局部与整体的转化，课本引入了许多数学方法。在教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。
数学思想篇7
数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。如常用的分类思想和分类方法，集合思想和交集方法，在本质上都是相通的，所以小学数学通常把数学思想和方法看成一个整体概念，即小学数学思想方法。
对小学数学各个年级各个版本各册教材进行梳理，小学阶段可渗透的思想方法有：对应思想方法、假设思想方法、比较思想方法、符号化思想方法、类比思想方法、转化思想方法、分类思想方法、集合思想方法、数形结合思想方法、统计思想方法、极限思想方法、代换思想方法、可逆思想方法、数学模型思想方法等。
在小学数学中，数学思想方法给出了解决问题的方向，给出了解决问题的策略。这就需要教师挖掘、提炼隐含于教材的思想方法，纳入到教学目标。有目的、有计划、有步骤地精心设计教学过程，有效地渗透数学思想方法。
用数学思想理解数学概念的内容，培养学生准确理解概念的能力。如在讲解概念时，数行结合，化抽象为具体，结合图形加深理解。在二年级上册教学倍的认识时，学生较难理解，利用线段图，帮助学生从直观到抽象，学生学起来轻松自如。在小数的意义教学中对0.3的理解，出示一张正方形白纸让学生表示出来，再通过画数轴表示，多让学生评评说说，充分发表自己的想法，让学生在不断的探索中，借助图形自主构建小数的意义，接着借助大量的直观模型，使学生对小数的认识层层递进，使学生的思维经历由具体到抽象的过程。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考路径形象地外显，非常直观，易于学生理解。
数学思想篇8
数学推理的思想:推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提,根据前提所得到的判断叫结论。推理分为两种形式:演绎推理和合情推理。演绎推理是根据一般性的真命题(或逻辑规则)推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是:当前提为真时,结论必然为真。演绎推理的常用形式有:三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。合情推理是从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有:归纳推理和类比推理。当前提为真时,合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
数学建模的思想:数学建模就是指用数学的语言描述实际现象,通过设计数学方法,最终解决实际问题的整个过程。在现实中为了要解决实际问题,在实际问题与数学之间架设一座方便之桥。并用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构。通过数学的计算、分析、找到解决问题的有效途径。数学模型的主要表现形式是数学符号表达式和图表,因而它与符号化思想有很多相通之处,同样具有普遍的意义。不过,也有很多数学家对数学模型的理解似乎更注重数学的应用性,即把数学模型描述为特定的事物系统的数学关系结构。
数学模型是运用数学的语言和工具,对现实世界的一些信息进行适当的简化,经过推理和运算,对相应的数据进行分析、预测、决策和控制,并且要经过实践的检验。如果检验的结果是正确的,便可以指导我们的实践。
基于上述数学基本思想又可以演变、派生、发展出一些思想,主要体现如下:
一、由“数学抽象的思想”派生出来的有:分类的思想、集合的思想、数学形结合的思想,变中不变的思想、符号表示的思想、对称的思想、对应的思想、有限与无限的思想等。
二、由“数学推理的思想”派生出来的有:归纳的思想、演绎的思想、公理化思想、转换化归的思想、联想类比的思想、逐步逼近的思想、代换的思想、特殊与一般的思想等。
三、由“数学建模的思想”派生出来的有:简化的思想、量化的思想、函数的思想、方程的思想、优化的思想、随机的思想、抽样统计的思想等。
对各个数学思想的内涵界定
1、分类的思想:所谓分类,就是根据对象的某一属性特征把它们不重复不遗漏地划分为若干类别。分类的思想是根据数学本质属性的相同点和不同点,将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础,比较是分类的前提,分类是比较的结果。
所谓数学分类讨论方法,就是将数学对象分成几类,分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性,能训练人的思维条理性和概括性。分类思想可不象一般的数学知识那样,通过几节课的教学就可让学生掌握应用。而是要根据学生的年龄特征,学生在学习的各阶段的认知水平,逐步渗透,螺旋上升,不断的丰富自身的内涵,从而达到利用数学分类讨论方法来解决问题的目的。
2、集合的思想:把指定的具有某种性质的事物看作一个整体,就是一个集合(简称集),其中每个事物叫做该集合的元素(简称元)。给定的集合,它的元素必须是确定的,即任何一个事物是否属于这个集合,是明确的。如“学习成绩好的同学”不能构成一个集合,因为构成它的元素是不确定的;而“语文和数学的平均成绩在90分及以上的同学”就是一个集合。一个给定集合中的元素是互不相同的,即集合中的元素不重复出现。只要两个集合的元素完全相同,就说这两个集合相等。
集合的表示法一般用列举法和描述法。列举法就是把集合的元素一一列举出来,并用花括号“{}”括起来表示集合的方法。描述法就是在花括号内写出规定这个集合元素的特定性质来表示集合的方法。列举法的局限性在于当集合的元素过多或者有无限多个时,很难把所有的元素一一列举出来,这时描述法便体现出了优越性。此外,有时也可以用封闭的曲线(文恩图)来直观地表示集合及集合间的关系,曲线的内部表示集合的所有元素。
3、数学形结合:数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学,数和形之间是既对立又统一的关系,在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等,这里的形是指几何图形和函数图象。
数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化,使得原本需要通过抽象思维解决的问题,有时借助形象思维就能够解决,有利于抽象思维和形象思维的协 调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉,形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。
4、变中不变的思想:变与不变,是具有辩证关系的范畴。当指事物及其相关联的因素,在不断地变化着,但这些变化的趋势和因素中,又同时存在不变的状况,或者现象变,本质不变;局部变,整体不变;暂时变,最终不变,等等。有些思考和思想对象,往往是千变万化,令人眼花缭乱的,但如果抓住其本质,就可以不变应万变,以静制动,最终有效解决问题。显然,变中抓不变的思想方法,有利于解决错综复杂的问题,能透过现象看本质,根据局部把握全局等等。这是一个很有哲学意义的方法。
5、符号表示的思想:“符号”,一般说来就是某种事物的代号,它的意义是采用对应的方式,把一个复杂的事物用简便的形式表现出来。数学符号是进行空间形式和数量关系表示、计算、推理的工具,是人们对于客观事物运动规律的最直观、最简明的表达方式,是交流与传播数学思想的媒介。
所谓符号化思想就是用一种符号代替原物,不用原物而用符号进行表示、交流、运算等活动的思想。数学符号是数学的语言,数学世界是一个符号化的世界,数学作为人们进行表示、计算、推理和解决问题的工具,符号起到了非常重要的作用;因为数学有了符号,才使得数学具有简明、抽象、清晰、准确等特点,同时也促进了数学的普及和发展;国际通用的数学符号的使用,使数学成为国际化的语言。符号化思想是一般化的思想方法,具有普遍/！/的意义。
6、对称的思想:对称关系广泛存在于数学问题中,对称美是数学美的一个方面。充分利用对称原理,可使我们在解决问题时多一条有效通道,且往往能更简便地使问题得到解决。我们将从对称性应用常见的四个方面入手进行学习:1、利用关系式中字母的对称;2、利用图形的对称;3、利用其他数学情形的对称;4、利用隐含条件揭示或构造对称。
对称,顾名思义,就是两个事物(或同一事物的两个方面)相对而又相称.如果A、B是具有对称性的两个事物(或同一事物的两个方 面), 那么把A、B交换顺序,其结果不变,这就是对称原理.在数学问题中,经常出现在某种意义下对称的形或式,如几何中的平行四边形、正柱体、正锥体、圆锥曲线;代数中的一些不等式、方程;函数f(x)与其反函数f-1(x)及它们的图象等等。充分利用好对称原理,可使我们在解决这类问题时多一条有效的通道,而且常能起到化繁为简,出奇制胜的效果。
7、对应的思想:对应,比喻在一个系统中的某一项在性质、作用或数量上等情况中,同另一系统中的某一项相当。对应思想,是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法,就是利用数量间的对应关系来思考数学问题。集合、函数、坐标等问题都以这一思想为基础。寻找数量之间的对应关系,也是解答应用题的一种重要的思维方式。对应思想主要分类有:数形对应、量率对应、量与量的对应、函数对应。
8、有限与无限的思想:有限与无限的思想就是将无限的问题化为有限来求解,将有限的问题化为无限来解决,利用已经掌握的无限问题的结论来解决新的无限问题。
9、归纳的思想:归纳法是通过对一些个别的、特殊的情况加以观察、分析,进而导出一个一般性结论的推理方法。归纳法是一种从特殊到一般的推理方法。归纳法的本质特征是从已知到未知,从特殊性到一般,从个性到共性,从经验事实到事物内在规律的飞跃的过程。
10、演绎的思想:所谓演绎推理,就是从一般性的前提出发,通过推导即“演绎”,得出具体陈述或个别结论的过程。
11、公理化思想:简单地说,公理就是大家公认的、不证自明的道理,它是人们研究问题和交流观点的共同基础。所谓公理化,就是指在建构一门学科理论体系时,从尽可能少的原始概念(不加定义的概念)和一组公理出发,遵循逻辑规则,定义其他概念,演绎和推理其他命题,从而把门理论建成演绎系统的方法。
在一个数学理论体系中,我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理,以此为出发点,利用纯逻辑推理的规则,把该理论体系建立成一个演绎系统,这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想。
12、转换化归的思想:人们在面对数学问题,如果直接应用已有知识不能或不易解决该问题时,往往将需要解决的问题不断转化形式,把它归结为能够解决或比较容易解决的问题,最终使原问题得到解决,把这种思想方法称为化归(转化)思想。
从小学到中学,数学知识呈现一个由易到难、从简到繁的过程;然而,人们在学习数学、理解和掌握数学的过程中,却经常通过把陌生的知识转化为熟悉的知识、把繁难的知识转化为简单的知识,从而逐步学会解决各种复杂的数学问题。因此,化归既是一般化的数学思想方法,具有普遍的意义;同时,化归思想也是攻克各种复杂问题的法宝之一,具有重要的意义和作用。
13、联想类比的思想:联想是在学习的过程中由此及彼地沟通新旧知识的内在联系拓宽研究问题的思路。类比是通过比较来发现新旧知识的异同点,从而有效地实现知识迁移、因而联想、类比好似一对孪生兄弟,往往同时作用于某一数学对象,是一种很重要的数学思想方法。
14、逐步逼近的思想:根据问题的条件确定解决问题的大致范围,然后通过不断改进方法或者排除不可能的情形,逐步缩小问题的解的存在范围,从而最终获得问题的结果。这种思想称之为逐步逼近思想。
15、代换的思想:等量代换的定义:用一种量(或一种量的一部分)来代替和它相等的另一种量(或另一种量的一部分)。“等量代换”是指一个量用与它相等的量去代替,它是数学中一种基本的思想方法,也是代数思想方法的基础,狭义的等量代换思想用等式的性质来体现就是等式的传递性:如果a=b,b=c,那么a=c。真正使用到的等量代换为:8704;f(a=b∧f(a)f(b)),其中f是合式公式广义的等量代换举例来说就是:“如果李四是张三的同义词,张三是人,那么李四是人”。这个数学思想方法不仅有着广泛的应用,而且是今后进一步学习数学的基础,是一个非常重要的知识点,甚至到了大学都会使用。
16、特殊与一般的思想:所谓特殊与一般的思想包括两个方面:通过对某些个体的认识与研究,逐渐积累对这类事物的了解,再逐渐形成对这类事物的总体认识,发现特点,掌握规律,形成公式,由浅入深,由现象到本质,由局部到整体,从实践到理论,这种认识事物的过程就是由特殊到一般的认识过程;在理论指导下,用已有的规律解决这类事物中的新问题,这种认识事物的过程就是由一般到特殊的认识过程。由特殊到一般再由一般到特殊反复认识的过程,就是人们认识世界的基本过程,这一过程在数学的认识活动中有着重要的应用。
17、简化的思想:简化是一定范围内缩减对象(事物)的类型数目,使之在一定时间内足以满足一般需要的标准化形式。简化一般是在事后进行的,是在不改变对象质的规定性,不降低对象功能的前提下,减少对象的多样性、复杂性。
18、量化的思想:量化思想方法在数与代数领域的运用成果是“数”(字母和“式”是数的代表),而在几何、统计、概率中的运用成果是“量”——几何量与统计量。量化就是数学的一个基本思想方法,数学不管研究哪个领域,都会贯彻这个战略;而在不同领域,贯彻的具体策略又会有所差别。
例如:运用量化思想方法得出几何量“面积”。
首次研究面积是三年级下册第九单元《长方形和正方形的面积》,教材是按如下顺序展开的。
第一步提出研究动因,74页该单元第一句话:“看看黑板的表面和课本的封面,说说哪一个面比较大,哪一个面比较小”——要研究和比较这一点,需要给“这一点”即这个几何属性取个名字。
第二步“取名字”即命名一个几何量,故紧接着说:“黑板表面的大小是黑板的面积”,即物体表面的大小叫面积。
第三步给这个几何量赋值即使每个图形表面的“面积”数值化。在 量化程序中赋值是奠基的、最关键的一步,所以教材不吝用5页篇幅来细致展开:
74-78页比较多组图形的面积大小,“黑板和课本”、“桌面和椅子面”、“手掌和树叶”、“正方形和长方形”、“四个省在地图上的图形”、“四个不规则多边形”等等,各组比较标准不一、只管本组谁大谁小。
但这些活动中暗藏一大转折——力图确定一个统一、公用的比较标准:75页例题,比较等宽的正方形和长方形面积用了两个方法,一是“我用重叠的方法”,二是“我用同一张纸分别去量”——这“二”就是转折;76页《想想做做》第3题,四个不规则多边形比较大小,因为都画在方格纸上,于是算算它们分别占了多少格就行了——“格”这个小正方形就成了统一、公用的比较标准。
转折的成果是规定面积单位,作为比较任何物体表面面积大小的共同标准,即78页中间那句话:“为了准确测量或计算面积的大小,要用同样大小的正方形的面积作为面积单位。边长是1厘米的正方形,面积是1平方厘米”,以及第79页一句话“边长是1米的正方形,面积是1平方米”。
用面积单位给“面积”这个几何量作了赋值,就能计算任何物体表面的面积,于是得出83页“长方形的面积=长×宽”和“正方形的面积=边长×边长”。
第四步规定面积这个几何量本身的加法计算:“面积”可加,“面积+面积=面积”。教材第82页探究长方形面积公式时已经未加证明地应用了这个可加性,在以后计量多面体表面积时也予以了应用。
第五步探究面积本身的其他运算——这一步看不到,为什么?因为“面”可分割即面积可减,很显然故不用啰嗦;面积的乘、除则不允许,因为面积与面积的积或商没有几何意义(长度不同,其和、差仍是长度——如折线长与多边形周长,积则是面积)。
量化程序的第六步导出算律无必要,因为计算时处理好单位之后只剩下纯数值计算,故“数与代数”领域已得出的五条算律都可应用。
19、函数的思想:函数思想的核心是事物的变量之间有一种依存关系,因变量随着自变量的变化而变化,通过对这种变化的探究找出变量之间的对应法则,从而构建函数模型。函数思想体现了运动变化的、普遍联系的观点。
20、方程的思想:方程思想的核心是将问题中的未知量用数字以外的数学符号(常用χ、y等字母)表示,根据相关数量之间的相等关系构建方程模型。方程思想体现了已知与未知的对立统一。
21、优化的思想:优化思想就是在有限种或无限种可行方案(决策)中挑选最优的方案(决策)的思想,是一个很重要的数学思想。它不仅在实际应用中有明显的价值,而且在小学数学教材要渗透的思想方法中所占比例相对较大。
数学思想篇9
小学数学是我国基础教育阶段非常重要的一门课程，与生活密切相关，新课程标准中要求学生能形成数学思维，并将所学的数学知识应用生活中，达到学以致用的目的。因此，实现小学数学教学改革，应贴合学生生活展开数学教学，注重培养学生数学思维，促使学生能通过学习解决生活中遇到的问题，革新传统教学方式，能让小学生获取基本的数学经验，在数学知识学习中形成自己的见解和看法，提高学生的学习乐趣。
一、数学思想与数学活动对小学数学教学的作用
数学思想和数学活动都是小学数学教学内容中的重点，开展小学数学教学，需要将数学思想和数学活动融入到小学数学教学过程中，小学数学课堂教学也要包含数学思想和数学活动，才能满足小学数学教学的目标。数学思想是小学生解决生活中数学问题的钥匙，小学中包含的数学思想一类是分类统计思想，一类是数形结合和符号化思想，是小学数学中对数的认识和数的运算，需要学生能深入学习数学思想，掌握数学思想的形象特征，明白特定符号的含义，理解数学符号中蕴含的数学象征和数量关系，这些也恰恰是小学数学教学的重点。小学数学活动是小学数学开展的实际形式之一，数学教学离不开数学活动，通过数学活动展开數学教学，才能让学生在活动中认识数学知识，掌握数学特征，数学活动是开展数学教学的关键，小学数学教学中要遵循数学教学特点，从小学生数学学习特征入手，注重学生的数学学习体验，在实践中开展数学知识教学，才能优化小学数学教学质量。因此小学数学活动含有实践性、体验性和趣味性等特点，才能切实调动小学生数学学习的积极性，更好地展开数学教学，为保证小学数学教学质量，教师必须要结合学生学习实践和生活体验，设计符合学生学习特征的教学活动，在实践中培养小学生的数学实践运用能力，丰富学生数学学习的体验，数学活动能充分调动学生的主观能动性。
二、数学思想和数学活动融入小学数学教学的有效策略
为培养小学生的数学思维，将数学思想和数学活动融入到小学数学教学中势在必行。首先，要契合小学生的学习和个性，从小学生的活泼好动的本性入手，小学数学教学要进让学生多动手、多交流、多学习，在实践互动中拓展学生的知识深度和知识广度，培养学生理性思考，深层次地理解数学知识，保证数学教学符合学生个性化发展和思维引导。教师要多组织学生之间的辩论和实践，以小组形式让学生辩论，在辩论中相互交流和沟通，通过辩论过程不断地提出问题和分析问题，引导学生创新，取长补短，全面提升班级学生数学学习的积极性。
其次，教师要让学生在学习中不断地挖掘知识和理解知识，促使学生在理性思考中，形成优良的数学思维习惯，在思考中不断创新，加深学生对数学学习内容的理解，并且提高数学教学的可操作性。例如在授课阶段中，将数学思想作为根本，用数学活动串联起整个数学课堂，保证数学课堂教学具有系统性和连贯性，在“圆的认识”中，采用剪纸的方式，通过美术的画画和图形教学结合，让学生在数学学习过程中利用纸张认识长方形、正方形和平行四边形与圆等多种形状，并通过剪纸让学生按照要求制作相应的图形，计算面积和认识周长，学生在实践活动中能切实感受不同形状的数学特征，并将特征和数学公式等联系起来。然后用相应的数形游戏或者是跑圈活动等，让学生用自身的感受，去学习圆中所包含的数学思想、计算方法，积极加强数学知识与数学思想的理解，通过数学活动和数学思想相互渗透，构建高效的小学数学教学课堂。
数学思想篇10
例1已知关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个大于1，另一个小于1，求实数k的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组，如果从函数观点出发，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，则由根的分布情况当k>0时函数的图像只能如图所示：
对应条件是k>0且f(1)
同理当k0。
解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函数图像知为使方程f(x)=0的两根一个大于1，另一个小于1，只需
k>0且f(1)
解得k>0或k
评注：本题是一个利用函数图像解决方程根的分布问题的典型例题，一般地，关于根的分布问题，均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得到巧妙解决。
二、转化和化归思想
在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。体现在数学解题中，就是将原问题进行变形，使之转化为我们所熟悉的或已解决的或易于解决的问题，就这一点来说，解题过程就是不断转化的过程。化归与转化的一般原则是：①化归目标简单化原则；②和谐统一性原则（化归应朝着使待解决问题在表现形式上趋于和谐，在量、形、关系方面趋于统一的方向进行，使问题的条件与结论表现得更均匀和恰当。）；③具体化原则；④标准形式化原则（将待解问题在形式上向该类问题的标准形式化归。标准形式是指已经建立起来的数学模式。
三、分类讨论思想
分类讨论思想就是根据数学对象本质属性的共同点和差异点，将数学对象内部问题区分为不同种类的思想方法，分类是以比较为基础的，它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于学生总结归纳数学知识，使所学知识条理化。在解决含参数的二次函数问题时会涉及到分类讨论的思想，特别是研究含参数的二次函数的最值和单调性及应用等问题上，一般需要分类讨论的思想方法。
例2：已知函数f(x)=ax2+(2a-1)x-3在区间[-1.5,2]上的最大值为1，求实数a的值。
解：a=0时，f(x)=-x-3,在[-1.5,2]上不能取得1，故a≠0.1-2a
f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的对称轴方程为x0=―――,2a
(1)令f（-1,5）=1解得，a=-10/3
此时x0=-23/20∈[-1.5,2],
因为a>0,f(x0)最大，所以f（-1,5）=1不合适。
（2）令f(2)=1，解得a=3/4，此时x0=-1/3∈[-1.5,2]，
因为a=3/4>0，所以f(2)最大合适。
数学思想篇11
所谓数学思维就是学生在学习的过程中经由老师的讲授、自己的理解和思考，以及对数学各种理论的认知从而形成的一种对待问题的看法。学生的数学思维一旦形成就能够在学习过程中进行研究和创新。数学思维不是通过死记硬背的方式去熟记所有的公式和法则，而是对数学理论产生的一种科学的认知。如果学生在学习的过程中思维模式是固定的，那么培养灵活的思维重要性不言而喻。
怎样才能够培养学生的数学思维，可以从以下两个方面入手：（1）增加教学互动。以往的教学方式老师讲学生听，教学活动的全程几乎不会出现互动情况；所以需要从教学方式进行改变，以学生作为课堂的主体，让学生参与到课堂的互动，积极地进行数学问题的沟通，在交流中了解到老师的思维方式，并将这种方式逐渐转化成自己的方式。（2）引导学生形成自己的思维模式。思维模式的形成和知识熟练程度和思考习惯有关，所以一方面要帮助学生掌握基本知识，然后针对其缺点进行针对性引导。比如某些同学不能通过抓住题目重要的要点，经常出现审题不清的情况，所以就该引导他们不断的去阅读题目，尽量理解每一句话表达的意思，确定全部理解之后再行做题。比如，在学习了“连加连减运算”之后，可以通过举例子的方式来让空洞的概念更加具体：今天上学校车到图书馆站时车上一共13人，上来了19人，在经过电影院站时又上来14人，现在车上一共多少人？这是个典型的连加应用题，通过这样的距离能够让学生在脑海中形成一种连贯的图画，在以后遇到该类问题时，脑子里瞬间显现出这个模式，从而轻而易举的解决问题。
二、数学活动经验
数学的学习是一个创造性的过程，新时期的数学教学需要培养学生的活动经验，通过实践活动来提升自己的学习能力，掌握更加高效的学习方式，只有在这样不断进步的过程中才能体会到学习的美好，继而对数学这门学科产生兴趣，随之全面发展自身的各种能力。估算是小学数学教学中常见的数学活动，估算教学不仅是教授给学生一种算法，更重要的是培养学生近似意识，然后通过估算来丰富自己的生活经验。
在教学的过程中老师可以出一道题让孩子们进行估算，但是数学活动题目的选择必须合理，比如让同学A扮演购物者，学生B扮演售货员，A去超市买了一个文具盒、一盒彩笔、一个书包，它们的价格分别是12元、23元和78元，估算一下小兔子给售货员100元够不够，这就需要孩子迅速进行估算，即10+20+70=100，那么明显3件物品的价格明显高于100元所以不够，通过亲身参与这样的数学活动能够让学生的估算意识更加深刻。
三、数学思想和数学活动相结合的教学方式
1.备课时明确需要灌输的数学思想。数学思想是学生对知识的升华状态，是一种无形的且包含在数学知识体系之中，作为数学老师应该将其挖掘出来，然后在课堂上使用恰当的方式进行传授，不同的学生对于数学思想的要求是存在差异的，所以在备课阶段就应该了解班级学生的知识掌握情况，再结合具体的教学情况选择最为合适的数学思想，提升教学效果。
2.数学思想和数学活动相结合。在课堂上老师应该有意识地去引导学生找寻数学的学习方法和规律，帮助学生去搭建稳定和清晰的数学结构，并将这一数学结构应用到创设的数学活动之中。比如有这样一道数学题：某班学生有45人，周末要去参加一个活动需要租汽车，大汽车每辆坐8人，小汽车每辆能坐6人，那么需要租几辆车？首先需要告诉学生解决问题的思维方式，即我们可以先全部一种车，比如说大汽车那么得出：45÷8=5……5（人），则5+1=6辆；然后如果只租小汽车需要租多少辆，可以将整个班级以6个人分成一个小组，然后直观的进行展示，这样学生就能清楚地知道应该需要7+1=8辆。通过数学思维的灌输和数学活动实践的应用，学生的感受到了数学的奇妙，因而兴趣被激发学习的效率也会明显提升。
课堂的总结也非常的关键，总结是对这节课所学的内容进行梳理，同时对于难点和重点进行解疑答惑，除了总结知识和存在的问题以外还应该加强对数学思维的提炼，有效地提升自身的教学效果和学生的学习质量。
四、结束语
小学数学教学是数学学科的初级阶段，也是以后理科各个学科的基础，数学思维的培养不仅有利于学生数学的发展，还有利于其他学科的发展。随着课程改革的不断深入，作为学校需要积极的相应教育部门的相关政策和要求，转变传统的教学观念，不断创新和开拓丰富教学方式。另外，需要加强教师素质建设，通过培训等方式培养教师的教学能力，或者引进新型的教育人才。在教学活动中有意识地去培养学生的数学思想，多进行数学活动实践，提升学生的理解能力和动手能力，将掌握的数学知识很好地应用到生活之中，实现新课标全面提升学生素质的终极目标。
参考文献：
数学思想篇12
“数”与“形”是同一个事物的两个方面，以“形”判“数”，以“数”论“形”的思想就是数形结合思想.“数”与“形”在一定条件下，可以相互转化、相互渗透.华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.
例1设复数z在复平面内对应的点为Z，若点Z在以原点O为圆心的单位圆上运动，则复数z+1+2i对应的点的轨迹是（）.
A
B
C
D
解析设复数z+1+2i=x+yi（x，y∈R），则z=x-1+（y-2）i，又复数z对应的点在单位圆上，所以，|z|=（x-1）2+（y-2）2=1，所以（x-1）2+（y-2）2=1.
于是，复数z+1+2i对应的点（x，y）的轨迹是以点（1，2）为圆心，以1为半径的圆.故选A.
评注：本题设计比较新颖，主要考查复数的几何意义与圆的交汇知识，需要灵活运用复数的代数形式加以求解.
二、“分类与整合思想”的应用
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后整合得解，这就是分类与整合思想.分类与整合思想主要体现了“化整为零”“各个击破”的解题策略.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：标准统一，不漏不重.
例2集合{in|n∈N}（其中i为虚数单位）中的元素共有（）.
A.1个B.2个C.3个D.4个
解析因为n∈N，所以当n=4k，k∈N时，in=i4k=1；当n=4k+1，k∈N时，in=i4k+1=i；当n=4k+2，k∈N时，in=i4k+2=i2=-1；当n=4k+3，k∈N时，in=i4k+3=i3=-i.
综上，集合{in|n∈N}={1，-1，i，-i}，显然其中共有4个元素.故选D.
评注：结合虚数单位i的特性（i4=1）可知，本题应按正整数n除以4的余数（0或1或2或3）加以讨论.
三、“转化思想”的应用
将未知的或难以解决的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，转化为在已知知识范围内已经解决或容易解决的问题的思想叫作转化思想.转化思想的实质是“寻求联系，实现转化”.
例3已知复数z=1+（1-ti），若复数z2在复平面内对应的点在第二象限，求实数t的取值范围.
解析复数z2=[1+（1-t）i]2=1+（1-t）2i2+2i（1-t）=（2t-t2）+（2-2t）i，由该复数对应的点（2t-t2，2-2t）在第二象限，得2t-t20， 解得t
故所求实数t的取值范围是（-∞，0）.
评注：本题求解的关键在于，将复数z2对应的点在第二象限转化为关于实数t的不等式组.
四、“函数与方程思想”的应用
方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组，从而使问题获解.函数思想是从题目的条件出发，通过联想，构造函数模型，利用函数的性质（定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等）和图像，从而使问题获解.
例4已知关于x的方程是x2-（tanθ+i）x-（2+i）=0.
（1）若该方程有实数根，求锐角θ和实数根；
（2）C明：对于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），该方程没有纯虚数根.
解析（1）设该方程的实数根为a，则a2-（tanθ+i）a-（2+i）=0，
即a2-atanθ-2-（a+1）i=0.
a，tanθ∈R，a2-atanθ-2=0，a+1=0，
解得a=-1，tanθ=1.
又θ为锐角，所以θ=π4.
（2）若该方程存在纯虚数根，设为bi（b∈R，b≠0），则有
（bi）2-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，
即-b2+b-2+（-btanθ-1）i=0，
所以-b2+b-2=0，-btanθ-1=0， 易知此方程组无实数根.
数学思想篇13
一、中学数学常见的数学思想
1．函数与方程思想尽管初中数学教学中还没有引入函数的概念，但是在许多问题的解决过程中实质上已经应用了函数思想．至于方程思想，其主要内容就是通过引入未知量来建立等式，近而求解出未知量，这一点在初中数学的应用题当中得到了较为全面的诠释．实际上，如果我们深入分析函数思想与方程思想就可以发现，这两种思想实质上互逆的．2．转化与化归思想所谓转化与化归思想，就是采用一定的数学手段或是数学表达方式，将原来的文字的、图形的内容与数量的、符号的内容进行等价转化．在这里，我要指出的是应用转化与化归思想时必须要注意是等价转化，许多命题在设计时都是针对转化的是否等价、转化前后是否互逆这一内容进行出题的．因此，教师在讲到这一方面的内容时，一定要认真训练学生，要让学生真正明白转化思想应用的前提，就是转化的双方一定是等价变形．3．分类讨论思想分类讨论思想主要应用于一些判定条件不明朗的情况下，由于未知条件在判定时充满着较大的不确定性，受不确定性的影响最终导致可能出现的结果也会有多个版本．在面临这种情况时，就要依据条件的不同来进一步分情况讨论最终可能出现的各种结果．这种思想在初中教学中的应用性试题里面出现的概率比较大，比如说银行利率问题、工作效率问题以及方案选择问题，这些问题都可以归到分类讨论思想里面，依据不同的情况做出不同的判断．4．整体代入思想整体代入思想是指在解题的过程中从大局出发，不拘泥于具体的某一细节，将某一子集或是某一部分作为一个整体进行代入计算．在复杂的计算题中或是在应用题中，都可以灵活地运用整体思想进行替换，从而大大简化计算过程．
二、数学思想教学的要求
1．更新教学观念原有的中学数学教学观念中，教师的主要任务就是教授学生知识，让学生能够熟练掌握教材中的各个知识点．在这种思想的指导下，教师往往会通过让学生进行大量的试题练习来巩固教学效果．而数学思想教学相对于数学知识教学来讲比较抽象、比较灵活，因此要求教师要更新原有的教学观念，有意识地转换教学侧重点，从理论高度上提升对数学思想方法的认识，只有教师的教学观念转换了，才能真正将数学思想教学落实到具体的课堂当中来．2．精心设计问题对于现行年龄阶段的初中生来说，受年纪因素的制约，他们在理解数学思想的时候，实际动手往往比理论教学的效果更佳．通过自身的实际参与，能够加深自己对于数学思想的进一步认识，更有助于从深层次去理解、掌握．所以，教师在课堂教学环节中就要有意识地设计一些蕴涵数学思想的问题或是情景，这些问题或是情景要贴近生活、贴近学生实际，让学生能够切实融入到问题当中，从自己亲身经历的探索思考过程中获得数学思想灵活应用的体验，经历思想方法的形成过程．3．及时进行小结小结是指经过一段时间的数学学习活动以后，对上一阶段的学习结果进行一定的归纳整理．通过小结，不仅能够让学生对于知识结构、知识脉络有一个整体上的把握，还能够通过归纳总结将数学知识升华到数学思想的高度．通过不断的总结回顾，学生能够更好地梳理所学内容，形成自己的数学学习方法，在不断的总结中逐渐向数学思想靠拢．总之，数学思想的学习会对学生的学习产生重要的影响，从实质上来讲，数学思想是对数学方法的一种高度抽象概括．只要引导学生掌握了数学思想的内涵，即使遇到了不同的问题，面临着不同的要求，学生一样能够在解题过程中灵活地运用数学思想．
作者：王莉萍 单位：江西新余市第六中学
